105
Capitolo 7
Progettazione di dettaglio
dell'impattatore
La normativa ASTM 7136 [1] stabilisce l'uso di un impattatore di massa pari a 5,5 Kg ± 0,25 Kg lasciato cadere da un'altezza non inferiore a 300 mm. Se l'energia d'impatto richiesta per il test è troppo bassa (inferiore a 16 J) per essere ottenuta con questo impattatore standard allora si deve usare un impattatore con una massa di 2 Kg ± 0,25 Kg.
Sulla base del tipico utilizzo previsto per la macchina da progettare è fondamentale disporre di un impattatore con una massa di circa 2 kg.
Poiché si vogliono produrre anche impatti con energia fino a 500 J con una massa di 25,5 kg si ritiene utile dotare la macchina di due impattatori, uno pesante e uno leggero. Questa scelta dà la possibilità di realizzare una struttura più rigida per i due impattatori e di poter disporre le masse addi-zionali. Si tratta di una scelta fatta anche da alcuni produttori (ad esempio Instron e Wance) che danno la possibilità di utilizzare due o tre carrelli con diverse capacità di carico (cfr. capitolo 3).
Si precisa che in questo lavoro di tesi ci si è occupati del progetto del so-lo impattatore leggero poiché, almeno inizialmente, è previsto un impiego prevalentemente della macchina per test con bassi livelli di energia d'im-patto.
106
Partendo dalla specifica tecnica e dalla scheda tecnica della cella di cari-co (cfr. appendice A.14) sono stati individuati i seguenti requisiti sui quali si fonda il progetto dell'impattatore leggero.
a. La massa dell'impattatore al di sopra della cella di carico deve essere maggiore del 95% della massa complessiva dell'impat-tatore.
b. La frequenza naturale della punta comprensiva di cella di ca-rico deve essere non inferiore a 6 kHz.
c. Il punto d'impatto effettivo del percussore sul provino deve cadere all'interno di una circonferenza di raggio 0,5 mm cen-trata nel punto d'impatto teorico previsto. Quest'ultimo corri-sponde alla situazione ideale con una punta perfettamente verticale e rettilinea e un carrello privo di gioco con le guide. Questo requisito non viene esplicitamente prescritto ma è sta-to dedotsta-to da quansta-to dichiarasta-to nel paragrafo 7.3.2 della nor-mativa [1].
d. I momenti flettenti attorno a due assi ortogonali all'asse longi-tudinale della cella di carico devono essere inferiori ai valori dichiarati nella sua scheda tecnica (appendice A.14).
e. Deve essere possibile fissare saldamente alcune masse addi-zionali per aumentare la massa dell'impattatore con incremen-ti di 0,5 kg.
I requisiti a, b e c sono necessari per la conformità dei test alla normativa [1]. Il requisito d. è invece necessario per non incorrere nel danneggiamento della cella di carico.
Per le prestazioni richieste a questo drop weight tester si è giunti alla conclusione che è necessario disporre di due celle di carico. Il motivo, lega-to al soddisfacimenlega-to del punlega-to a. nell'elenco dei requisiti poc'anzi citati, è spiegato nel paragrafo 6.2.13.
7.2
Architettura e dimensioni di massima del carrello porta
107
Si è pensato di ricavare un proporzionamento dimassima dell'impattato-re leggero basandosi suimmagini estratte dai cataloghi di alcuni drop weight tester in commercio.
Nella foto in Figura 7.2, in cui è rappresentato un particolare di uno dei carrelli porta punta per la macchina Instron Dynatup 9250G, si può notare che è inquadrata anche la mano di un operatore. Assumendo per il dito una
Figura 7.1 - Carrello leggero della macchina Instron CEAST 9340.
108
larghezza approssimativa di 20 mm sono state ricavate, rapportandole a ta-le dimensione, ta-le altre quote sovrapposte alla foto. Si tenga presente che la Dynatup 9250G può produrre impatti fino a 1010 J mentrela macchina da progettare arriva al massimo fino a 500 J. Una macchina, fra quelle esami-nate nel capitolo 5, con prestazioni che si avvicinano a quelle della macchi-na da progettare è la Instron CEAST 9340, per impatti con energia fino a 405 J.
Un altro aspetto da considerare per stabilire la distanza fra le guide ver-ticali e quindi la larghezza del carrello è la possibilità di posizionare fra le due colonne di guida nell'area soprastante la piastra intermedia della mac-china un provinodella larghezza di 100 mm, conforme alla normativa [1], eil meccanismo anti-rimbalzo.
È stata scelta un'architettura simile a quella del carrello leggero impiega-to sul machina Instron CEAST 9340 e per le considerazioni precedentemen-te fatprecedentemen-te è stata stabilita una larghezza della traversina inferiore pari a 150 mm (cfr. Figura 7.1).
7.3
Carrello porta punta leggero
La struttura del carrello porta punta leggero è costituita da due parti principali: una struttura sagomata a T e una traversina inferiore.Esse sono posizionate reciprocamente mediante un perno e rigidamente connesse tramite quattro viti (cfr.Figura 7.4 e Figura 7.6). La parte verticale della struttura a T è alleggerita con alcuni fori utili per fissare mediante bulloni le masse addizionali.
Si vuole mantenere il più possibile bassa la massa del carrelloper au-mentare la flessibilità della macchina ed eseguire impatti con energia dell'ordine di pochi joule. Poiché è necessario assicurare la precisione del punto d'impatto del percussore sul provino (cfr. paragrafo 7.1 punto c.)si devono limitare il più possibile le deformazioni elastiche della struttura. Per queste ragioni il materiale per la parte superiore a T del carrellodeve averebassa densità, elevato modulo elastico ed elevata tensione di snerva-mento.Deve inoltre essere facilmente lavorabile alle macchine utensili senza che si abbianodistorsioni, causate da autotensioni nei semilavorati. Un ma-teriale con le proprietà richieste è ad esempio la lega di alluminio AA
7050-109
T7651 che ha una resistenza a trazione 552 N/mm ,2
RM= un carico di
sner-vamento 2
0,2 490 N/mm
p
R = e una durezza di 147 HB[37].
La traversina inferiore del carrello deve avere una buona resistenza all'indentazione nell'area di contatto con la cella di carico per cui si è ritenu-toopportunorealizzarla in acciaio.
Lo scorrimento dell'impattatore fra le due guide verticali avviene grazie a quattro piastrine a V in acciaio dello spessore di 3 mm profilate con un angolo di 120° fissate alle quattro estremità del carrello porta punta (cfr. pa-ragrafo 5.1.1).
Allo scopo di garantire la precisione del punto d'impatto e l'ortogonalità fra la punta e la superficie del provino, il gioco fra le barre di guida verticali e le piastrine a V può essere registrato facendo scorrere queste ultime sulle quattro estremità del carrello porta puntasfruttando dei fori asolati (cfr. Fi-gura 7.4 e FiFi-gura 7.6).
Per consentire il sollevamento dell'impattatore è fissato alla sommità del carrello un piattello di materiale ferromagnetico Magnet Schultz G ZZ E 050 X00 A01 (cfr. Figura 7.6Figura 7.6). Per maggiori dettagli si faccia rife-rimento al paragrafo 6.1.5.1.
Figura 7.3: Particolare dell'impattatore leggero per mettere in evidenza il centraggio ci-lindrico della struttura a T rispetto alla traversina inferiore e la forcella per rilevare la velocità dell'impattatore.
110
La cella di carico è collegata con quattro viti subito sotto alla traversina inferiore del carrello (cfr. Figura 7.4).Si preferisceinstallare la cella in questa posizione sull'impattatore per evitare che il delicato cavo che connette il sensore al condizionatore di segnale possa subire danni attraversando il fo-ro centrale nella piastra intermedia della macchina.
Su un lato della traversina inferiore è fissato con due viti l'elemento a forcella che permettedi rilevare la velocità dell'impattatore, realizzato con una piastrina di acciaio dello spessore di 1 mm.
In Figura 7.5è rappresentato il modello 3-D dell'impattatore leggero co-struito in CATIA® V5 R19. Si possono notare la punta corta e i blocchi
addi-zionali, fissati con appositi bulloni, che portano la massa complessiva a 3,5 kg. Si è deciso di progettare i blocchi addizionali tutti con lo stesso spessore e con dimensioni tali da poter scaricare le forze inerziali in parte sui bulloni di fissaggio alla struttura a T e in parte sui blocchi sottostanti fino al bordo della traversina inferiore.
In Tabella 7.1 si elencano la massa dei componenti del carrello leggero e la sua massa complessiva, ricavate dal modello 3-D.
Figura 7.4: Particolare dell'impattatore leggero per mettere in evidenza i collegamenti della cella di carico, delle piastrine a V e della struttura a T del carrello porta punta.
111
Figura 7.6: Particolare del piattello ferromagnetico e del collegamento di una piastrina a V.
112
7.4
Progetto della punta
Il progetto della punta inizia con la determinazione del massimo valore per la sua massa tale da soddisfare il punto a. nel paragrafo 7.1.
Nota la massa della cella di carico Kistler Type 9223A (massa di 47 g), poiché la normativa [1] stabilisce una massa di circa 2 kgper l'impattatore leggero, si ha che la punta deve avere una massa non superiore a 0,1 kg.
La lunghezza si determina tenendo conto degli ingombri delle seguenti parti della macchina (cfr. Figura 6.15):
• meccanismo anti-rimbalzo in posizione abbassata (69 mm);
• spessore della piastra di supporto del meccanismo anti-rimbalzo (5 mm);
• spessore della piastra intermedia della macchina dov'è fissato il meccanismo anti-rimbalzo (10 mm);
• ingombro dei morsetti a ginocchiera in posizione sbloccata (105 mm);
• spazio per poter agire con la mano sull'impugnatura dei morsetti (45 mm)
• spessore della piastra di supporto del provino (30 mm).
Si vuole che l'estremità della punta arrivi, in caso di perforazione del provino, in corrispondenza del piano inferiore della piastra di supporto del provino. In questa situazione la traversina inferiore dell'impattatore deve poggiare sui tamponi in gomma del meccanismo anti-rimbalzo.
Componente Massa [kg]
Componente a T 0,446 Traversina inferiore 0,557 Piattello ferromagnetico con collare e vite 0,095 Piastrine a V (4 componenti) 0,065 Forcella per rilevare la velocità 0,003
Viti 0,042
Carrello porta punta completo 1,207 Tabella 7.1: Massa dei componenti del carrello porta punta leggero.
113
La punta da collegare sotto la cella di carico (altezza della cella 26 mm) deve avere una lunghezza di 238 mm.
Si nota che non è possibile costruire una punta in lega di alluminio di ta-le lunghezza e diametro di 20 mm avente una massa inferiore a 0,053 kg. Diventa quindi necessario disporre anche di una punta corta e quindi più leggera per le prove con l'impattatore da 2 kg in conformità con la normati-va [1]. In questo caso bisogna posizionare il provino su un supporto fissato sulla piastra intermedia della macchina (cfr. paragrafo 6.1.1.2).Occorre an-che un meccanismo anti-rimbalzo installato direttamente sulla piastra di supporto del provino (cfr. paragrafo 6.1.11.3).
È possibile però eseguire prove con l'oggetto posto nell'area sotto la pia-stra intermedia della macchina se la massa di caduta supera 4,5 kg. Tale va-lore limite è stato determinato dopo aver configurato una punta di lun-ghezza pari a 238 mm e diametro di 20 mm mediante il procedimento schematizzato in Figura 7.7.
Per il carrello porta punta pesante utilizzato insieme alla cella di carico
Figura 7.7: Schema del procedimento utilizzato per determinare la geometria della pun-ta.
Ingombri dei componenti della macchina correlati con la punta
Progetto carrello
porta punta Configurazione punta
Scelta materiali
per punta Geometria punta
Massa carrello porta punta
Massa cella
di carico Massa punta
Massa impattatore
Massa punta Massa impattatore
5%
≤
Geometria definitiva della punta
NO
114
Kistler Type 9333A occorre una punta lunga più robusta del diametro di 30 mm (diametro della cella).
Sulle tre punte progettate viene successivamente eseguita l'analisi mo-dale per verificare il requisito b. del paragrafo 7.1.
7.4.1 Punta corta per cella di carico Kistler Type 9323A
In Figura 7.8 è rappresentata una vista esplosa della punta corta. Nella medesima figura sulla destra sono riportate anche una vista dall'alto e una sezione dei componenti assemblati con le quote di ingombro. Gli elementi che la compongono sono di seguito descritti.
• Un elemento di connessione Kistler Adapter Type 9584A9 colle-gato da un lato, con quattro viti M3, alla cella di carico e dall'altro lato collegato alla prolunga con una filettatura M4. La coassialità
115
con la cella di carico viene assicurata mediante un apposito anello di centraggio Kistler Art. 3.420.196.
• Una prolunga di 33 mm con un tratto di raccordo tronco conico i cui diametri sono 20 mm e 16 mm. Il materiale scelto è la lega di alluminio AA 7050-T7651 (cfr. paragrafo 7.3).
• Un percussore semisferico di acciaio (durezza 60-62 HRC) del di-ametro di 16 mm che viene filettato alla prolunga (filettatura M5). In Figura 7.8 viene riportato un disegno con le principali dimensioni della punta appena descritta. La massa di questa punta esclusa cella di cari-co è di 0,053 kg.
7.4.2 Punta lunga per cella di carico Kistler Type 9323A
Analogamente a quanto fatto nel paragrafo 7.4.1 si riportano in Figura 7.9 una vista esplosa, una vista dall'alto e una sezione della punta lunga per la cella Kistler Type 9323A. Gli elementi di cui è costituita sono i seguenti.
• Lo stesso elemento cilindrico di connessione descritto nel para-grafo 7.4.1.
• Una prolunga tubolare in lega di alluminio AA 7050-T7651 (cfr. paragrafo 7.3 per le motivazionidi questa scelta). L'elemento ha una lunghezza di 207 mm e un diametro di 20 mm.
• Un elemento di raccordo tronco conico in lega di alluminio AA 7050-T7651 lungo 15 mm con le estremità aventi i diametri di 20 mm e 16 mm. Si collega alla prolunga con una filettatu-raM12x1,25 e al percussore semisferico con una filettatura M5.
• Il percussore semisferico di acciaio è lo stesso impiegato all'e-stremità della punta corta (cfr. paragrafo 7.4.1).
116
7.4.3 Punta lunga per cella di carico Kistler Type 9333A
I componenti di cui è formata sono analoghi a quelli della punta lunga descritta nel paragrafo 7.4.2 e sono di seguito elencati.
• Un elemento cilindrico di connessione Kistler Adapter Type 9584A0 del diametro di 30 mm.
Figura 7.9: Vista esplosa, vista dall'alto e sezione della punta lunga per il carrello legge-ro.
117
• Una prolunga tubolare in lega di alluminio AA 7050-T7651. L'e-lemento ha una lunghezza di 186 mm e un diametro di 30 mm. Il foro ha una profondità di 178 mm e un diametro di 20 mm.
• Un elemento di raccordo tronco conico in lega AA 7050-T7651 lungo 25 mm con le estremità aventi i diametri di 30 mm e 16 mm. Viene filettato con un maschio 22 alla prolunga.
• Il percussore semisferico è sempre lo stesso impiegato per la pun-ta corpun-ta.
La massa di questa punta esclusa la cella di carico è di 0,315 kg.
Figura 10: Vista esplosa, vista dall'alto e sezione della punta lunga per il carrello pesan-te.
118
7.5
Effetti del gioco e delle tolleranze geometriche della punta
sulla precisione del punto di impatto
Il gioco nel meccanismo di guida del carrello così come le tolleranze ge-ometriche dei componenti che formano la punta, inclusa la cella di carico, influenzano il punto di impatto del percussore semisferico sul provino. Il punto d'impatto effettivo sul provino deve trovarsi all'interno di una cir-conferenza di raggio 0,5 mm centrata nel punto d'impatto teorico (cfr. para-grafo 7.1 punto c.).
La condizione più critica in cui la deviazione del punto d'impatto è mas-sima si verifica con le seguenti condizioni.
a. Con la punta lunga per l'impattatore leggero. Poiché ha un dia-metro di 20 mm le tolleranze geometriche di planarità delle su-perfici di accoppiamento portano ad avere una maggiore inclina-zione dell'asse dei componenti della punta e dunque uno scosta-mento più elevato rispetto al punto d'impatto teorico.
b. Quando l'asse del carrello è inclinato nel piano zy (cfr. Figura 7.13). Ciò è dovuto all'angolo di apertura delle piastrine a V. c. Quando tutti i componenti della punta sono al limite della
tolle-ranza geometrica di planarità (cfr. Figura 7.14) e ciascuno ha il proprio asse longitudinale inclinato nello stesso verso lungo l'as-se z.
Essendo molto piccoli gli angoli coinvolti nei calcoli le funzioni seno e tangente possono senz'altro approssimarsi con i loro argomenti.
Figura 7.11: Disegno per determinare le componenti nelle direzioni x e z del gioco radia-le fra piastrine a V e colonne di guida.
119
Il gioco radiale fra le superfici di contatto delle piastrine a V e le colonne di guida è stato determinato per tentativi seguendo la procedura schema-tizzata inFigura 7.12.
La componente del gioco fra piastrina e colonna lungo l'asse z è stata misurata quotando undisegno parametrico tracciato in ambiente drafting del CATIA V5 (cfr. Figura 7.11).
Con riferimento alla Figura 7.13, il calcolo degli scostamentiAB, BC e AC è stato fatto mediante uno script Matlab® (appendice C.3) in cui si è tenuto
conto anche delle quote e delle tolleranze geometriche delle superfici, ripor-tate in Figura 7.14.
Facendo riferimento alla Figura 7.13i risultati numerici calcolati con lo script Matlab® sono i seguenti:
• scostamento lungo l'asse z del punto D (segmento AB) pari a 0,1 mm;
• scostamento lungo l'asse z dell'estremità della punta rispetto al punto B (segmento BC) pari a 0.147 mm;
Figura 7.12: Schema del procedimento per determinare il gioco nel meccanismo di guida dell'impattatore in modo da soddisfare la precisione del punto di impatto.
120
• scostamento complessivo lungo l'asse z dell'estremità della punta rispetto all'asse del provino (segmento AC), pari a 0,247 mm.
• angolo di inclinazione, nel piano zy, dell'asse del carrello rispetto alla direzione verticale. Il valore calcolato è di 0,0472°;
• angolo di inclinazione, nel piano zy, dell'estremità della punta ri-spetto all'asse del carrello. Il valore è di 0,1003°;
• angolo di inclinazione, nel piano zy, dell'estremità della punta ri-spetto alla direzione verticale. Il valore è di 0,1474°;
• angolo fra la tangente all'estremità della punta e la direzione ver-ticale, il cui valore è 0,1474°.
Figura 7.13: Schema del carrello e della punta utilizzato per determinare lo scostamento del punto di impatto sul provino.
121
7.6
Limitazione della forza massima per la cella di carico
L'inclinazione del carrello e la non perfetta rettilineità della punta (cfr. paragrafo 7.5) fanno sì che la cella di carico sia sollecitata oltre che a sforzo normale anche a taglio e momento flettente. Il costruttore della cella dichia-ra nella scheda tecnica i valori massimi ammissibili per il momento flettente sia quando la forza assiale è nulla sia quando la forza assiale è massima (cfr. appendice A.14).
Viene dichiarato anche il valore massimo per la forza di taglio ma solo in corrispondenza di una forza assiale nulla.
Con i dati estratti dalla scheda tecnica in appendice A.14 sono stati trac-ciati i grafici in Figura 7.15 per il taglio e il momento flettente, ipotizzando una relazione lineare fra le grandezze coinvolte.
La relazione che lega il taglio alla forza assiale
F
zè la seguente: Figura 7.14: Tolleranze geometriche degli elementi che costituiscono la punta.122 , 620 620 20000 x y z F = − F + (7.1)
La relazione che lega il momento flettente alla forza assiale
F
z è la se-guente: , (23 0,9) 23 20000 x y z M = − − F (7.2)7.6.1 Forza assiale massima limitata dal momento flettente
Con riferimento allo schema in Figura 7.16, la forza assiale massima cui può essere sottoposta la cella di carico senza subire danni dovuti al mo-mento flettente quando è installata la punta lunga si ricava imponendo la seguente uguaglianza: , , ( ) x y z x y M = ⋅ +F a F ⋅ +b h (7.3) dove: z p
F ≅F è la componente lungo l'asse della cella di carico della reazione del provino sulla punta;
,
x y z c
F =F
α
è la componente ortogonale all'asse della cella di carico della reazione del provino sulla punta;4
8, 23 10 rad c
α = ⋅ − è l'angolo fra l'asse della cella di carico e la direzione verticale;
0,147 mm
a ≃ è il braccio della forza Fzche si può ritenere all'incirca
uguale al segmento BC in Figura 7.13;
Figura 7.15: Grafici del taglio e del momento flettente ammissibili per la cella Kistler Type 9323A in funzione della forza assiale.
123 238 mm
b= è la lunghezza della punta esclusa l'altezza della cella di ca-rico;
26 mm
h= è l'altezza della cella di carico. Sostituendo la (7.2) nella (7.3) si ha:
(
)
, 23 15654 N (23 0,9) ( ) 20000 z amm c F a b hα
= = − + + + (7.4)Il valore della Fz amm, calcolato nella (7.4) è il massimo ammissibile della forza d'impatto per non danneggiare la cella di carico Kistler Type 9323A.
7.6.2 Forza assiale massima limitata dal taglio
Il valore massimo della forza assiale cui può essere soggetta la cella di carico senza subire danni dovuti alla componente trasversale della forza sul percussore è data dalla seguente relazione ricavata ponendo Fx y, =Fz
α
c nel-la (7.1):124 , 620 19482 N 620 20000 z amm c F
α
= = − (7.5)7.6.3 Forza assiale massima misurabile con la cella Kistler Type 9323A e la punta lunga
Dal confronto dei valori della Fz amm, calcolati con la (7.4) e con la (7.5) si osserva che la sollecitazione di momento flettente è quella che limita di più la forza assiale massima operativa per la cella di carico impiegata con la punta lunga. È quindi necessario rifare una stima preliminare della massi-ma forza d'impatto sul percussore e verificare che sia sufficientemente mi-nore del valore calcolato nella (7.4) pari a 15654 N.
7.7
Analisi funzionale del carrello e del sensore di forza
In un impatto ideale il carrello rimarrebbe perfettamente verticale senza toccare le due colonne di guida. In questa situazione l'attrito sulle piastrine di guida sarebbe nullo e la misura della forza risulterebbe priva di errori. In realtà però il carrello, a causa del gioco nel meccanismo di guida, si appog-gia alle colonne e mantiene l'inclinazione durante l'urto. Si vuole ottenere una stima di prima approssimazione dell'errore causato dalle forze di attri-to sulla misura effettuata dal sensore di forza.
Si vuole inoltre valutare l'eventuale dipendenza delle forze di attrito da alcuni parametri che caratterizzano l'impatto facendoli variare come ripor-tato in Tabella 7.2.
Si precisa che in tale tabella l'altezza del carrello porta punta rappresen-ta la disrappresen-tanza in verticale fra le piastrine a V poste sulla traversina superiore e quelle sulla traversina inferiore. I valori sono stati scelti prendendo come
Altezza di caduta [m] Massa impattatore [kg] Altezza del carrello [mm]
0,3 2 243 (6 fori) 1,15 3,25 279 (7 fori) 2 4,5 315 (8 fori)
125
riferimento la quota 279 mm, prossima alla quota (282 mm) riportata in figura 7.1. Le altre due quote considerate sono state ottenute in un caso ag-giungendo e nell'altro rimuovendo un modulo (cfr. Figura 7.17).
La combinazione dei tre parametri considerati dà luogo a 27 casi per i quali, mediante un codice scritto in ambiente Matlab® (cfr. Appendice C.4),
sono state risolte le equazioni del moto dell'impattatore durante un urto perfettamente elastico su una molla che rappresenta il comportamento di un provino. L'integrazione numerica delle equazioni viene effettuata con il metodo di Eulero.
Si fanno le seguenti assunzioni e semplificazioni:
• si schematizza il carrello con un corpo rigido costituito da tre aste saldate a formare una doppia T sotto la quale è saldata un'altra asta che rappresenta la punta;
• si assume che la posizione del baricentro dell'impattatore non cambi al variare della sua massa;
• si schematizza il provino con una molla e si mantiene lo stesso valore di rigidezza per tutti i 27 casi analizzati;
• si assume un valore del gioco misurabile interponendo uno spes-simetro fra piastrina a V e colonna pari a 0,1 mm come stabilito nei paragrafi 7.5.1 e 7.5.2;
• si ipotizza che a partire dall'istante di inizio impatto il carrello re-sti appoggiato alle guide nei punti B e D di.
126
A causa dell'angolo di apertura delle piastrine a V e della geometria del carrello porta punta l'inclinazione dell'impattatore nel piano zy è maggiore rispetto a quella nel piano xy. Si analizza quindi il caso in cui l'impattatore è inclinato nel piano zy essendo questo più critico dal punto di vista delle sollecitazioni nei punti di contatto con le guide.
Si ricava la costante elastica k della molla che schematizza il provino u-guagliando l'energia potenziale gravitazionale dell'impattatore con l'ener-gia potenziale elastica immagazzinata nella molla (7.6). Con chiaro signifi-cato dei termini, scelti i valori numerici di seguito riportati
2 2,1 Kg 9,81 m/s 1 m 0,005 m m g h y = = = =
127 si ha 2 1 2 mgh= ky (7.6) da cui risulta 6 2 2 1,648 10 N m mgh k y = = ⋅ (7.7)
Scelto come riferimento una terna baricentrica solidale al carrello (asse y verticale orientato come la gravità) si scrivono le equazioni della dinamica, relativamente alla corsa di discesa dell'impattatore, già linearizzate in quanto l'angolo
α
può ritenersi sufficientemente piccolo. Si faccia riferi-mento alla Figura 7.18 nella quale è rappresentata una vista laterale dell'impattatore (nel piano zy).(
)
(
)
(
)
0 0 + 0 2 2 2 2 D B D B tup c c c c G tup G t B B G B G B D D c G D c G D mz H H my mg V V F l l l l J α F h h α V Vα h H h H α V V α h h H h h H α − + − = − + − − − = − − + − − ⋅ + − + + − − − = ɺɺ ɺɺ (7.8) dove:inclinazione della punta nel piano zy massa dell'impattatore
momento d'inerzia dell'impattatore rispetto all'asse z reazione orizzontale della guida sul carrello nel punto B reazione ver G B B m J H V α = = = =
= ticale di attrito della guida sul carrello nel punto B reazione orizzontale della guida sul carrello nel punto D reazione verticale di attrito della guida sul carrello nel punto D distanza fr D D c H V l = =
= a i punti di contatto sulle colonne di guida distanza verticale fra le piastrine a V
lunghezza della punta G t h h = =
Tutti i valori numerici utilizzati sono riportati nel codice scritto in Mat-lab® in appendice C.4.
128
Scelto
cf
=
0,15
il coefficiente di attrito fra le piastrine a V e le colonne di guida (contatto acciaio su acciaio), si possono così esplicitare le forze di at-trito: B B D D V H cf V H cf = ⋅ = ⋅ Si hanno complessivamente cinque equazioni nelle incognite: , , , , , B D, B, D
z α y y V V H H
ɺɺ ɺɺ ɺɺ .
Si risolve il sistema ricorrendo all'integrazione numerica con il metodo di Eulero.
Poiché si è supposto che il carrello resti sempre appoggiato alle guide nei punti B e D durante tutta la durata dell'urto, traslando solo lungo l'asse y, si può porre ɺɺz = 0 e αɺɺ= 0. Sostituendo nelle equazioni e avendo ricavato
dalla prima HD =HB = H, si determinano le seguenti espressioni:
(
)
(
)
1 2 tup G t c c c tup F h h H l cf h h y g H cf F mα
α
α
+ = − ⋅ + ⋅ ⋅ + = − ⋅ + ɺɺ (7.9)Le due relazioni (7.9) vengono utilizzate per implementare l'integrazio-ne numerica con il metodo di Eulero. In particolare la velocità del baricen-tro all'istante successivo viene calcolata a partire dai valori di velocità e ac-celerazione all'istante attuale, avendo fissato l'intervallo temporale. Analo-gamente la posizione del baricentro all'istante successivo si calcola a partire dai valori della posizione e della velocità all'istante attuale. In termini ma-tematici si ha:
( 1)
( )
( )
( 1)
( )
( )
y t
y t
y t
t
y t
y t
y t
t
+ =
+
⋅ ∆
+ =
+
⋅ ∆
ɺ
ɺ
ɺɺ
ɺ
(7.10)Per completare l'impostazione del metodo occorre calcolare i valori ini-ziali delle variabili
F t H t y t
tup( ), ( ), ( )
ɺɺ
ed esplicitare le condizioni iniziali sulla posizione e sulla velocità del baricentro. Per la fase in cui il provino viene deflesso verso il basso le condizioni iniziali sono:(0) 0 (0) 2 y y gh = = ɺ (7.11)
129
7.7.1 Risultati dell'analisi funzionale del carrello
L'esecuzione del codice Matlab® calcola, ad ogni istante di tempo
discre-tizzato per l'impatto analizzato, le seguenti grandezze:
• la componente verticale dello spostamento dell'impattatore, coin-cidente con lo schiacciamento della molla che rappresenta il pro-vino;
• la componente verticale della velocità dell'impattatore;
• la componente verticale dell'accelerazione dell'impattatore;
• la componente verticale della forza sul percussore, all'estremità della punta;
• la componente normale alle guide della reazione vincolare sulle piastrine a V nei punti B e D di Figura;
• la componente parallela alle guide della reazione vincolare sulle piastrine a V nei punti B e D di Figura. Da qui si ricava la risul-tante delle forze di attrito sommando le reazioni in B e D.
Il passo temporale scelto nell'integrazione numerica è di0,1 10⋅ −6 s.
La cella di carico misura la componente della forza sul percussore lungo l'asse della punta (supposta indeformabile). Poiché l'angolo di inclinazione
0,148
α
= ° è molto piccolo si può ritenere che la cella misuri la componente verticale della forza sul percussore.Per ciascuno dei 27 casi risolti sono stati tracciati i grafici con l'andamen-to temporale delle grandezze poc'anzi elencate. A til'andamen-tolo di esempio in Figu-ra 7.19 si riportano i gFigu-rafici relativi al caso 25 essendo quello che presenta i valori massimi più elevati per tutte le grandezze considerate (cfr. Tabella 7.3). Al termine dell'esecuzione il codice Matlab® stampa sul monitor i
valo-ri massimi delle grandezze considerate in precedenza elencate.
Caso Altezza di caduta [m] Massa impatt [kg] Altezza carrello [mm] Deflessione max [mm] F max percuss. [N] F norm. su una piastrina Risultante forze attrito 25 2,0 4,5 243 6,912 25614,1 88,0 26,4
130
In Tabella 7.4 sono raccolti i risultati relativi a nove casi ritenuti signifi-cativi, suddivisi in tre gruppi con energia di impatto crescente da A a C. I casi all'interno di uno stesso gruppo differiscono per l’altezza del carrello cioè per la distanza verticale fra i punti B e D nello schema di Figura 7.18.
Si possono dunque fare le seguenti osservazioni:
• L'errore percentuale sulla forza massima misurata durante l'im-patto (ultima colonna in Tabella 7.4), a causa dell'attrito, è molto piccolo in tutti i casi esaminati.
• All'interno dei casi in uno stesso gruppo si nota una leggera di-minuzione dell'errore percentuale all'aumentare dell'altezza del carrello.
• Dal gruppo A al gruppo C si nota un progressivo aumento dell'errore percentuale. Le variazioni risultano comunque molto piccole.
• La componente normale alla colonna di guida della forza di rea-zione su ciascuna piastrina a V ha un valore massimo di 44 N. Non ci sono quindi sollecitazioni significative sulle estremità del Figura 7.19: Andamento temporale delle grandezze considerate nell'analisi funzionale
131
carrello porta punta che vadano ad eccitare forme modali di tipo flessionale nel piano zy del carrello.
• Si osserva che la risultante delle forze di attrito riportata in tabella è la somma delle forze sulle quattro piastrine a V.
Infine è stata fatta una prova variando l'altezza di caduta e la massa dell'impattatore mantenendo costante l'energia di impatto. Come ci si può aspettare risulta una diminuzione della durata dell'impatto all'aumentare dell'altezza di caduta. Lo schiacciamento massimo della molla resta invece invariato poiché, in questo modello semplificato, dipende solo dall'energia immagazzinata dalla molla e poi completamente restituita all'impattatore.
Concludendo, dal punto di vista dell'errore introdotto dalle forze di at-trito sulla misura effettuata dalla cella di carico, si ritiene accettabile una di-stanza verticale fra le piastrine a V pari a 243 mm. Limitando le dimensioni verticali del carrello da un lato si riduce leggermente la sua massa e dall'al-tro aumenta la sua rigidezza flessionale nel piano zy (cfr. Figura 7.18).
7.8
Analisi modale
7.8.1 Introduzione all'analisi modale
L'analisi modale caratterizza la risposta libera di un sistema strutturale fornendo utili informazioni sul suo comportamento dinamico. Essa
costi-Gruppo Caso h [m] m [kg] altezza carrello [mm] F norm. max [N] F attr. max risult. [N] F max no attrito [N] F max con attrito [N] E % F max [N] A 1 0,3 2,0 243 11,4 6,8 6625,4 6622,0 0,051 2 0,3 2,0 279 9,9 5,9 6625,4 6622,5 0,044 3 0,3 2,0 315 8,8 5,3 6625,4 6622,8 0,039 B 13 1,15 3,25 243 28,4 17,0 16518,4 16509,9 0,051 14 1,15 3,25 279 24.7 14,8 16518,4 16511,0 0,045 15 1,15 3,25 315 21,8 13,1 16518,4 16511,9 0,039 C 25 2,0 4,5 243 44,0 26,3 25627,4 25614,1 0,052 26 2,0 4,5 279 38,3 23,0 25627,4 25615,9 0,045 27 2,0 4,5 315 33,9 20,4 25627,4 25617,2 0,040
132
tuisce inoltre un valido aiuto per individuare le parti di una struttura dove la rigidezza risulta più bassa.
Il primo passo per effettuare l'analisi modale prevede la scrittura dell'e-quazione del moto del sistema nella seguente forma matriciale:
{ }
( )
{ }
( )
{ } { }
( )
( )
M u t
+
B u t
+
K u t
=
p t
ɺɺ
ɺ
(7.12)dove al primo membro compaiono le forze interne e al secondo membro le forze esterne. In particolare, nel primo membro della (1.7), il primo ad-dendo rappresenta le forze d'inerzia, il secondo le forze viscose e il terzo le forze elastiche.
L'equazione (7.12) assume le seguenti forme più semplici
{ }
( )
{ }
( )
{ } { }
( )
0
M u t
+
B u t
+
K u t
=
ɺɺ
ɺ
(7.13){ }
( )
{ } { }
( )
0
M u t
+
K u t
=
ɺɺ
(7.14)quando si studiano rispettivamente vibrazioni libere smorzate e vibra-zioni libere non smorzate.
La soluzione dell'equazione (7.14) è del tipo:
{ }
( )
j tsin( )
cos( )
u t
= ⋅
C e
ω=
A
ω
t
+
B
ω
t
(7.15) con: pulsazione naturale frequenza naturale 2 n n n k m f ω ω π = =Nel caso generale di sistemi a più gradi di libertà si ha che ωn è un vet-tore e k ed m diventano rispettivamente matrice di rigidezza, indicata con
K
e matrice di massa, indicata con
M
.In generale si può affrontare il caso di sistema non smorzato, in quanto lo smorzamento b è quasi sempre piccolo rispetto allo smorzamento critico
2
cr
b = k m⋅ . E poiché generalmente si ha 0,01< <b 0,1 le frequenze naturali smorzate risultano molto vicine a quelle del sistema non smorzato.
Nel caso generale in cui sia presente anche una forzante esterna
{ }
p t
( )
la soluzione assume la forma:133
dove la soluzione particolare dipende dal rapporto tra la frequenza della forzante e la frequenza naturale del sistema. Se la frequenza della forzante si avvicina molto alla frequenza naturale il sistema tende a raggiungere la condizione di risonanza la quale, in assenza di smorzamento, porta ad ave-re spostamenti tendenti a infinito.
Nel caso di fenomeni di durata molto breve, come può essere ad esem-pio un impatto, lo smorzamento può essere trascurato.
Per calcolare le frequenze naturali occorre ricercare gli autovalori del si-stema. Si parte dall'equazione del moto (7.14) in assenza di smorzamento. Poiché in un moto armonico tutti i gradi di libertà della struttura si muovo-no in fase, si assume una soluzione armonica del tipo:
{ } { }
u t
( )
= Φ
sin( )
ω
t
(7.17)dove:
{ }
autovalore o pulsazione naturaleautovettore o forma modale ω=Φ =
Sostituendo la soluzione (7.17) nell'equazione del moto (7.14) si ha:
(
2)
{ } { }
0K −
ω
M Φ =
(7.18)
Questa ammette soluzione non banale, cioè
{ }
Φ ≠
0
, se(
2)
det K −
ω
M =0L'equazione
(
2)
0K −
ω
M =
viene chiamata equazione caratteristica. Le soluzioni banali rappresentano modi di corpo rigido libero, mentre le so-luzioni non banali costituiscono i modi di corpo deformabile.
La conoscenza delle matrici
M
e
K
che dipendono dalle proprietà inerziali e geometriche del sistema, consente di ricavare i valori diω
e di{ }
Φ
. Ciascuna coppia autovalore e autovettore corrispondente definisce un modo di vibrare non smorzato del sistema. La generica deformata del si-stema è la combinazione lineare di tutti i modi propri di vibrare. Questa de-formata si può esprimere sinteticamente così:{ }
i{ }
i i134
Per la ricerca degli autovalori, cioè dei valori di
ω
che annullano il de-terminante dell'equazione caratteristica, si possono utilizzare metodi di ri-cerca oppure metodi di trasformazione.I metodi di ricerca procedono in maniera iterativa e quindi il tempo di calcolo dipende sensibilmente dal numero di autovalori richiesti nella solu-zione. Questi sono metodi indicati per sistemi con molti gradi di libertà quando nella soluzione vengono richiesti pochi autovalori.
I metodi di trasformazione si basano invece sulla diagonalizzazione del-le matrici di massa e di rigidezza, risultando vantaggiosi nel caso di sistemi con pochi gradi di libertà e se nella soluzione si richiedono pochi autovalo-ri. Il Nastran® in realtà utilizza, per la ricerca della soluzione, il metodo
Lanczos che prende il meglio dalle due classi di metodi poc'anzi descritti.
7.8.2 Analisi modale della punta lunga per impattatore leggero
Delle tre punte di cui al paragrafo 7.4 si esegue l'analisi modale solo sul-la punta lunga (cfr. Figura 7.9) per sul-la celsul-la Kistler Type 9323A in quanto è sul-la più snella e ci si aspetta che possa avere le frequenze naturali più basse fra le tre punte trattate nel paragrafo 7.4.
Il lavoro è stato affrontato seguendo i passi di seguito riportati:
1. Costruzione di un modello a elementi finiti che riproduca il com-portamento dinamico della cella Kistler Type 9323A in termini di frequenza naturale associata al modo assiale. Il processo ha pre-visto una serie di analisi modali volte a ottenere la caratterizza-zione dinamica della cella di carico.
2. Verifica del vincolo sulla frequenza naturale minima del modo proprio associato a una deformata assiale dell'assieme formato dalla cella di carico, dal disco di raccordo e dalla punta. Tale veri-fica è stata effettuata facendo l'analisi modale del modello FEM dell'assieme includendo i parametri, ricavati nel passo 1. che ca-ratterizzano la dinamica della cella di carico.
I modelli a elementi finiti sono stati costruiti con il pre/post processore Patran® 2008 R2. Per l'analisi modale è stato utilizzato il solutore MD
135
Si affrontano ora nel dettaglio i due passi sopra riportati.
7.8.3 Modello FEM e analisi modale della cella di carico
La cella di carico Kistler Type 9323A è stata schematizzata con un cilin-dro forato sull'asse suddiviso in tre dischi sovrapposti ciascuno con diverse proprietà del materiale, come illustrato in Figura 7.20.
Il materiale scelto per le parti superiore e inferiore è acciaio. Agli ele-menti della parte centrale è stato invece assegnato un materiale fittizio con-le seguenti proprietà i cui valori sono stati determinati per tentativi con un processo iterativo.
a. La densità è stata scelta in modo tale che la massa del modello della cella sia uguale a 47 g (massa dichiarata nella scheda tecnica in Appendice A.14).
b. Il modulo elastico del materiale fittizio (lineare, elastico, isotropo) è stato determinato per tentativi, eseguendo una serie di analisi modali, in modo tale da far risultare la frequenza naturale del modo assiale leggermente superiore a 72 kHz (valore indicato nella scheda tecnica in Appendice A.14).
Il modello FEM realizzato con il Patran® è formato da 5880 elementi di
tipo Hex8 a 8 nodi. L'altezza di ciascun elemento (selezionata con il para-metro Global Edge Lenght) è di 1,2 mm in direzione dell'asse longitudinale del cilindro. Al termine della modellazione FEM è stato eseguito l'equiva-lence in modo da unire i nodi sulle due superfici di contatto delle parti che
Figura 7.20: Modello FEM (sulla sinistra) e schematizzazione della cella di carico con tre dischi forati con diverse proprietà del materiale (sulla destra).
136 formano il modello.
Dopo una serie di tentativi sono stati ottenuti i seguenti risultati. Le prime frequenze naturali praticamente nulle corrispondono ai modi di cor-po rigido libero nello spazio. La settima frequenza naturale corriscor-ponde a un modo proprio con una deformata di tipo torsionale. La dodicesima fre-quenza naturale, pari a 72,5 kHz, corrisponde a un modo proprio con una deformata assiale.
Le proprietà che il materiale fittizio deve avere affinché il modello FEM della cella abbia un comportamento dinamico simile a quello della cella di carico reale sono le seguenti:
• densità = 4500 kg/m ; 3
• modulo elastico = 97000 MPa;
• coefficiente di Poisson = 0,3.
7.8.4 Analisi modale dell'assieme punta e cella di carico
Il modello FEM dell'assieme formato dalla punta incluso il disco di rac-cordo (adapter) e la cella di carico è stato generato seguendo i passi di se-guito descritti.
1. Tracciamento, con gli strumenti punto e linea del Patran®,del
con-torno di metà sezione longitudinale dell'assieme da analizzare. 2. Suddivisione in quadrilateri della geometria creata al punto a.
per avere la possibilità di generare una mesh di tipo Isomesh, senz'altro più regolare di una di tipo Paver.
3. Posizionamento di una serie di punti geometrici da utilizzare successivamente per ottenere una mesh più regolare e con i nodi affacciati sulle superfici a contatto. Oltre a disporre i punti più vi-cini fra loro avvicinandosi all'asse longitudinale della punta si sfrutta la possibilità di proiettare i punti su linee parallele, sem-pre nell'ottica di ottenere una mesh il più possibile regolare. 4. Creazione di una mesh seed tabular mediante la quale il Patran®
di-spone dei riferimenti sui punti geometrici posizionati nel passo precedente (cfr. Figura 7.21). Su tali riferimenti automaticamente verranno posti dei nodi nella mesh.
137
5. Generazione di una mesh di elementi piani Quad4 scegliendo la dimensione lungo l'asse y di Figura 7.21 degli elementi finiti in-torno al valore uno (parametro Global Edge Lenght).
6. Esecuzione del comando equivalence. In pratica quando il Patran®
individua nel modello due o più nodi distanti fra loro meno di un certo valore limite (Equivalencing Tolerance) ne mantiene solo uno eliminando gli altri.
7. Generazione di elementi solidi di tipo Hex8 (elementi con 6 facce e 8 nodi) e Wedge6 (elementi a cuneo con 5 facce e 6 nodi) con un'operazione di sweep degli elementi piani intorno all'asse della punta. In particolare nella sezione Mesh Control è stato impostato un numero di elementi (in direzione circonferenziale) pari a 40. In direzione radiale la discretizzazione è stata controllata tramite la mesh seed descritta al punto 4. In Figura 7.22 si può osservare la mesh della parte inferiore e superiore del modello dell'assieme,
Parte superiore dell'assieme
Figura 7.21: Mesh seed generata con il Patran sul modello FEM dell'assieme punta, disco di raccordo e cella di carico.
138
esclusa la parte centrale del componente E (prolunga) la cui se-zione trasversale non varia lungo l'asse. Sempre in Figura 7.22 sono stati evidenziati i gruppi di elementi finiti cui verranno as-segnate le proprietà come riportato in Tabella 7.5. Il modello FEM è costituito complessivamente da 53480 elementi.
8. Esecuzione di un'altra operazione di equivalence.
9. Eliminazione di tutti gli elementi finiti piani che sono stati sfrut-tati per generare gli elementi solidi. Questa operazione è necessa-ria per evitare errori nella successiva fase di calcolo.
10.Definizione dei materiali e assegnazione delle proprietà agli ele-menti finiti con i dati numerici riportati inTabella 7.5.
Figura 7.22: Mesh dell'assieme punta, disco di raccordo e cella di carico.
Parte inferiore dell'assieme
139
Nella schematizzazione del modello sono state fatte le seguenti sempli-ficazioni ritenute accettabili nell'ambito di un'analisi modale.
a. Gli accoppiamenti filettati sono stati considerati come delle salda-ture schematizzate, nel modello FEM,con una semplice operazio-ne di equivalence dei nodi.
b. Tutti i fori filettati (ad esempio quello di connessione fra percus-sore semisferico e raccordo tronco conico) sono stati omessi. c. Le quattro viti a testa cilindrica che collegano il disco di raccordo
alla cella di carico sono state eliminate e il volume da esse lasciato è stato riempito con elementi finiti.
Terminata la preparazione del modello è stata impostata l'analisi moda-le (Normal Modes, solution sequence 103) ed è stato salvato il fimoda-le .db di input per il Nastran®. I risultati contenuti nel file di output del Nastran® .xdb letto
tramite il Patran® sono di seguito riportati.
Come ci si aspetta per un modello solido non vincolato i primi sei auto-valori sono praticamente nulli. Il modo proprio corrispondente a una forma modale assiale ha una frequenza di 7880,9 Hz.
Pertanto il requisito della normativa che prevede una frequenza di al-meno 6 kHz è soddisfatto.
Rif. Componente n° elem 3-D n° elem. lungo y Global Edge Lenght Densità [kg/m3] Modulo elastico [MPa] Coeff. Poisson
A Cella di carico parte superiore 1400 5 1,2 7850 210000 0,3 B Cella di carico parte centrale 3080 11 1,27 4500 210000 0,3 C Cella di carico parte inferiore 1400 5 1,2 7850 210000 0,3 D Disco di raccordo 2880 8 1 7850 210000 0,3 E Prolunga e raccordo conico 42120 222 1 2700 70000 0,33 F Percussore semisferico 2600 9 1 7850 210000 0,3
Tabella 7.5: Proprietà del modello FEM delle parti che compongono la cella di carico, il disco di raccordo e la punta.
140
Figura 7.23: Configurazioni estreme (accorciata e allungata) della forma modale assiale per il modello FEM dell'assieme analizzato.
