Esercitazione di Metodi Matematici della Fisica Gioved`ı 28 Ottobre 2004

Esercitazione di Metodi Matematici della Fisica Gioved`ı 28 Ottobre 2004

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Esercizio 1

I = Z

|z|=4

e^z− 1 z²+ zdz

Usiamo lo sviluppo in serie per notare che

e^z=

∞

X

n=0

zⁿ n!

Quindi

e^z− 1 =

∞

X

n=1

zⁿ n!

e^z− 1

z =

∞

X

n=1

zⁿ⁻¹ n! =

∞

X

n=0

zⁿ (n + 1)!

che ´e analitica al finito. A questo punto definisco g(z) = f (z) 1

z + 1

dove la f (z) ´e analitica, mentre la g(z) ha una singolarit´a (polo semplice) in z = −1.

I = 2πiRes[g(z); z = −1]

Res[g(z); z = −1] = lim

z→−1(z + 1)f (z)

z + 1 = f (−1) I = 2πi(1 −1

e)

Esercizio 2

Calcolare i residui della funzione f (z) = z³+ z²− z − 1

z²+ 1

Ricordiamo prima come si calcolano i residui per poli di ordine n > 1.

Res[f (z); z_j] = 1 (n − 1)!

dⁿ⁻¹

dzⁿ⁻¹[(z − z₀)ⁿf (z)]_|z=z0

1

La f (z) ha due poli del primo ordine in ±i e un polo all’infinito (vediamo dopo di che ordine...).

Res[f (z); z = +i] = lim

z→+i(z − i)z³+ z²− z − 1

(z + i)(z − i) =−i − 1 − i − 1

2i = −(1 − i) Res[f (z); z = −i] = −(1 + i)

Res[f (z); z = ∞] = −Res[1 z²f (1

z, 0]

f (1 z) =

1

z³ +_z¹2 −¹_z− 1

1

z² + 1 = 1 + z + z²− z³ z(1 + z²) Per comodita’ definisco g(z)

g(z) =z³+ z²− z − 1 z³(1 + z²)

Calcoliamo quindi questo residuo all’infinito:

1 2!

d² dz²



z³z³+ z²− z − 1 z³(1 + z³)



|z=z0

= 1 2!

d dz

(1 + z²)(3z²+ 2z − 1) − (2z)(z³+ z²− z − 1)

(1 + z²)² _|

z=z0

=1 2

d dz

z⁴+ 5z²+ 4z − 1 1 + z²)² _|

z=z0

=1 2

(1 + z²)²(4z³+ 10z + 4) − 2(1 + z²)(2z)(z⁴+ 5z²+ 4z − 1)

(1 + z²)⁴ _|

z=z0

= 2

Esercizio 3

Teorema: Se f (z) = f1(z)/f2(z) dove f1 e f2 sono funzioni analitiche in z0 e f2(z) ha uno zero semplice in z0, si ha che

Res[f (z); z0] = f1(z0) f₂⁰(z0)

Dimostrazione: f (z) ha un polo semplice in z₀: f (z) = f1(z0) + O(z − z0)

(z − z₀)f₂⁰(z − z₀) + O((z − z₀)²) Calcolare l’integrale

I = Z

|z|=2

tgzdz

2

Ha due poli sull’asse reale (la tangente iperbolica invece li ha sull’asse immaginario):

in z₁= −π/2 e z₂= π/2.

Res[tgz; π/2] = sin z

− sin z_|z=π/2= −1

Res[tgz; −π/2] = sin z

− sin z|z=−π/2

= −1

I = −4πi

Esercizio 4

Calcolare, verificando l’applicabilit`a del Lemma di Jordan, l’integrale in campo complesso

I = Z ∞

−∞

dx 1 + x² Nel semipiano superiore

lim

R→∞

Z

f (z)dz = 0 perche’

|zf (z)|_R= |z|

|1 + z²| ≤ R 1 − R²

L’ultima diseguaglianza segue dal fatto che

|1 − (−z²)| ≥ |1| − |z²| e siccome per R → ∞

R 1 − R² → 0

si pu`o applicare il Lemma di Jordan. Quindi calcolo il residuo relativo al polo presente nel semipiano positivo

I = 2πiRes[f (z); z = +i] = 2πi1 2i = π

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