Esercitazione di Metodi Matematici della Fisica Marted`ı 26 Ottobre 2004
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Serie utili
ez=∞
X
n=0
zn
n! = 1 + z +z2 2 +z3
3! + ..
sin(z) =
∞
X
n=0
(−1)n z2n+1
(2n + 1)! = z − z3 3! +z5
5! + ...
cos(z) =
∞
X
n=0
(−1)n z2n
(2n)! = 1 −z2 2 +z4
4! − ....
cosh(z) =
∞
X
n=0
(+1)n z2n
(2n)! = 1 + z2 2 +z4
4! + ....
sinh(z) =
∞
X
n=0
(+1)n z2n+1
(2n + 1)! = z +z3 3! +z5
5! + ...
log(1 + z) =
∞
X
n=0
(−1)n−1zn
n = z − z2 2 +z3
3 − ....
Esercizio 1
Calcolare mediante il metodo dei residui l’integrale I =
Z 2π 0
1 + sin t 2 + sin tdt
Si integra passando in campo complesso, con cammino di integrazione Γ : z = eiθ. I =
Z
Γ
−i z
2iz + z2− 1 4iz + z2− 1dz
Uno dei poli dell’integrando e’ evidentemente z = 0. Gli altri si ottengono trovando le radici del denominatore.
4iz + z2− 1 = 0 → z1,2= −2i ±√
−4 + 1 = (−2 ±√ 3)i
L’unica delle due radici all’interno del cammino di integrazione e’ z2= (−2 +√ 3)i.
Passiamo a calcolare i residui:
Res[f (z), z = 0] = lim
z→0
i
(z − z1)(z − z2 = i
z1· z2 = i i2(2 +√
3)(2 −√
3) = −i Res[f (z), z = (−2 +√
3)] = 1
i(−2 +√ 3)
i i(−2 +√
3 + 2 +√
3) = −i
2√
3(−2 +√
3) = −i 6 − 4√
3 I = 2π
1 + 1
6 − 4√ 3
Esercizio 2
Calcolare lo sviluppo di Taylor di centro z06= 2 di f(z) = 1/(z − 2) e il suo raggio di convergenza al variare di z0.
Si riscrive f (z) = 1
z − 2 = 1
z − z0+ z0− 2 = 1 z0− 2
1 1 − z−z2−z00
= 1
z0− 2
∞
X
n=0
z − z0 2 − z0
n
Lo sviluppo converge per
z − z0 2 − z0 < 1
ovvero |z − z0| < |2 − z0|. La serie converge se la distanza di z da z0 ´e minore della distanza di 2 da z0, cioe’ il raggio di convergenza arriva fino alla singolarita’
di f (z).
Esercizio 3
Ricordiamo:Z ∞
−∞
eikxf (x)dx = 2πiX
j
Res[eikzf (z); zj+]; k > 0 e
Z ∞
−∞
eikxf (x)dx = −2πiX
j
Res[eikzf (z); zj−]; k < 0 Calcolare in funzione del parametro reale α l’integrale
I(α) = 1 2π
Z ∞
−∞
eiαx x2+ a2dx
i) Caso α ≥ 0: in questo caso l’esponenziale e’ fattore di convergenza nel semipiano positivo.
I(α) = 1
2π2πiRes[f (z); +iα]
f (z) = eiαz z2+ a2
Res[f (z); +iα] =e−αa 2ia I(α) =e−αa
2a
ii) Caso α < 0: in questo caso l’esponenziale e’ fattore di convergenza nel semipiano negativo.
I(α) = − 1
2π2πiRes[f (z); −iα]
Res[f (z); −iα] = e+αa
−2ia I(α) =eαa
2a
Calcolare l’integrale I =
Z
CR
dz z2+ z
sulla circonferenza di raggio R con R variabile.
ICR− IC1− IC2 = 0 ICR= IC1+ IC2
L’integrale su IC1 contiene solo il polo in z = −1 I =
Z
C1
dz
z(z + 1) = −2πiRes[f(z); z = −1] = 2πi(−1) = 2πi Nota bene: il segno meno deriva dal cammino in senso orario!
L’integrale su IC2 contiene solo il polo in z = 0 I =
Z
C0
dz
z(z + 1) = −2πiRes[f(z); z = 0] = 2πi(+1) = −2πi
Se R > 1 ho entrambi i contributi e quindi I = 0. Se invece R < 1, contribuisce solo l’integrale lungo C2 e quindi I = −2πi.
Esercizio 5
Calcolare l’integrale I =
Z
|z|=4
ez− 1 z2+ zdz
Usiamo lo sviluppo in serie per notare che ez=
∞
X
n=0
zn n!
Quindi
ez− 1 =
∞
X
n=1
zn n!
ez− 1
z =
∞
X
n=1
zn−1 n! =
∞
X
n=0
zn (n + 1)!
che ´e analitica al finito. A questo punto definisco g(z) = f (z) 1
z + 1
dove la f (z) ´e analitica, mentre la g(z) ha una singolarit´a (polo semplice) in z = −1.
I = 2πiRes[g(z); z = −1]
Res[g(z); z = −1] = lim
z→−1(z + 1)f (z)
z + 1 = f (−1) I = 2πi(1 −1
e)
Esercizio 6
(veramente troppo facile!) Calcolare l’integrale
I = Z
σ
e1/zdz
dove σ `e una qualunque circonferenza non passante per l’origine.
Se σ non contiene l’origine l’integrale `e banalmente zero. Altrimenti
ez1 =
∞
X
n=0
ha una singolarit´a essenziale in z = 0 per n = 1.
Res[f (z); z = 0] = c−1= 1 I = 2πi
Esercizio 7
Calcolare i residui della funzione f (z) =z3+ z2− z − 1
z2+ 1
Ricordiamo prima come si calcolano i residui per poli di ordine n > 1.
Res[f (z); zj] = 1 (n − 1)!
dn−1
dzn−1[(z − z0)nf (z)]|z=z0
La f (z) ha due poli del primo ordine in ±i e un polo all’infinito (vediamo dopo di che ordine...).
Res[f (z); z = +i] = lim
z→+i(z − i)z3+ z2− z − 1
(z + i)(z − i) =−i − 1 − i − 1
2i = −(1 − i) Res[f (z); z = −i] = −(1 + i)
Res[f (z); z = ∞] = −Res[1 z2f (1
z, 0]
f (1 z) =
1
z3 +z12 −1z− 1
1
z2 + 1 = 1 + z + z2− z3 z(1 + z2) Per comodita’ definisco g(z)
g(z) =z3+ z2− z − 1 z3(1 + z2)
Calcoliamo quindi questo residuo all’infinito:
1 2!
d2 dz2
z3z3+ z2− z − 1 z3(1 + z3)
|z=z0
= 1 2!
d dz
(1 + z2)(3z2+ 2z − 1) − (2z)(z3+ z2− z − 1)
(1 + z2)2 |z=z0
= 1 2
d dz
z4+ 5z2+ 4z − 1 1 + z2)2 |z=z0
= 1 2
(1 + z2)2(4z3+ 10z + 4) − 2(1 + z2)(2z)(z4+ 5z2+ 4z − 1)
(1 + z2)4 |z=z0
= 2
