Esercizi di Algebra Lineare Distanze
Anna M. Bigatti 22 ottobre 2012
Circonferenze e sfere
Definizione 1. Dato un punto C di un piano π e un numero reale positivo ρ , si dice circonferenza di centro C e raggio ρ il luogo dei punti di π che hanno distanza ρ da C .
Definizione 2. Dato un punto C nello spazio e un numero reale positivo ρ , si dice sfera di centro C e raggio ρ il luogo dei punti dello spazio che hanno distanza ρ da C .
(x − xC)2+ (y − yC)2+ (z − zC)2= ρ2
Consideriamo ora il luogo dei punti del piano le cui coordinate soddisfano l’equazione x2+ y2+ ax + by + c = 0
Completando i quadrati, l’equazione precedente si pu`o riscrivere (x + a/2)2+ (y + b/2)2= a2/4 + b2/4 − c e quindi, posto σ = a2/4 + b2/4 − c , si ha:
• se σ > 0 una circonferenza di centro C = (−a/2, −b/2) e raggio ρ =√ σ ;
• se σ = 0 il solo punto C ;
• se σ < 0 l’insieme vuoto.
Analogamente per una sfera nello spazio.
Esercizio 3. Provare che il sistema
x2+ y2+ z2− 2x − 4y − 4 = 0 3x − 4y + 15 = 0
rappresenta una circonferenza γ ; determinare il centro e il raggio di γ . Soluzione
S := x^2 + y^2 + z^2 - 2*x - 4*y -4; -- equazione della sfera ---- completo i quadrati
1
XC := 1;
YC := 2;
ZC := 0;
(x-XC)^2 + (y-YC)^2 + (z-ZC)^2;
-- x^2 +y^2 +z^2 -2*x -4*y +5
---- Quindi S = (x-XC)^2 + (y-YC)^2 + (z-ZC)^2 -9 S = (x-XC)^2 + (y-YC)^2 + (z-ZC)^2 -9; --> true
quindi rappresenta una sfera di centro C = (1, 2, 0) e raggio ρ = 3 .
La distanza d(π, C) del piano π : 3x − 4y + 15 = 0 dal centro C `e 2 (|3∗1−4∗2+15|√
9+16 ) e quindi π `e secante a S e l’equazione rappresenta una circonferenza.
Applicando il teorema di Pitagora, si ha che il raggio della circonferenza `e pρ2− d(C, π)2=√
9 − 4 =√ 5 Il centro della circonferenza `e la proiezione ortogonale di C su π : C := [XC, YC, ZC];
V := [3, -4, 0]; -- vettore ortogonale a pi
Q := t*V + C; Q; -- punto generico sulla retta per C ortogonale a pi --> [3*t +1, -4*t +2, 0]
---- impongo appartenenza a pi: 3x - 4y + 15 = 0 ScalarProduct(Q,V) + 15;
--> 25*t +10 --> t = -10/25
CC := Subst(Q, [[t,-10/25]]); CC; --> [-1/5, 18/5, 0]
Il centro della circonferenza `e quindi (−1/5, 18/5, 0) . ut Esercizio 4 (Esame Settembre 2012).
Sono dati la retta r : {z = x − 3; y = 1} e il punto P = (0, 2, 1) . (a) Determinare il piano passante per r e P
(b) Determinare le sfere di raggio 9 con centro su r e passanti per P
(c) Scrivere una rappresentazione cartesiana per la circonferenza γ ottenuta ruotando P attorno a r
(d) Determinare la retta t tangente a γ in P Soluzione
Use QQ[x,y,z, a,b,c];
--- (a) piano per r e P P := [0,2,1];
---- fascio di piani per r F := a*(x-z-3) + b*(y-1); F;
---- impongo il passaggio per P
a*(0-1-3) + b*(2-1); --> -4a+b = 0 ==> 4a = b ---- scelgo a=1, b=4:
1*(x-z-3) + 4*(y-1); --> x +4*y -z -7
2
---- verifico passaggio per P:
0 +4*2 -1 -7 = 0; --> true
---- Conclusione: il piano per r e P ha equazione x +4*y -z -7 = 0 --- (b) sfere di raggio 9 passanti per P
---- scrivo r in forma parametrica: pongo x=a parametro r := [a, 1, a-3];
---- sfera con centro su r e raggio 9:
S := (x-r[1])^2 + (y-r[2])^2 + (z-r[3])^2 -9^2; S;
-- x^2 +y^2 +z^2 -2*x*a -2*z*a +2*a^2 -2*y +6*z -6*a -71 ---- impongo il passaggio per P:
subst(S, [[x,0],[y,2],[z,1]]);
-- 2*a^2 -8*a -64 = 0 per a = -4 e a = 8
-- Conclusione: le sfere di raggio 9 con centro su r e passanti per P sono subst(S, [[a,-4]]); subst(S, [[a,8]]);
-- S1: x^2 +y^2 +z^2 +8*x -2*y +14*z -15 = 0 -- S2: x^2 +y^2 +z^2 -16*x -2*y -10*z +9 = 0
--- (c) circonferenza ottenuta ruotando P attorno a r ---- il centro e’ la proiezione ortogonale di P su r:
---- impongo P-(punto generico di r) perpendicolare a r (1,0,1) P-r; --> [-a, 1, -a +4]
ScalarProduct(P-r, [1,0,1]); --> -2*a +4 = 0 ==> a=2
C := subst(r, [[a,2]]); C; --> [2, 1, -1] e’ il centro della circonferenza ---- scrivo la circonferenza come intersezione di:
---- piano per P e perpendicolare a r:
ScalarProduct([x,y,z]-P, [1,0,1]); --> x +z -1 ---- sfera per P con centro C
Rho2 := ScalarProduct(P-C, P-C); Rho2; --> 9 e’ il raggio al quadrato (x-C[1])^2 + (y-C[2])^2 + (z-C[3])^2 - Rho2; -- sfera di centro C e raggio 3 --> x^2 +y^2 +z^2 -4*x -2*y +2*z -3
---- verifico: passaggio per P
subst(x^2 +y^2 +z^2 -4*x -2*y +2*z -3, [[x,0],[y,2],[z,1]]) = 0; --> true ---- Conclusione: circonferenza ottenuta ruotando P attorno a r ha equazione -- x +z -1 = 0
-- x^2 +y^2 +z^2 -4*x -2*y +2*z -3 = 0
--- (d) retta tangente alla circonferenza in P ---- scrivo la tangente come intersezione di:
---- piano per P e perpendicolare a r: x +z -1 = 0
---- piano tangente alla sfera in P: piano per P e perpendicolare a P-C ScalarProduct([x,y,z]-P, P-C); --> -2*x +y +2*z -4
---- verifico la tangenza: la distanza del piano da C deve essere 3:
ScalarProduct([-2,1,2], [-2,1,2]); --> 9 (-2*C[1] +C[2] +2*C[3] -4)/3; --> -3 vero
---- Conclusione: la retta tangente alla circonferenza in P ha equazione ---- x +z -1 = 0
---- -2*x +y +2*z -4 = 0
3
u t Esercizio 5. Determinare, se esistono, i piani che passano per la retta r : (t, t, t − 1) e sono tangenti alla sfera S : x2+ y2+ z2− 2x = 0 .
Soluzione Traccia:
• calcolare il raggio ρ e il centro C di S ;
• calcolare il fascio di piani per r ;
• cercare tra i piani del fascio quelli che distano ρ da C ;
• non ne esistono! quindi verificare che r `e secante a S (cio`e d(C, r) < ρ )
u t Esercizio 6. Data nello spazio la sfera di equazione x2+ y2+ z2− 2x − 4y − 4 = 0 calcolarne la sfera simmetrica rispetto a P = (1, 0, 0) .
4
