Esercizi di Algebra Lineare Coniche
6-7 maggio 2013
Una conica di R2 `e definita da un’equazione del tipo
a11x2+ 2a12xy + a22y2+ 2a13x + 2a23y + a33= 0
Rotazione (per eliminare il termine misto)
Data una conica iniziamo a studiarla isolando la “forma iniziale”, cio`e la parte omogenea di grado 2: a11x2+ 2a12xy + a22y2. Questa `e una forma quadratica Q associata alla matrice simmetrica A := MQE=a11 a12
a12 a22
.
Abbiamo visto che, essendo A simmetrica, esiste P = MFE matrice ortogonale ( F base ortonormale) tale che ∆ = P−1AP (similitudine), e quindi `e anche una congruenza ∆ = PtrAP perch´e Ptr= P−1.
Applichiamo il cambio di coordinate (una rotazione):
x y
= MvE= MFE· MvF = MFE·x1 y1
(1) e otteniamo l’equazione della conica nella nuova base:
b11x21+ b22y21+ 2b13x1+ 2b23y1+ b33
Esempio 1 Vogliamo studiare la conica: γ : 3x2− 2xy + 3y2− 14x + 10y + 15 = 0 . La forma iniziale `e 3x2− 2xy + 3y2, la cui matrice associata `e A = 3 −1
−1 3
.
• il polinomio caratteristico `e (λ − 2)(λ − 4)
• autospazio di 2 : h(1, 1)i
• autospazio di 4 : h(−1, 1)i
• x y
= MvE= MFEMvF = MvE=
√2 2 X −
√2 2 Y
√2 2 X +
√2 2 Y
!
Quindi, rispetto alla base ortonormale F , l’equazione della conica `e 2x21+ 4y21− 2√
2x1+ 12√
2y1+ 15 = 0
La forma quadratica `e definita positiva, quindi la conica `e una ellisse (o un cerchio), o un punto, o nessun punto.
1
Traslazione (per eliminare i termini di primo grado)
Per calcolare la posizione dell’origine di un sistema di coordinate rispetto al quale la conica non abbia termini di primo grado usiamo la tecnica del completamento dei quadrati:
Osserviamo che, se n 6= 0 allora
w2+ 2n·w = w2+ 2n·w + n2− n2 = (w + n)2− n2 Esempio 2
2x21+ 4y12− 2√
2x1− 12√
2y1+ 15 =
= 2x21− 2√
2x1 + 4y21+ 12√
2y1 + 15 =
= 2(x21−√
2x1) + 4(y12+ 3√
2y1) + 15 =
= 2(x1−
√2
2 )2− 1 + 4(y1+ 3
√2
2 )2− 18 + 15 =
= 2(x1−
√2
2 )2+ 4(y1+ 3
√2 2 )2− 4 L’origine, rispetto alla base F , ha coordinate (
√2 2 , −3
√2
2 ) . Calcoliamo le coordinate rispetto a E : MCF :=
√2 2
−3
√2 2
!
; MCE= MFEMCF = 2
−1
Conclusione: nel sistema con origine (2, −1) e base F l’equazione della conica `e x22
2 + y22= 1 quindi `e un’ellisse (reale).
2
Esercizio 3 Studiare la conica definita dall’equazione Q(x, y) = 9x2+ 4y2− 12xy − x + y − 2
• forma quadratica: [[9, -6], [-6, 4]]);
• polinomio caratteristico: λ(λ − 13)
• autospazio di 0: u = (2, 3)
• autospazio di 13: v = (−3, 2)
• MFE = 3√
13/13 2√ 13/13
−2√
13/13 3√ 13/13
• equazione:
13X2− 5√
13/13X +√
13/13Y − 2 = 0
• C : trovo prima XC, sostituisco, poi YC
MCF = 1377√ 13/676 5√
13/(169 · 2)
MCE= MFEMCF = 696/169 4111/676
• equazione: 13X22+√
13/13Y2= 0
Conclusione: Q `e l’equazione di una parabola con il vertice in C(696/169, 4111/676) ≈ (4.1, 6.1) e l’asse `e il nuovo asse delle y , cio`e la retta per C parallela al vettore (−3, 2)
Classificazione
I casi che possiamo ottenere dopo la rotazione e la traslazione sono questi:
b11x22+ b22y22+ c se b116= 0 b226= 0 b11x22+ cy2 se b116= 0 b22= 0 cx2+ b22y22 se b11= 0 b226= 0 Concludiamo mostrando tutti i possibili casi.
Coniche non degeneri
x22 a21 +ya222
2
= 1 ellisse
x22 a21 +ya222
2
= −1 nessun punto reale
x22 a21 −ya222
2
= 1 xa222 1
−ya222 2
= −1 iperbole
x2= ay22 y2= ax22 parabola Coniche degeneri
x22 a21 −ya222
2
= 0 due rette reali
x22 a21 +ya222
2
= 0 un punto: (0, 0) (due rette complesse) x22= 0 y22= 0 due rette coincidenti
3
1 Studio delle coniche senza termini di primo grado
Q(x, y) + n = 0
Forma quadratica non definita
2 casi: n = 0 due rette incidenti, n 6= 0 iperbole Q(x, y) = 123x2+ 200xy + 20y2
123 100 100 20
123x2+ 200xy + 20y2= 0 123x2+ 200xy + 20y2− 104= 0 123x2+ 200xy + 20y2− 106= 0
Forma quadratica definita positiva
3 casi: n > 0 nessun punto, n = 0 un punto, n < 0 ellisse Q(x, y) = 5x2+ 10xy + 9y2
5 5 5 9
5x2+ 10xy + 9y2= 0 5x2+ 10xy + 9y2− 104= 0 5x2+ 10xy + 9y2− 105= 0
Forma quadratica semidefinita positiva
3 casi: n > 0 nessun punto, n = 0 una retta, n < 0 due rette parallele Q(x, y) = 4x2+ 12xy + 9y2
4 6 6 9
4x2+ 12xy + 9y2= 0 4x2+ 12xy + 9y2− 103= 0 4x2+ 12xy + 9y2− 104= 0
4
