Esercizi di Algebra Lineare Fasci di coniche

Esercizi di Algebra Lineare Fasci di coniche

20 maggio 2013

Esercizio 1 Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche tangenti in O all’asse y , e per passanti per i punti A(1, 0) , B(1, 2) . Determinare vertice e asse della parabola p di Φ . Soluzione

• C₁: asse y e retta per A e B : C₁: x(x − 1) .

• C₁: retta per O e A e retta per O e B : C₂: y(2x − y) .

• Φ : kx(x − 1) + y(2x − y) = 0 −→ Φ : kx²+ 2xy − y²− kx = 0 det(A) = −k − 1; det(A⁰) =^k₄².

• Coniche degeneri:

– x(x − 1) = 0 : C₁, due rette parallele – det(A⁰) = 0 : k = 0 C₂, due rette incidenti

• Coniche non degeneri:

– det(A) > 0 : k < −1 ELLISSI.

– det(A) < 0 : k > −1 IPERBOLI.

– det(A) = 0 : k = −1 PARABOLA p : (x − y)²− x = 0 .

L’asse `e parallelo a r : x − y = 0 ; per determinare la tangente interseco col fascio di rette perpendicolari all’asse:

(x + y = t

(2x − t)²− x = 0 4x²− (4t + 1)x + t² = 0 ;

∆ = (4t + 1)²− 16t² = 8t + 1 = 0−→ tangente per t = −¹₈, il vertice `e il punto (₁₆¹, −₁₆³) , l’asse ha equazione x − y − ¹₄= 0 .

u t

Esercizio 2 Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche che passano per A(1, 0) con tangente x + y − 1 = 0 , e per B(3, 0) con tangente x − y − 3 = 0 . Studiare la parabola p di Φ determinandone vertice e asse.

Soluzione

• C₁ due tangenti: (x + y − 1)(x − y − 3) = 0 ;

• C₂ retta per A e B contata due volte: y²= 0 .

• Φ : (x + y − 1)(x − y − 3) + ky²= 0−→Φ : x²+ (k − 1)y²− 4x − 2y + 3 = 0 . det(A) = k − 1 e det(A⁰) = −k .

• Coniche degeneri:

– C2: y²= 0 , due rette coincidenti

– det(A⁰) = 0 : k = 0 C1, due rette incidenti

• Coniche non degeneri:

1

– det(A) > 0 : k > 1 ELLISSI.

– det(A) < 0 : k < 1 IPERBOLI.

– det(A) = 0 : k = 1 PARABOLA p : y =¹₂(x²− 4x + 3) .

L’asse di simmetria `e parallelo all’asse y : vertice V (2, −1) , asse x − 2 = 0

u t

Esercizio 3 Studiare il fascio Φ di coniche di equazione Φ : x² + kxy + y²− 2 − k = 0 determinandone in particolare i punti base e le coniche degeneri.

Soluzione

• Matrice associata:





1 ^k₂ 0

k

2 1 0

0 0 −2 − k



 det(A) = (1 −^k₄²); det(A⁰) = (k + 2)(^k₄² − 1)

• Coniche degeneri: det(A⁰) = 0

– k = 2 : C1: (x + y)²− 4 = 0 −→ C1: (x + y − 2)(x + y + 2) = 0 due rette incidenti – k = −2 : C2: (x − y)²= 0 due rette coincidenti

– interseco C₁ e C₂ per ottenere i punti base:

(x = y

x + y − 2 = 0 −→ (1, 1) doppio;

(x = y

x + y + 2 = 0 −→ (−1, −1) doppio.

• Coniche non degeneri:

– det(A) > 0 : −2 < k < 2 ELLISSI.

– det(A) < 0 : k < −2, k > 2 IPERBOLI. (per “ k = ∞ ” si trova l’iperbole xy = 1 ) – det(A) = 0 : k = 2, k = −2 non ci sono parabole.

u t

Esercizio 4 Studiare il fascio di coniche Φ : x²+kxy +y²+kx+ky +k −2 = 0 determinandone in particolare i punti base e le coniche degeneri. Studiare la parabola di Φ .

Esercizio 5 Studiare il fascio Φ di coniche di equazione x²+kxy+y2−2−k = 0 determinando in particolare le coniche degeneri ed i punti base di Φ . Verificare che le ellissi di Φ sono tutte reali.

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