Numero di fotoni
4) sapendo che il raggio massimo della pupilla e’ di circa 3 mm,
calcolare la massima distanza a cui e’ visibile la lampada.
Si commenti il risultato
una lampada a vapori di sodio irraggia uniformemente in tutte le direzioni con una potenza di 1 Watt radiazione elettromagnetica di lunghezza d’ onda = 0.589 m
1) quanti fotoni emette al secondo
2) quanti fotoni emessi dalla lampada giungono su di una superficie di 1 cm
2posta ad 1 m di distanza dalla lampada ? E quanti a 100 m ?
3) la sensibilita’ dell’occhio umano a tale lunghezza d’onda e’ di circa 100 fotoni al secondo, cioe’ bisogna che mediamente entrino nella pupilla 100 fotoni al secondo affinche’ si possa avere percezione visiva della luce.
A che potenza corrisponde ?
hc h
E
Joule E hc 1 . 989 10
25
Jm hc
25
8 34
10 989
. 1
10 00
. 3 10
63 . 6
se la lunghezza d’onda dei fotoni emessi e ’ = 0.589 10
-6m, l’energia dei singoli singoli fotoni emessi dalla lampada, che
evidentemente si assume sia monocromatica, sara’ : hc J
E
6 1925
10 377
. 10 3
589 .
0
10 989 .
1
l’energia del fotone e’ data da :
eV hc J
E 3 . 377 10
19 2 . 111
volendo esprimere l’energia in elettronvolt : dato che 1 eV = 1.6 10
-19Joule ne segue che 1 Joule = 0.625 10
19eV
Joule sec Watt 1
1
l’energia totale emessa dalla sorgente in un secondo sara’ :
1 18
19
2 . 961 10 10
377 .
3 / 1
1 Watt
fotoni s
in conclusione la risposta alla prima domanda e’ che la in conclusione la risposta alla prima domanda e’ che la
sorgente emette 2.96 10
sorgente emette 2.96 10
1818fotoni al secondo fotoni al secondo
poiche’
10
18961 .
19 2 10
377 .
3
1
fotone fotoni tot
E n E
segue che la quantita’ di fotoni emessi dalla sorgente ogni secondo sara’:
E
tot= 1Watt sec = 1 Joule
per definizione di angolo solido:
l’angolo solido sotteso da una calotta sferica appartenente ad
una sfera di raggio R si misura come rapporto dell’area, dS, della calotta sferica sul quadrato del raggio R. Ossia :
R
2d dS
la superficie di cui si parla nel testo del problema e’ posta ad una distanza R dalla sorgente ed e’ una superficie piana, non una calotta sferica
i steradiant R
d dS
44
2
10
1
10
dovremmo quindi proiettare la superficie piana S sulla sfera di raggio R centrata sulla sorgente e calcolare l’angolo solido come rapporto della superficie S’ sottesa da S sulla superficie della sfera e il quadrato del raggio R.
pero’ si tratta di una superficie molto piccola posta a grande distanza dalla sorgente. Dunque si puo’ fare l’approssimazione della superficie piana ad una calotta sferica , ossia dS = dS’
%) 10
958 . 7
% 4 100
10 : (
10 958 . 4 7
10
4 4
6 4
e percentual in
d
tot
1 13
18
6
2 . 961 10 2 . 356 10 10
958 .
7
fotoni s
se la sorgente emette uniformemente in tutte le direzioni, ossia se la sorgente e’ isotropa isotropa la quantita’ di fotoni emessi sara’ distribuita in modo uniforme su tutta l’angolo solido
quindi il rapporto tra la superficie e l’angolo solido totale sara’:
l’angolo solido sotteso da tutto lo spazio e’ 4
l’angolo solido sotteso da tutto lo spazio e’ 4 radianti radianti
sulla superficie di un cm2 posta ad un metro di distanza incideranno :
un calcolo analogo fatto considerando la superficie di un cm2 posta a cento metri di distanza fornisce il risultato :
i steradiant R
d dS
4 84
2
10
10
10
2
(# )
4
# fotoni in d dS totale di fotoni emessi
R
la quantita’ di fotoni che raggiungera’ una determinata superficie sferica sara’
proporzionale al rapporto tra l’angolo solido sotteso dalla superficie della calotta sferica e l’angolo solido totale
quindi la risposta alla seconda domanda e’ che sulla quindi la risposta alla seconda domanda e’ che sulla
superficie di un cm
superficie di un cm
22giungono 2.356 10 giungono 2.356 10
1313fotoni al secondo, fotoni al secondo, se la superficie e’ posta ad 1 metro di distanza dalla
se la superficie e’ posta ad 1 metro di distanza dalla sorgente e 2.356 10
sorgente e 2.356 10
99fotoni se la superficie e’ posta ad fotoni se la superficie e’ posta ad 100 metri di distanza dalla sorgente
100 metri di distanza dalla sorgente
%) 10
958 . 7
% 4 100
10 : (
10 958 . 4 7
10
8 8
8 10
e percentual in
d
tot
1 9
18
10
2 . 961 10 2 . 356 10 10
958 .
7
fotoni s
in conclusione :
3) Risposta alla terza domanda:
100 fotoni al secondo corrisponderanno a 100/2.961 1018 = 3.377 10-17 Watt
1
10
18961 .
2
1 Watt fotoni s
se
4) Risposta alla quarta domanda: dalla
)
4 (#
)
( 2 totale di fotoni emessi
R n d dS
# fotoni i
imponendo le condizioni che :
# fotoni in d 100
2 5 2
-3
2
( 3 10 ) 2 . 827 10 m
r
dS
pupilla
si ricava
4
# dS
n d
# fotoni i
emessi fotoni
di totale
R
si ottiene R = 2.581 10
5m = 258 Km
1) aumentare la superficie dS, ossia aumentare il diametro del rivelatore telescopi
2) aumentare la sensibilita’ del rivelatore al limite massimo di poter rivelare un solo fotone alla volta fotomoltiplicatori
commento :
Si tratta di distanze enormi !!!
E’ chiaro che questo sarebbe possibile nel vuoto. Nella realta’ si sta trascurando l’assorbimento dell’atmosfera terrestre
per migliorare ci sono due modi possibili:
