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- Esercizi di riepilogo e di complemento
Volume di un solido di rotazione
1. Determinare il volume della sfera di raggio r e i volumi dei segmenti sferici ad una e a due basi.
[
43πr3; π(α2− α1){r2−13(α22+ α1α2+ α21)}]
2. Si consideri il dominio avente per frontiera l’arco di asteroide di equazione x
2/3+ y
2/3= a
2/3, y 0, (a costante > 0)
e il segmento −a x a dell’asse delle x. La rotazione del dominio di un giro completo intorno all’asse x genera un solido Q. Determinare il volume V di Q.
[
10532πa3]
3. Determinare i volumi dei solidi generati dalla rotazione completa intorno all’asse x dei domini delimitati dalla seguenti curve:
a) y = sin x (0 x π), y = 0;
b) y
2= 4x (0 y 4), x = 4;
c) y
2= 9x (0 x 1), y = 3x;
d) y = xe
x(0 x 1), x = 1, y = 0;
e) y = e
x/2+ e
−x/2x = ±1, y = 0.
[
a) π22; b) 32π; c) 32π; d) π4(e2− 1); e) 2πe2+2e−1e]
4. Determinare il volume V del solido Q generato dalla rotazione di 180° intorno all’asse x del dominio limitato dalla lemniscata
(x
2+ y
2)
2− 2a
2(x
2− y
2) = 0 (a costante positiva).
[
πa63[3 log(3 + 2√ 2) − 2√2]
