Test preliminare di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 15 Luglio 2020 — Traccia 0
COGNOME NOME MATRICOLA
1 Nello spazio vettoriale R3, dotato del prodotto interno standard, si considerino i sottospazi U = h(0, 1, 1), (2, 0, 1)i e V = h(1, 1, 2)i. Si determini la dimensione di U + V e la dimensione ed una base di V⊥.
Si ha che dim(U +V ) = rg
0 1 1 2 0 1 1 1 2
= 3. Inoltre dim(V⊥) = 2 ed una base di V⊥`e {(1, −1, 0), (0, 2, −1)}.
2 Determinare la dimensione del nucleo e dell’immagine dell’applicazione lineare F +G, dove F : (x1, x2, x3) ∈ R3 7−→ (x1, 0, x3, 0) ∈ R4 e G : (x1, x2, x3) ∈ R3 7−→ (x1, x1+ x2− x3, 2x1+ x2 − x3, x2− x3) ∈ R4.
La matrice associata ad F +G : (x1, x2, x3) ∈ R3 7−→ (2x1, x1+x2−x3, 2x1+x2, x2−x3) ∈ R4 rispetto alle
basi canoniche risulta M =
2 0 0 1 1 −1 2 1 0 0 1 −1
e dim(Im(F + G)) = rg(M ) = 3. Pertanto dim(Ker(F )) = 0.
3 Determinare i valori del parametro reale k per i quali il seguente sistema lineare omogeneo ammette soluzioni non banali:
kx − y + 3z = 0 x + y − kz = 0 2x + 2y + kz = 0
Sia A =
k −1 3
1 1 −k
2 2 k
la matrice incompleta del sistema. Quindi det(A) = 3k(k + 1) ed il sistema ha soluzioni non banali se e solo se det(A) = 0, quindi k ∈ {0, −1}.
4 Stabilire se la matrice A =
1 0 0 0 1 0 1 0 4
`e diagonalizzabile.
Il polinomio caratteristico di A risulta det(A − λI) = (1 − λ)2(4 − λ). Allora A ha come autovalori 1 e 4, dove ma(1) = 2 e ma(4) = 1 = mg(4). Inoltre mg(1) = 3 − rg(A − 4I) = 2. Pertanto A `e diagonalizzabile.
5 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, determinare le equazioni del piano π passante per P = (0, 2, 1) ed ortogonale ai piani α : x + y − z = 0 e β : 2x + y + z = 0.
Se −→n = (a, b, c) `e un vettore normale a π, allora a + b − c = 2a + b + c = 0. Quindi possiamo assumere che −→n = (−2, 3, 1) e π : −2x + 3y + z + λ = 0. Inoltre P ∈ π, quindi λ = −7 e π : −2x + 3y + z − 7 = 0.
Test preliminare di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 15 Luglio 2020 — Traccia 1
COGNOME NOME MATRICOLA
1 Nello spazio vettoriale R4, dotato del prodotto interno standard, si considerino i sottospazi V = h(0, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 0)i e U = h(2, 0, 0, 1), (0, 0, −2, 0), (0, 0, 1, −1)i. Si determini la dimensione di U + V e la dimensione ed una base di V⊥.
Si ha che dim(U + W ) = rg
0 1 0 0
1 1 0 0
2 0 0 1
0 0 −2 0
0 0 1 −1
= 4. Inoltre dim(V⊥) = 2 ed una base di V⊥ risulta
{(0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}.
2 Determinare la dimensione del nucleo e dell’immagine dell’applicazione lineare F + G, dove
F : (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 7−→ (x1+ x2, x2− x3, x1+ x3) ∈ R3 e G : (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 7−→ (x1− x2, 2x1− x2+ x4, −x1+ x2+ x4) ∈ R3.
La matrice associata ad F + G : (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 7−→ (2x1, 2x1 − x3 + x4, x2 + x3 + x4) ∈ R3 rispetto alle basi canoniche risulta M =
2 0 0 0
2 0 −1 1
0 1 1 1
e dim(Im(F + G)) = rg(M ) = 3. Pertanto dim(Ker(F )) = 1.
3 Determinare i valori del parametro reale k per i quali il seguente sistema lineare omogeneo ammette soluzioni non banali:
2x + ky − z = 0 x + y − 3z = 0 kx − 2y + 2z = 0
Sia A =
2 k −1
1 1 −3
k −2 2
la matrice incompleta del sistema. Quindi det(A) = −3k2− k − 6 ed il sistema non ha mai soluzioni non banali in quanto det(A) = 0 non ha radici reali.
4 Stabilire se la matrice A =
1 0 1 0 1 1 0 0 1
`e diagonalizzabile.
Il polinomio caratteristico di A risulta det(A − λI) = (1 − λ)3. Allora A ha come autovalore 1, dove ma(1) = 3. Inoltre mg(1) = 3 − rg(A − I) = 2. Pertanto A non `e diagonalizzabile.
5 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si determini il piano π del fascio proprio avente come asse x + y − z = x − 4y + z − 1 = 0 che sia perpendicolare al piano x = 1.
Il generico piano del fascio ha equazione cartesiana (λ + µ)x + (λ − 4µ)y + (µ − λ)z − µ = 0. Tale piano
`
e perpendicolare al piano x = 1 qualora λ = −µ. Allora π : −5y + 2z − 1 = 0.
