Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e dell'Automazione
Anno Accademico 2005/2006
Matematica 1
Appello del 14 gennaio 2006
Nome:...
N. matr.:... Ancona, 14 gennaio 2006
Domande di sbarramento.
1. Siano fa
n g e fb
n
g due successioni tali che lim
n!1 a
n
= 5 e lim
n!1 b
n
= 0 e sia
fc
n
g una terza successione, con c
n
= b
n
=(a
n
5). Secondo le proprieta algebriche
dell'op erazione dilimite,qualedelleseguenti a ermazionie vera?
1
il lim
n!1 c
n
euna formaindeterminata;
2
lim
n!1 c
n
=0;
3
lim
n!1 c
n
=1;
4
lim
n!1 c
n
=5.
2. Sia f : ( 1;1)! Rla funzione f(x)=x n
, con n 2Z. Quale di queste a erma-
zioni e vera?
1
f e strettamentecrescentep er n<0;
2
f e strettamentedecrescentep er n >0;
3
f e strettamentecrescentep er n>0 () n e dispari;
4
f e strettamentecrescentep er n>0 () n e pari.
3. Sia a>0un numerorealea siaf(x) continua edispariin[ a;a],conf(x)>0 p er
x>0. Quale delleseguenti a ermazionievera?
1
j R
a
a
f(x)dxj=2 R
a
a
f(x)dx;
2 R
a
a
jf(x)jdx<
R
a
a
f(jxj)dx;
3 R
a
a
f(jxj)dx<
R
a
a
jf(x)jdx;
4
j R
a
f(x)dxj R
a
jf(x)jdx.
Dimostrare la continuitadi una funzione derivabile in un punto x
0
deldominio.
Esercizi.
1. Calcolare il limite
lim
n!1
2n 1
n+3
4n
2
3n+1
8n 2
+1
:
2. Determinareil dominioe l'immaginedella funzionef(x)=log (1 x 2
).
3. Calcolare la derivata dellefunzione
f(x)=e x
jcosxj;
considerando tutti i p ossibilipunti dinon derivabilita.
4. Calcolare l'integraleinde nito
Z
sin 3
xdx
5. Studiare la funzione
x 2 p
2
