[ fila 1 ]

Analisi per informatici - Corsi A , B , R

Prova scritta del 4 giugno 2007 [ fila 1 ]

1. ( punti 9 )

Studiare le principali proprietà e tracciare il grafico della funzione

f ( x ) = 1

log sen x + 2 ^.

E’ richiesto anche lo studio della derivata seconda .

2. ( punti 4 + 6 ) Data la funzione

3

4 2

x log x f ( x ) =

( 1 + x )

( i ) provare che l’integrale generalizzato

+

1

f ( x ) dx

∫ ∞ esiste finito ( ii ) calcolare il valore dell’integrale .

3. ( punti 6 )

Risolvere l’equazione differenziale y ' = 1 - y ² con la condizione iniziale y ( 0 ) = 3 / 2 .

4. ( punti 4 + 3 )

Data la successione a

= n log

2 2

3 + n 1 + n

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ :

( i ) calcolarne il limite

( ii ) studiare la convergenza della serie _n

n = 1

a

∑ ∞ ^.

Analisi per informatici - Corsi A , B , R

Prova scritta del 4 giugno 2007 [ fila 2 ]

5. ( punti 9 )

Studiare le principali proprietà e tracciare il grafico della funzione

f ( x ) = 1

log cos x - 2 ^.

E’ richiesto anche lo studio della derivata seconda .

6. ( punti 4 + 6 ) Data la funzione

2 3 2

3 x log x f ( x ) =

( 1 + x )

( i ) provare che l’integrale generalizzato

+

1

f ( x ) dx

∫ ∞ esiste finito ( ii ) calcolare il valore dell’integrale .

7. ( punti 6 )

Risolvere l’equazione differenziale y ' = y ( 1 + log y ) con la condizione ² iniziale y ( 0 ) = e .

8. ( punti 4 + 3 )

Data la successione a

= n log

3 3

1 + n 3 + n

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ :

( i ) calcolarne il limite

( ii ) studiare la convergenza della serie _n

n = 1

a

∑ ∞ ^.