Dimostrare che se bn `e una successione infinitesima e an= bn+ bn+1, allora la serie X n≥0 (−1)nan `e convergente

(1)

Analisi Matematica II

Politecnico di Milano – Ingegneria

Esercizi – Serie

1. Calcolare le seguenti serie.

(a) X

n≥1

2ⁿ+ 1 3ⁿ⁺¹ (b) X

n≥2

(−3)ⁿ+ 3ⁿ 5ⁿ (c) X

n≥0

3 + (−1)ⁿ5 + (−2)ⁿ 4ⁿ

(d) X

n≥1

1 n(n + 2) (e) X

n≥1

1 n(n + 1)(n + 2) (f) X

n≥1

3n + 2 n²(n + 1)²(n + 2) (g) X

n≥0

(−1)ⁿ 2n²+ 11n + 13 (n + 1)(n + 2)(n + 3)

2. Dimostrare che se bn `e una successione infinitesima e an= bn+ bn+1, allora la serie X

n≥0

(−1)ⁿan

`e convergente.

3. Stabilire il carattere delle seguenti serie.

(a) X

n≥0

n³+ 5n²+ 8n + 12 n⁷+ n⁵+ 7n²+ 9 (b) X

n≥0

n⁴+ 7n³+ 9n²+ n + 2 n⁵+ 8n⁴+ 9n³+ n²+ 3n + 1 (c) X

n≥1

5 + 2 sin n n (d) X

n≥2

n²+ artg n n³ln n (e) X

n≥0

2ⁿ+ 4n + n√ n 2ⁿ+ 3ⁿ+ 5√

n (f) X

n≥2

ln 1

√n⁵

(g) X

n≥0

artg 1

√n

(h) X

n≥3

√n + 3 −√ n − 3 n

(2)

(i) X

n≥0

n²√³ n + 1 2ⁿ√

3n + 1 (j) X

n≥0

eⁿ(n + 1) (2ⁿ+ 1)√

n + 2 (k) X

n≥0

n!

(2n)!

(l) X

n≥0

¡_2n

n

¢

¡_4n

2n

¢

(m) X

n≥0

n³ eⁿ− 1 (n) X

n≥0

(2 + (−1)ⁿ)√³ n 1 + e^√ⁿ (o) X

n≥1

ln n n²

(p) X

n≥1

µn²+ 3n + 1 n²+ 5n + 7

¶_n²

(q) X

n≥1

1 8ⁿ

µn + 3 n

¶n²

(r) X

n≥1

1 3^{ln n!}

(s) X

n≥1

n⁴+ n√

n + n²cos n 1 + n⁵+ n²2ⁿ (t) X

n≥1

µn³ 3ⁿ +

µ n + eⁿ n + 2eⁿ

¶_n¶

4. Mostrare che le seguenti serie convergono assolutamente.

(a) X

n≥1

sin(3n²) (n + 1)√

n + 2 (b) X

n≥1

sin n + 2 cos n

√n√³ n + 1√⁴

n + 2 (c) X

n≥0

snsin(2ⁿ+ n³) cos(n²+ n + 1) (1 +√

n)(1 +√³

n)² , dove sn∈ [−10, 7] per ogni n ∈ N 5. Stabilire se le seguenti serie convergono assolutamente o solo semplicemente.

(a) X

n≥0

(−1)ⁿe⁻ⁿ

(b) X

n≥0

(−1)ⁿ n²+ eⁿ (c) X

n≥0

(−1)ⁿ n!

(d) X

n≥0

(−1)ⁿ nⁿ

(3)

(e) X

n≥1

(−1)ⁿ

¡_2n

n

¢

(f) X

n≥1

sin(3n²) (n + 1)√

n + 2 (g) X

n≥1

(−1)ⁿartg 1

√n

(h) X

n≥1

(−1)ⁿln µ

1 + 1 n

¶

(i) X

n≥1

(−1)ⁿln µ

1 + 1

n(n + 1)

¶

(j) X

n≥0

(−1)ⁿ n + 1 n²+ 1

(a) X

n≥3

1 n · ln n · ln ln n (b) X

n≥2

1

n(1 + ln²n) artg ln n 7. (a) Stabilire il carattere della serie

S =X

n≥1

(−1)ⁿ n(n + 1).

(b) Se converge, calcolare il valore della serie S .

8. Stabilire per quali valori del parametro reale α convergono le seguenti serie.

(a) X

n≥1

√n + 1 −√ n n^α sin 1

n²

(b) X

n≥1

n^αln¡ 1 + _n¹2

¢sin^√¹_n (e^1/n− 1)√

e^4/n²− 1 (c) X

n≥1

n^α µ

e^1/n³− 1 − 1 n³

¶ µ1

n− sin1 n

¶

(4)

Soluzioni 1. Calcolare le seguenti serie.

(a) La serie `e sostanzialmente la somma di due serie geometriche convergenti. Quindi, si ha X

n≥1

2ⁿ+ 1

3ⁿ⁺¹ = 1 3

X

n≥1

µ2 3

¶_n +1

3 X

n≥1

µ1 3

¶_n

= 1 3

X

n≥0

µ2 3

¶_n

−1 3+1

3 X

n≥0

µ1 3

¶_n

−1 3

= 1

3 1 1 − 2/3+1

3 1 1 − 1/3−2

3 = 1 + 1 2−2

3 =5 6.

(b) La serie `e sostanzialmente la somma di due serie geometriche convergenti. Quindi, si ha X

n≥2

(−3)ⁿ+ 3ⁿ

5ⁿ = X

n≥2

µ

−3 5

¶_n

+X

n≥2

µ3 5

¶_n

=X

n≥0

µ

−3 5

¶_n

− 1 + 3 5+X

n≥0

µ3 5

¶_n

− 1 −3 5

= 1

1 + 3/5 + 1

1 − 3/5 − 2 = 5 8+5

2 − 2 = 9 8. (c) La serie `e la somma di tre serie geometriche convergenti:

X

n≥0

3 + (−1)ⁿ5 + (−2)ⁿ

4ⁿ = 3X

n≥0

µ1 4

¶_n

+ 5X

n≥0

µ

−1 4

¶_n

+X

n≥0

µ

−1 2

¶_n

= 3 1

1 − 1/4+ 5 1

1 + 1/4+ 1 1 + 1/2

= 34 3+ 54

5+2 3

= 26 3 . (d) Calcoliamo le somme parziali:

s_n= Xn k=1

1 k(k + 2) =

Xn k=1

µ1 2

1 k −1

2 1 k + 2

¶

= 1 2

Xn k=1

1 k −1

2 Xn k=1

1 k + 2

= 1 2

Ã _n X

k=1

1 k −

n+2X

k=3

1 k

!

= 1 2

Ã 1 +1

2 + Xn k=3

1 k−

Xn k=3

1 k− 1

n + 1− 1 n + 2

!

= 1 2

µ3 2 − 1

n + 1− 1 n + 2

¶ .

Pertanto, si ha X

n≥1

1

n(n + 2) = lim

n→+∞sn= lim

n→+∞

1 2

µ3 2 − 1

n + 1− 1 n + 2

¶

=3 4.

(5)

(e) Primo modo. Calcoliamo le somme parziali:

sn = Xn k=1

1 k(k + 1)(k + 2)

= Xn k=1

µ1 2

1 k − 1

k + 1 +1 2

1 k + 2

¶

= 1

2 Xn k=1

1 k −

Xn k=1

1 k + 1+1

2 Xn k=1

1 k + 2

= 1

2 Xn k=1

1 k −

n+1X

k=2

1 k +1

2

n+2X

k=3

1 k

= 1

2+1 4 +1

2 Xn k=3

1 k−1

2 − Xn k=3

1 k− 1

n + 1+1 2

Xn k=3

1 k+1

2 1 n + 1+1

2 1 n + 2

= 1

4−1 2

1 n + 1+1

2 1 n + 2. Pertanto, si ha

X

n≥1

1

n(n + 1)(n + 2)= lim

n→+∞sn= lim

n→+∞

µ1 4−1

2 1 n + 1+1

2 1 n + 2

¶

= 1 4. Secondo modo. La serie data `e telescopica. Infatti, si ha

an= 1 n + 1

1

n(n + 2) = 1 n + 1

µ1 2 1 n−1

2 1 n + 2

¶

= 1 2

1

n(n + 1)−1 2

1 (n + 1)(n + 2) ossia an = bn− bn+1, dove

bn= 1 2

1 n(n + 1). Pertanto, si ha

X

n≥1

1

n(n + 1)(n + 2)= b1− lim

n→+∞bn= 1 4. (f) La serie data `e telescopica. Infatti, si ha

an= 3n + 2

n²(n + 1)²(n + 2) = n²+ 3n + 2 − n²

n²(n + 1)²(n + 2) = (n + 1)(n + 2) − n² n²(n + 1)²(n + 2) ossia

an = 1

n²(n + 1)− 1

(n + 1)²(n + 2) = bn− bn+1, dove

bn = 1 n²(n + 1). Pertanto, si ha

X

n≥1

1

n²(n + 1)²(n + 2) = b1− lim

n→+∞bn=1 2.

(6)

(g) Calcoliamo le somme parziali:

sn = Xn k=0

(−1)^k 2n²+ 11n + 13 (k + 1)(k + 2)(k + 3)

= Xn k=0

(−1)^k µ 2

k + 1+ 1

k + 2− 1 k + 3

¶

= 2 Xn k=0

(−1)^k k + 1 +

Xn k=0

(−1)^k k + 2 −

Xn k=0

(−1)^k k + 3

= 2 Xn k=0

(−1)^k k + 1 +

Xn k=0

(−1)^k k + 2 −

n+1X

k=1

(−1)^k−1 k + 2

= 2 Xn k=0

(−1)^k k + 1 +1

2+ Xn k=1

(−1)^k k + 2 +

Xn k=1

(−1)^k

k + 2 −(−1)ⁿ n + 3

= 2 Xn k=0

(−1)^k k + 1 +1

2+ 2 Xn k=1

(−1)^k

k + 2 −(−1)ⁿ n + 3

= 2 Xn k=0

(−1)^k k + 1 +1

2+ 2

n+1X

k=2

(−1)^k−1

k + 1 −(−1)ⁿ n + 3

= 2 − 1 + 2 Xn k=2

(−1)^k k + 1 +1

2 − 2 Xn k=2

(−1)^k

k + 1 + 2(−1)ⁿ

n + 2 −(−1)ⁿ n + 3

= 3

2+ 2(−1)ⁿ

n + 2 −(−1)ⁿ n + 3 . Pertanto, si ha

X

n≥0

(−1)ⁿ 2n²+ 11n + 13

(n + 1)(n + 2)(n + 3) = lim

n→+∞sn= lim

n→+∞

µ3

2+ 2(−1)ⁿ

n + 2 −(−1)ⁿ n + 3

¶

= 3 2. 2. Poich´e an= bn+ bn+1, le somme parziali sono date da

sn = Xn k=0

(−1)^kak

= Xn k=0

(−1)^k(bk+ bk+1)

= Xn k=0

(−1)^kbk− Xn k=0

(−1)^k+1bk+1

= Xn k=0

(−1)^kbk−

n+1X

k=1

(−1)^kbk

= b0+ Xn k=1

(−1)^kbk− Xn k=1

(−1)^kbk− (−1)ⁿ⁺¹bn+1

= b0+ (−1)ⁿbn+1.

Pertanto, essendo bn una successione infinitesima, si ha X

n≥0

(−1)ⁿan= lim

n→+∞(b0+ (−1)ⁿbn+1) = b0.

Osservazione. Si tratta in realt`a di una serie telescopica. Infatti, il termine generale della serie `e

An= (−1)ⁿan = (−1)ⁿ(bn+ bn+1) = (−1)ⁿbn+ (−1)ⁿbn+1= (−1)ⁿbn− (−1)ⁿ⁺¹bn+1. Quindi, posto Bn = (−1)ⁿbn, si ha An= Bn− Bn+1.

(7)

(a) La serie `e a termini positivi e an ∼ ⁿ_n³7 = _n¹4 per n → +∞ , dove _n¹4 `e il termine generale di una serie armonica convergente ( α = 4 > 1 ). Quindi, per il criterio del confronto asintotico, la serie converge.

(b) La serie `e a termini positivi e an ∼ ⁿ_n⁴5 = ¹_n per n → +∞ , dove _n¹ `e il termine generale di una serie armonica divergente ( α = 1 ). Quindi, per il criterio del confronto asintotico, la serie diverge.

(c) La serie è a termini positivi e an ≥ ³_n. Poiché _n¹ è il termine generale della serie armonica, per il criterio del confronto, la serie data diverge.

(d) La serie `e a termini positivi e, per n → +∞ , si ha an= n²+ artg n

n³ln n ∼ n²

n³ln n = 1 n ln n.

Poich´e _{n ln n}¹ `e il termine generale di una serie divergente, per il criterio del rapporto, anche la serie iniziale diverge.

(e) La serie `e a termini positivi e an ∼ ²₃ⁿn =¡₂

3

¢_n

per n → +∞ , dove ¡₂

3

¢_n

`e il termine generale di una serie geometrica convergente ( q = ²₃ e |q| < 1 ). Quindi, per il criterio del confronto asintotico, la serie converge.

(f) Il termine generale an= ln^√¹_n₅ non tende a zero per n → +∞ . Quindi la serie non converge. Poich´e an `e negativo, la serie diverge a −∞ .

(g) La serie `e a termini positivi e an = artg^√¹_n ∼ ^√¹_n per n → +∞ , dove ^√¹_n `e il termine generale di una serie armonica divergente ( α = ¹₂ < 1 ). Quindi, per il criterio del confronto asintotico, la serie diverge (a +∞ ).

(h) La serie `e a termini positivi, essendo

an=

√n + 3 −√ n − 3

n = n + 3 − n + 3 n(√

n + 3 +√

n − 3)= 6

n(√

n + 3 +√ n − 3). Inoltre, per n → +∞ , si ha

an∼ 6 2n√

n = 3 n^3/2.

Poich´e _n3/2¹ `e il termine generale di una serie armonica divergente ( α =³₂ > 1 ), per il criterio del confronto asintotico, la serie converge.

(i) La serie `e a termini positivi e, per n → +∞ , si ha an+1

an = (n + 1)²√³ n + 2 2ⁿ⁺¹√

3n + 4 2ⁿ√

3n + 1 n²√³

n + 1 = 1 2

µn + 1 n

¶₂

3

rn + 2 n + 1

r3n + 1 3n + 4 → 1

2 < 1 . Quindi, per il criterio del rapporto, la serie converge.

(j) La serie `e a termini positivi e, per n → +∞ , si ha an = eⁿ(n + 1)

(2ⁿ+ 1)√

n + 2∼ eⁿn 2ⁿ√

n =³ e 2

´_n√ n . Posto bn =¡_e

2

¢_n√

n , per n → +∞ , si ha

bn+1

bn =

¡_e

2

¢_n+1√ n + 1

¡_e

2

¢n√

n = e

2

rn + 1 n → e

2 > 1 .

Quindi, per il criterio del rapporto, bn `e il termine generale di una serie divergente. Di conseguenza, per il criterio del rapporto, anche an `e il termine generale di una serie divergente.

(8)

(k) La serie `e a termini positivi e, per n → +∞ , si ha an+1

an = (n + 1)!

(2n + 2)!

(2n)!

n! = (n + 1)n!

(2n + 2)(2n + 1)(2n)!

(2n)!

n! = n + 1

(2n + 2)(2n + 1)→ 1 4 < 1 . Pertanto, per il criterio del rapporto, la serie converge.

(l) La serie `e a termini positivi. Poich´e

an=

¡_2n

n

¢

¡_4n

2n

¢ = (2n)!

n!² (2n)!²

(4n)! = (2n)!³ n!²(4n)!, si ha

an+1

an

= (2n + 2)!³ (n + 1)!²(4n + 4)!

n!²(4n)!

(2n)!³

= (2n + 2)³(2n + 1)³(2n)!³

(n + 1)²n!²(4n + 4)(4n + 3)(4n + 2)(4n + 1)(4n)!

n!²(4n)!

(2n)!³

= 2³(n + 1)³(2n + 1)³

(n + 1)²4(n + 1)(4n + 3)2(2n + 1)(4n + 1)

= (2n + 1)² (4n + 3)(4n + 1). Quindi, per n → +∞ , si ha

an+1

an

∼ 4n² 16n² → 1

4 < 1 . Pertanto, per il criterio del rapporto, la serie data converge.

(m) La serie `e a termini positivi e an= n³

eⁿ− 1 = n³e⁻ⁿ

1 − e⁻ⁿ = n⁵e⁻ⁿ 1 − e⁻ⁿ

1 n².

Poich´e eⁿ `e un infinito di ordine superiore a ogni n^α con α ∈ R , α > 0 , si ha n⁵e⁻ⁿ

1 − e⁻ⁿ → 0 per n → +∞ , e quindi si ha

a_n≤ 1 n²

definitivamente. Poich´e _n¹2 `e il termine generale di una serie armonica convergente, per il criterio del confronto, si ha che anche la serie iniziale converge.

(n) La serie `e a termini positivi e, per n → +∞ , si ha an =(2 + (−1)ⁿ)√³

n

1 + e^√ⁿ ≤ 3√³ n

1 + e^√ⁿ ∼3√³ n

e^√ⁿ = 3n²√³ n e^√ⁿ

1 n² ≤ 3

n².

Poich´e _n¹2 `e il termine generale di una serie armonica convergente, per il criterio del confronto e per il criterio del confronto asintotico, si ha che anche la serie iniziale converge.

(o) La serie `e a termini positivi e an=ln n

n² = ln n

√n 1 n√

n = ln n

√n 1 n^3/2.

Poich´e ln n `e un infinito di ordine inferiore a ogni n^α con α ∈ R , α > 0 , si ha ln n√

n → 0 per n → +∞ ,

(9)

e quindi si ha

an≤ 1 n^3/2

definitivamente. Poich´e _n3/2¹ `e il termine generale di una serie armonica convergente, per il criterio del confronto, si ha che anche la serie iniziale converge.

(p) La serie `e a termini positivi e

√n

an=

µn²+ 3n + 1 n²+ 5n + 7

¶n

=

µn²+ 5n + 7 − 2n − 6 n²+ 5n + 7

¶n

= µ

1 − 2n + 6 n²+ 5n + 7

¶_n

ossia

√n

an= e^{n ln 1−}^n2+5n+7²ⁿ⁺⁶ . Per n → +∞ , si ha

n ln µ

1 − 2n + 6 n²+ 5n + 7

¶

∼ −n 2n + 6

n²+ 5n + 7 ∼ −2n² n² = −2 e di conseguenza √ⁿ

an→ e⁻². Poich´e e⁻²< 1 , per il criterio della radice, si ha che la serie iniziale converge.

(q) La serie `e a termini positivi e, n → +∞ , si ha

√n

an= ⁿ s

1 8ⁿ

µn + 3 n

¶_n²

= 1 8

µ 1 + 3

n

¶_n

→ 1

8 e³=³ e 2

´₃

> 1

essendo e > 2 . Quindi, per il criterio della radice, la serie diverge.

(r) La serie `e a termini positivi e

√n

an= 1 3^{ln n!}ⁿ . Poich´e ln n! ∼ n ln n per n → +∞ , si ha

ln n!

n ∼n ln n

n = ln n → +∞ per n → +∞

e quindi √ⁿ

an → 0 < 1 per n → +∞ . Pertanto, per il criterio della radice, la serie di partenza `e convergente.

(s) La serie `e a termini positivi e an=n⁴+ n√

n + n²cos n 1 + n⁵+ n²2ⁿ ∼ n⁴

n²2ⁿ = n²

2ⁿ per n → +∞ . Consideriamo ora la successione bn= ⁿ₂n², Allora, si ha

a_n+1

an =(n + 1)² 2ⁿ⁺¹

2ⁿ n² = 1

2

µn + 1 n

¶₂

→1

2 < 1 per n → +∞ .

Per il criterio del rapporto, bn `e il termine generale di una serie convergente. Quindi, per il criterio del rapporto asintotico, anche an `e il termine generale di una serie convergente.

(t) Consideriamo le seguenti successioni positive

an= n³

3ⁿ e bn=

µ n + eⁿ n + 2eⁿ

¶_n . Poich´e

an+1

a_n =(n + 1)³ 3ⁿ⁺¹

3ⁿ n³ = 1

3

µn + 1 n

¶₃

→1

3 < 1 per n → +∞ ,

(10)

si ha che, per il criterio del rapporto, an `e il termine generale di una serie convergente.

Analogamente, poich´e pn

bn= n + eⁿ n + 2eⁿ → 1

2 < 1 per n → +∞ ,

si ha che, per il criterio della radice, bn `e il termine generale di una serie convergente.

Allora anche an+ bn `e il termine generale di una serie convergente, ossia la serie data converge.

4. (a) La serie `e a termini con segno variabile. Tuttavia, si ha

|an| =

¯¯

¯¯ sin(3n²) (n + 1)√

n + 2

¯¯

¯¯ ≤ 1

(n + 1)√

n + 2 ∼ 1 n√

n per n → +∞ .

Poich´e _n3/2¹ `e il termine generale di una serie armonica convergente, per il criterio del confronto e per il criterio del confronto asintotico, si ha che la serie data converge assolutamente e quindi anche semplicemente.

(b) La serie `e a termini con segno variabile. Tuttavia, usando la disuguaglianza triangolare, si ha

| sin n + 2 cos n| ≤ | sin n| + 2| cos n| ≤ 3 e quindi

|an| =

¯¯

¯¯ sin n + 2 cos n

√n√³ n + 1√⁴

n + 2

¯¯

¯¯ ≤ 3

√n√³ n + 1√⁴

n + 2∼ 3

n¹³¹² per n → +∞ . Poich´e _n13/12¹ `e il termine generale di una serie armonica convergente, per il criterio del confronto e per il criterio del confronto asintotico, si ha che la serie data converge assolutamente (e quindi anche semplicemente).

(c) La serie `e a termini con segno variabile. Tuttavia, essendo |sn| ≤ 10 per ogni n ∈ N , si ha

|an| =

¯¯

¯¯snsin(2ⁿ+ n³) cos(n²+ n + 1) (1 +√

n)(1 +√³ n)²

¯¯

=|sn|| sin(2ⁿ+ n³)|| cos(n²+ n + 1)|

(1 +√

n)(1 +√³ n)²

≤ 10

(1 +√

n)(1 +√³

n)² ∼ 10

√n√³

n² = 10

n^7/6 per n → +∞ .

Poich´e _n7/6¹ `e il termine generale di una serie armonica convergente, per il criterio del confronto e per il criterio del confronto asintotico, si ha che la serie data converge assolutamente (e quindi anche semplicemente).

5. (a) Si tratta di una serie geometrica con q = −¹_e. Poich´e |q| = ¹_e < 1 , la serie converge.

Analogamente, si ha che converge assolutamente.

(b) Per n → +∞ , si ha ¯

¯¯

¯ (−1)ⁿ n²+ eⁿ

¯¯

¯¯ = 1

n²+ eⁿ ∼ 1 eⁿ .

Poich´e _e¹n `e il termine generale di una serie geometrica convergente, la serie di partenza converge assolutamente.

(c) Poich´e n! = n(n − 1) · · · 3 · 2 · 1 ≥ 2 · 2 · · · 2 · 2 · 1 = 2ⁿ⁻¹ per ogni n ≥ 2 , si ha

¯¯

¯¯(−1)ⁿ n!

¯¯

¯¯ = 1 n! ≤ 1

2ⁿ⁻¹ = 2 1 2ⁿ

definitivamente. Poich´e ₂¹n `e il termine generale di una serie geometrica convergente, la serie di partenza converge assolutamente.