• Non ci sono risultati.

Piano Inclinato: relazioni di base

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Condividi "Piano Inclinato: relazioni di base"

Copied!
3
0
0

Testo completo

(1)

Piano Inclinato: relazioni di base

Figure 1:

Una massa m si trova su un piano inclinato di un angolo α. Determinare:

• l’accelerazione di caduta;

• il valore massimo αM al quale il corpo non cade se `e presente un attrito statico µs fra corpo e piano;

• se α > αM con che accelerazione scende il corpo in presenza di un attrito dinamico µd.

Soluzione 1

Le forze esterne esistenti sono la forza peso ~P e la reazione del piano ~N . La prima equazione cardinale `e:

m~g + ~N = m~a (1)

Risolviamo sia in un sistema di riferimento (SR) S1 con assi orizzontale e verticale che in un sistema S2 con assi paralleli e perpendicolari al piano inclinato.

1

(2)

Nel SR S1 la prima equazione cardinale si scrive come segue:

( x = N sin α¨

¨

y = N cos α − mg (2)

Il sistema ha due equazioni e tre incognite. Si aggiunge la condizione di vincolo

−∆y

∆x = tan α

Naturalmente il segno − `e legato alla scelta fatto per l’orientamento dell’asse verticale.

La stessa relazione vale per le componenti di velocit`a ed accelerazione:

¨

y = −¨x tan α

Combinando questa condizione di vincolo con il sistema 2 si ricavano la reazione N e le due componenti della accelerazione:

N = mg cos α

¨

x = g cos α sin α

¨

y = −g sin2α

(3)

L’accelerazione della massa m `e:

a = q

¨

x2+ ¨y2 = g sin α

Risolviamo adesso nel sistema S2.

In questo sistema, la prima equazione cardinale si scrive:

( m¨x0 = mg sin α

m¨y0 = −mg cos α + N (4)

In questo caso la condizione di vincolo, cio`e che il corpo rimanga sul piano, si traduce immediatamente nella condizione ¨y0 = 0. La soluzione del sistema `e immediata:

N = mg cos α

¨

x0 = g sin α

¨ y0 = 0

(5)

Da cui l’accelerazione del corpo:

a = ¨x0 = g sin α

Soluzione 2

2

(3)

Sia ora presente un attrito statico µsfra corpo e piano inclinato. La forza di attrito statico risultante impedisce al corpo di scivolare fino a che il piano non raggiunge una inclinazione αM. L’attrito statico non `e noto a priori, in quanto possiamo solamente dire che Fs ≤ µsN , essendo N il modulo della forza di reazione normale del piano. Tuttavia, all’angolo limite αM possiamo scrivere Fs= µsN . Per cui il sistema 5 diventa:

( m¨x0= mg sin αM − µsN

m¨y0 = −mg cos αM + N (6)

In questa condizione limite il corpo `e ancora fermo, per cui ¨x = ¨y = 0 ed `e possibile ricavare l’angolo limite:

tan αM = µs

Soluzione 3

Per α > αM il corpo inizia a scivolare e su di esso, oltre alla forza peso ed alla reazione normale, agisce la forza di attrito dinamico Fd= µdN (relazione fra moduli).

Riscriviamo ancora il sistema 5:

( m¨x0 = mg sin α − µdN

m¨y0= −mg cos α + N (7)

In questo caso α non `e un’incognita, ma un parametro del problema. Il corpo si muove strisciando lungo il piano inclinato, per cui la condizione di vincolo `e ¨y = 0. L’accelerazione `e:

a = g(sin α − µdcos α)

Per µd = 0 si trova la soluzione del primo problema, inoltre, essendo µd≤ µs < tan α (in quanto α > αM), il valore di a `e sempre positivo, cio`e diretto verso il basso.

3

Riferimenti

Documenti correlati

Una piccola massa m viene tirata da una corda per risalire un piano inclinato, che forma un angolo  rispetto all’orizzontale.. Il coefficiente di attrito dinamico tra

Se su tutto il piano è presente un at- trito dinamico catatterizzato da un coefficiente µ d calcolare sulla base di considerazioni energetiche l’altezza massima raggiunta sul piano

Esso è legato, mediante una fune che passa su una puleggia priva di attrito, ad un secondo blocco appeso in aria, e dunque libero di cadere verticalmente, avente massa m=2.1 kg..

Avendo gi` a stabilito che queste reazioni sono perpendicolari rispettivamente alla faccia inclinata del cuneo ed al pavimento, rimangono incognite solamente i

Tale reazione non ` e perpendicolare al piano, ma conviene comunque scomporla in una componente normale, che chiamiamo ~ R, ed in una parallela al piano dovuta alla forza di attrito ~

Al termine del piano inclinato vi ` e una sezione orizzontale liscia seguita da un secondo piano inclinato di un angolo α 2 che la massa percorre

Una massa m ` e appoggiata su un cuneo di massa M avente la sezione di un triangolo rettangolo con uno dei cateti poggiati sul pavimento. La faccia inclinata forma un angolo alla

Una massa m ` e appoggiata su un cuneo di massa M avente la sezione di un triangolo rettangolo con uno dei cateti poggiati sul pavimento. La faccia inclinata forma un angolo alla