Piano Inclinato: relazioni di base
Figure 1:
Una massa m si trova su un piano inclinato di un angolo α. Determinare:
• l’accelerazione di caduta;
• il valore massimo αM al quale il corpo non cade se `e presente un attrito statico µs fra corpo e piano;
• se α > αM con che accelerazione scende il corpo in presenza di un attrito dinamico µd.
Soluzione 1
Le forze esterne esistenti sono la forza peso ~P e la reazione del piano ~N . La prima equazione cardinale `e:
m~g + ~N = m~a (1)
Risolviamo sia in un sistema di riferimento (SR) S1 con assi orizzontale e verticale che in un sistema S2 con assi paralleli e perpendicolari al piano inclinato.
1
Nel SR S1 la prima equazione cardinale si scrive come segue:
( x = N sin α¨
¨
y = N cos α − mg (2)
Il sistema ha due equazioni e tre incognite. Si aggiunge la condizione di vincolo
−∆y
∆x = tan α
Naturalmente il segno − `e legato alla scelta fatto per l’orientamento dell’asse verticale.
La stessa relazione vale per le componenti di velocit`a ed accelerazione:
¨
y = −¨x tan α
Combinando questa condizione di vincolo con il sistema 2 si ricavano la reazione N e le due componenti della accelerazione:
N = mg cos α
¨
x = g cos α sin α
¨
y = −g sin2α
(3)
L’accelerazione della massa m `e:
a = q
¨
x2+ ¨y2 = g sin α
Risolviamo adesso nel sistema S2.
In questo sistema, la prima equazione cardinale si scrive:
( m¨x0 = mg sin α
m¨y0 = −mg cos α + N (4)
In questo caso la condizione di vincolo, cio`e che il corpo rimanga sul piano, si traduce immediatamente nella condizione ¨y0 = 0. La soluzione del sistema `e immediata:
N = mg cos α
¨
x0 = g sin α
¨ y0 = 0
(5)
Da cui l’accelerazione del corpo:
a = ¨x0 = g sin α
Soluzione 2
2
Sia ora presente un attrito statico µsfra corpo e piano inclinato. La forza di attrito statico risultante impedisce al corpo di scivolare fino a che il piano non raggiunge una inclinazione αM. L’attrito statico non `e noto a priori, in quanto possiamo solamente dire che Fs ≤ µsN , essendo N il modulo della forza di reazione normale del piano. Tuttavia, all’angolo limite αM possiamo scrivere Fs= µsN . Per cui il sistema 5 diventa:
( m¨x0= mg sin αM − µsN
m¨y0 = −mg cos αM + N (6)
In questa condizione limite il corpo `e ancora fermo, per cui ¨x = ¨y = 0 ed `e possibile ricavare l’angolo limite:
tan αM = µs
Soluzione 3
Per α > αM il corpo inizia a scivolare e su di esso, oltre alla forza peso ed alla reazione normale, agisce la forza di attrito dinamico Fd= µdN (relazione fra moduli).
Riscriviamo ancora il sistema 5:
( m¨x0 = mg sin α − µdN
m¨y0= −mg cos α + N (7)
In questo caso α non `e un’incognita, ma un parametro del problema. Il corpo si muove strisciando lungo il piano inclinato, per cui la condizione di vincolo `e ¨y = 0. L’accelerazione `e:
a = g(sin α − µdcos α)
Per µd = 0 si trova la soluzione del primo problema, inoltre, essendo µd≤ µs < tan α (in quanto α > αM), il valore di a `e sempre positivo, cio`e diretto verso il basso.
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