Esercizi su Amplificatori Operazionali
Esercizio 1.v1
v2 vout
R1
R3 R2
R4 vd
vR4 vR1
iR4 iR1
v+
Con riferimento al circuito in figura, esprimere la tensione vout in funzione delle tensioni v1 e v2.
Soluzione
L’amplificazione differenziale
d d out
v
A =v dell’operazionale, fintanto che questo opera in linearità, è
molto elevata (idealmente infinita). Dal momento che il valore della tensione vout è limitato dalla dinamica di uscita del circuito, la tensione differenziale di ingresso
d out
d A
v =v è pressoché nulla
(vd =v+ −v− ≅0) e, di conseguenza, essendo l’impedenza di ingresso dell’operazionale (Zin) non nulla, le correnti entranti negli ingressi dell’operazionale sono a loro volta pressoché nulle
( 0
in d ≅
=
−
= −
+
Z i v
i , vedi dispense di teoria).
Sulla base di queste considerazioni, si può risolvere l’esercizio assumendo (amplificatore operazionale ideale):
vd =v+−v− =0 (1)
i+ =−i− =0 (2) Applicando la legge di Kirchoff delle tensioni è possibile scrivere la tensione di uscita del circuito in figura come:
+
+ =− +
+
−
−
= v v v v v
vout R4 d R4 (3)
dove, nell’ultimo passaggio, si è considerata la (1).
Le tensioni v e + vR4 nella (3), essendo il circuito lineare, possono essere ricavate applicando il principio di sovrapposizione degli effetti, tenendo conto delle (1-2), come illustrato qui di seguito.
Calcolo di v +
Dalla (2) si osserva che la corrente al morsetto “+” dell’operazionale è sempre nulla, per cui la presenza dell’amplificatore operazionale non ha alcun influsso sul circuito collegato al morsetto “+”
e la tensione v può essere calcolata immaginando il circuito v2-R2-R3 scollegato + dall’operazionale.
Sfruttando questa considerazione, applicando il principio di sovrapposizione degli effetti (le grandezze con un apice si riferiscono al contributo di v1, le grandezze con due apici, al contributo di v2)
2
3 2 0 3 ''
' v
R R v R
v
v+ = ++ + = + + (4)
Si osserva che i generatori non collegati al morsetto “+” (come v1 in figura) non danno contributo a v e che il contributo di v+ 2 è stato calcolato utilizzando la regola del partitore di tensione (essendo i+=0, R2 ed R3 risultano collegate in serie).
Calcolo di vR4
Si osserva che vR4 =R4iR4 e si determina iR4 utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti. A tale fine, è possibile considerare il contributo di tutti i generatori collegati al morsetto “+”
includendo un unico generatore di tensione equivalente, di valore dato dalla (4), collegato direttamente al morsetto “+”
3 2
3 1 1 1 '' 1
' 4 1 1 2
4
4 R R
R R v R v R v R i v i iR R R
− +
=
−
= +
= + (5)
Ne segue che
2 1
4 2 3
3 1 4 1
4 v
R R
R R v R R vR R
− +
= (6)
La tensione di uscita richiesta, risulta quindi espressa dalla (3) come:
2 1
2 2
1 1
1 4 3 2
3 1
4 3
2 3 3
2 3 1 4 1
4 v
R R R R v R R v R R R v R R R
R R v R R
vout R
+
+ +
− + =
+ + +
−
= (7)
Esercizio 2.
v1
vout R1
R3 R2
R4
I0
Con riferimento al circuito in figura, esprimere la tensione vout in funzione di v1 ed I0.
Esercizio 3.
v1
vout R1
R3 R2
R4
I0 v2
Con riferimento al circuito in figura, esprimere la tensione vout in funzione delle tensioni v1 e v2
e della corrente I0.
Esercizio 4.
v1
vout R1
R2
R4
v2 R5
I0
Con riferimento al circuito in figura, esprimere la tensione vout in funzione delle tensioni v1 e v2
e della corrente I0.
Esercizio 5.
v2 R4 vout
R2
R5
v1
R1
R3
Con riferimento al circuito in figura, esprimere la tensione vout in funzione delle tensioni v1 e v2.
Esercizio 6.
v2 vout
R3
R5
v1
R1
R4 R2
Con riferimento al circuito in figura, esprimere la tensione vout in funzione delle tensioni v1 e v2.
