(3) Costruire un rivestimento regolare p a n fogli di una superficie B di genere m + 1 che sia una superficie E di genere mn + 1. Identificare esplicitamente p

Tutorato di Geometria 3 del 15-1-2013 (P. Salvatore)

(1) Classificare tutti i rivestimenti del toro T , identificando i sottogruppi cor- rispondenti di π

(T ), e determinare i gruppi dei loro automorfismi (deck transformations).

(2) Dimostrare che la somma connessa di m copie del piano proiettivo reale ammette un rivestimento a 2 fogli, una superficie orientabile di genere m−1 (somma connessa di m − 1 tori).

(3) Costruire un rivestimento regolare p a n fogli di una superficie B di genere m + 1 che sia una superficie E di genere mn + 1. Identificare esplicitamente p

: π

(E) → π

(B).

(4) Trovare due rivestimenti regolari dell’otto S

∨S

a 6 fogli, omeomorfi come spazi, il cui gruppo di automorfismi sia rispettivamente S

, il gruppo delle permutazioni di 3 elementi, e Z

, il gruppo ciclico di 6 elementi.

(5) Dimostrare che se un gruppo G non banale agisce in modo propriamente discontinuo su R, allora G ∼ = Z.

(6) Classificare tutti i rivestimenti a due fogli del toro privato di un punto T −∗.

Suggerimento: l’otto ` e un retratto di deformazione di T − ∗.

(7) Caratterizzare il rivestimento universale di S

∨ S

, l’unione di una circon- ferenza e di una sfera che si intersecano in un punto.

(8) Si consideri lo spazio di configurazione di punti distinti F

= {(x, y, z) ∈ C

|x 6= y, x 6= z, y 6= z}.

Dimostrare che π

(F

) ∼ = Z × (Z ∗ Z). Suggerimento: dimostrare che il sottospazio delle configurazioni con x = 0 e |y| = 1 ` e un retratto di defor- mazione di F

.

(9) Con riferimento all’esercizio precedente, si consideri l’azione di S

su F

che permuta le coordinate. Il gruppo β

= π

(F

/S

) si chiama il gruppo delle trecce su 3 corde. Calcolare una presentazione di β

. Suggerimento:

utilizzare il fatto che β

/π

(F

) ∼ = S

.

(10) Si consideri il link degli anelli borromei S

, S

, S

in R

. Dimostrare che il gruppo fondamentale G = π

(R

− (S

∪ S

∪ S

)) ha generatori α

, α

, α

e relazioni [α

, [α

, α

]] = 1 con i, j, k indici distinti.