Probablità, Statistica e Processi Stocastici
Franco Flandoli, Università di Pisa
Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria
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Energia immessa da un white noise
Ricordiamo la motivazione applicativa della volta scorsa: un white noise additivo, messo in un’equazione che nel caso deterministico è conservativa (energia costante), immette energia in media?
Abbiamo iniziato ad esaminare il problema per l’equazione Xt00 = rU(Xt) +σξt
riscritta nella forma
Xt0 =Vt
dVt = rU(Xt)dt+σdBt.
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Energia immessa da un white noise
Numericamente sembra che l’energia media cresca (in questo esempio numerico U(x) =x2/2, quindi l’energia totale è V2+X2 /2, la metà della distanza dall’origine al quadrato):
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Energia immessa da un white noise
Tuttavia se si svolge il calcolo come nel caso deterministico, si trova dEt
dt =Vt σdBt dt ovvero
Et E0= σ Z t
0
Vs dBs
ds ds =σ Z t
0
Vs dBs Questo produrrebbe
E[Et] E[E0] =E Z t
0
Vs dBs =0 secondo la teoria degli integrali di Itô. Dobbiamo trovare la contraddizione.
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Integrale di Itô
Ricordiamo che abbiamo posto Z T
0
XtdBt =lim∑Xtn(Btn+1 Btn)
dove il limite è inteso al ra¢ narsi della partizione
e che, per i processi che soddisfano la condizione naturale
Xt dipende solamente dalla famiglia di v.a. fBs; 0 s tg (1) e RT
0 E Xt2 dt < ∞ vale:
Theorem
E Z T
0
XtdBt =0 Var
Z T 0
XtdBt =
Z T 0
E Xt2 dt.
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Calcolo di¤erenziale per il moto browniano
Vediamo un esempio facile, per capire il problema. E’simile all’energia cinetica dtd V2t2 ma più basilare.
Se valesse il calcolo tradizionale anche per il moto browniano, sarebbe d
dtBt2 =2Bt
dBt dt il cui signi…cato sarebbe l’identità integrale
Bt2 B02 =2 Z t
0
BsdBs
dove l’integrale è nel senso di Itô. Sembra avere tutto senso. Ma l’identità è giusta? No.
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La formula di Itô per il moto browniano
Theorem
Se f è derivabile due volte con continuità, allora df (Bt) =f0(Bt)dBt+ 1
2f00(Bt)dt.
Se Bt fosse stata una funzione derivabile, la regola classica era df (Bt)
dt =f0(Bt)dBt dt
che corrisponde a df (Bt) =f0(Bt)dBt. Quindi c’è un termine in più.
Il signi…cato dell’identità è integrale:
f (Bt) f (B0) =
Z t
0
f0(Bs)dBs+
Z t
0
1
2f00(Bs)ds dove il primo integrale va intenso nel senso di Itô.
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Esempio
Prima di enunciare il teorema ci siamo posti il problema di calcolare Bt2 B02.
Vogliamo quindi usare la funzione
f (x) =x2 le cui derivate sono
f0(x) =2x, f00(x) =2.
Pertanto
Bt2 B02=2 Z t
0
BsdBs+1 2
Z t 0
2ds
=2 Z t
0
BsdBs+t
C’è il termine t in più, rispetto al risultato ingenuo immaginato precedentemente.
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Da dove proviene il termine aggiuntivo
Immaginiamo di dimostrare la formula spezzando [0, t]in piccolissimi intervalli 0=t0 <t1 <...<tn+1=t
f (Bt) f (B0) = (f (Btn+1) f (Btn)) + (f (Btn) f (Btn 1)) +...
=
∑n k=0
(f (Btk+1) f (Btk))
ed in ciascun intervallino [tk, tk+1] usiamo la formula di Taylor per f : : f (Btk+1) f (Btk) =f0(Btk)∆kB+ 1
2f00(Btk) (∆kB)2+o (∆kB)2 . Dove ∆kB =Btk+1 Btk. Quindi
f (Bt) f (B0) =
∑n k=0
f0(Btk)∆kB+
∑n k=0
1
2f00(Btk) (∆kB)2+resti.
Vediamo di capire la di¤erenza tra il caso B regolare e B browniano.
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Il primo termine
Il termine ∑nk=0f0(Btk) (Btk+1 Btk) converge in entrambi i casi a Z t
0
f0(Bs)dBs.
Tuttavia, se B fosse derivabile, potremmo riscrivere questo termine nella
forma classica Z
t 0
f0(Bs)dBs ds ds.
Invece, se B è il moto browniano, interpretiamo Rt
0 f0(Bs)dBs come integrale di Itô.
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Il second termine nel caso derivabile
Esaminiamo il termine ∑nk=0 1
2f00(Btk) (Btk+1 Btk)2. Se B fosse derivabile, avremmo
(Btk+1 Btk)2 Bt0
k
2 (tk+1 tk)2
quindi, indicando con h l’ampiezza del generico intervallino [tk, tk+1]
∑n k=0
1
2f00(Btk) (Btk+1 Btk)2
∑n k=0
1
2f00(Btk) Bt0k 2(tk+1 tk)2
=h
∑n k=0
1
2f00(Btk) Bt0
k
2(tk+1 tk)
h Z t
0
1
2f00(Bs) Bs0 2ds
che tende a zero quando h!0. Il termine non esiste nel caso classico.
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Il second termine nel caso browniano
Quando invece B è il moto browniano, ricordiamo che Var[Btk+1 Btk] =tk+1 tk quindi in un certo senso
(Btk+1 Btk)2 tk+1 tk. Si può allora dimostrare rigorosamente che
∑n k=0
1
2f00(Btk) (Btk+1 Btk)2 !
Z t 0
1
2f00(Bs)ds.
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Formula di Itô e formula di Taylor
La formula di Itô
df (Bt) =f0(Bt)dBt +1
2f00(Bt)dt
ricorda quindi la formula di Taylor: è come se sviluppassimo f al second’ordine
df (Bt) =f0(Bt)dBt +1
2f00(Bt) (dBt)2 e poi usassimo la "regola"
(dBt)2 =dt.
E’utile pensare le cose con questo sistema formale di calcolo, che corrisponde alle formule rigorose:
(dBt)2 =dt dBt dt =0
dt dt =0.
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Formula di Itô più in generale
Theorem
Se f è derivabile due volte con continuità e Xt è un "processo di Itô", cioè soddisfa
dXt =btdt+σtdBt
allora
df (Xt) =f0(Xt)dXt + σ
t2
2 f00(Xt)dt.
Il termine f0(Xt)dXt è un’abbreviazione per f0(Xt)btdt+f0(Xt)σtdBt.
Il signi…cato è integrale:
f (Xt) f (X0) =
Z t 0
f0(Xs)bsds+
Z t 0
f0(Xs)σsdBs
+
Z t
0
σs2
2 f00(Xs)ds.
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Formula di Itô più in generale
Per ricordarsi la formula e farsene una ragione intuitiva, si pensi di sviluppare f con Taylor al secod’ordine:
df (Xt) =f0(Xt)dXt+ 1
2f00(Xt) (dXt)2. Ma
(dXt)2 = (btdt+σtdBt)2
=b2t (dt)2+2btσtdtdBt+σt2(dBt)2
=0+0+σt2dt.
Quindi
df (Xt) =f0(Xt)dXt + σ
t2
2 f00(Xt)dt.
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Esempio dell’energia
Il modello è
Xt0 =Vt
dVt = rU(Xt)dt+σdBt
e l’energia è Et = V2t2 +U(Xt). La funzione Xt è derivabile in senso classico, con Xt0 =Vt, quindi
dU(Xt) =rU(Xt) Vtdt.
Invece Vt non è derivabile, è solo un processo di Itô, quindi per la formula di Itô
dVt2
2 =VtdVt +σ
2
2 dt = Vt rU(Xt)dt+VtσdBt+ σ
2
2 dt.
Quindi
dEt =VtσdBt +σ
2
2 dt.
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Esempio dell’energia
In forma integrale
Et E0 =σ Z t
0
VsdBs+σ
2
2 t.
Ricordando che
E Z t
0
VsdBs =0 troviamo in…ne
E[Et] E[E0] = σ
2
2 t.
L’energia cresce sistematicamente in modo lineare.
Questo è uno dei "successi" delle equazioni stocastiche e del calcolo di Itô.
Si controlli numericamente il risultato, apprezzando il potere esplicativo della formula rispetto ai dati numerici.
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Veri…ca numerica
Nella scheda numerica allegata a questa lezione vediamo un programma che permette di controllare numericamente il risultato
E[Et] E[E0] = σ
2
2 t.
La veri…ca è basata sul cosiddetto metodo di Monte Carlo. La base teorica è il teorema:
Theorem (Legge dei Grandi Numeri)
Se X1, X2, ... è una successione di v.a. indipendenti ed identicamente ditribuite, con media …nita µ, allora
Nlim!∞
1 N
∑N i=1
Xi =µ
(limite quasi certo, oppure in probabilità: per ogni e >0, limN!∞P N1 ∑Ni=1Xi µ >e =0).
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Un valor medio associato a soluzioni di SDE tramite Monte Carlo
Risolviamo un’equazione di¤erenziale stocastica immettendo volta per volta dei moti browniani indipendenti Bt1, Bt2, ...:
dXti =b t, Xti dt+σdBti con un dato iniziale …ssato X0i =x0.
Le soluzioni sono anch’esse indipendenti. E sono identicamente ditribuite (è la stessa equazione).
Fissato t, le v.a. Xt1, Xt2, ... sono indipendenti ed identicamente ditribuite. Quindi
1 N
∑N i=1
φ Xti !E[φ(Xt)].
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