Riepilogo sulle funzioni elementari

Riepilogo sulle funzioni elementari

Funzione Costante

sia

k

k x

f ( ) = ∀ x ∈ ℜ

Campo di esistenza

{ } ^k

f : ℜ →

Limiti

k x

f

x

x 

 →

 _→ )

(

x ₀ ∈ ℜ

k x

f ( )   → x _→  _+∞

k x

f ( )   → x _→  _−∞

Derivata

( ^{Df ( x )} ) _{x = x}

^{= 0}

^∀ x 0 ^{∈ ℜ}

Funzione Identità

x x

f ( ) = ∀ x ∈ ℜ

Campo di esistenza

ℜ

→ ℜ : f

Limiti

) 0

( x x

f

x

x 

 →

 _→

x ₀ ∈ ℜ

+∞



 →

 _{x → +∞}

x f ( )

−∞



 →

 _{x → −∞}

x f ( )

Derivata

( ^{Df ( x )} ) _{x = x}

^{= 1}

^∀ x 0 ^{∈ ℜ}

Funzione Reciproco

x x

f 1

)

( = ∀ x ∈ ℜ

Campo di esistenza

{ } ^{→ ℜ}

− ℜ 0 :

f

Limiti

0

) 1

( x x

f

x

x 

 →

 _→

x ₀ ∈ ℜ

x ₀ ≠ 0



 →

 _{→ 0} )

( x x

f

0 )

( x   → _{x →}  _+∞

f

0 )

( x   → _{x →}  _+∞ =   → _{x →}  _−∞

f

Derivata

( Df ( x ) ) _{x = x}

= − x 0 ^{− 2}

∀ x ₀ ≠ 0

Funzione Potenza ad esponente in N

sia

n

N

n ≥ 2 x n

x

f ( ) = ∀ x ∈ ℜ

Campo di esistenza

ℜ

→ ℜ : f

Limiti

n x

x x

x f

o

0

)

(   → _→ 

x ₀ ∈ ℜ

+∞



 →

 _{x → +∞}

x f ( )

−∞



 →

 _{x → −∞}

x f ( )

Derivata

( ^{Df ( x )} ) _{x = x}

^{= n ⋅ x} ₀ ^{n − 1}

^{∀ x} ₀ ^{∈ ℜ}

Funzione Potenza ad esponente in R

sia

α

^{ℜ −} { } ⁰

x α

x

f ( ) = ∀ x ∈ ℜ ⁺

Campo di esistenza

+ + → ℜ ℜ

: f

Limiti

α

) 0

( x x

f

x

x 

 →

 _→

x ₀ ∈ ℜ ⁺ ₀

( )   → _→0 

x x

f

f ( x )   → _{x →}  _+∞

Derivata

( ^Df ( ^x ) ) _{x = x}

= α ⋅ ^x 0 ^{α − 1}

∀ x 0 ∈ ℜ − { } ⁰

0

α > 0

∞

+

α < 0

∞

+

α > 0

0

α < 0

Funzione Esponenziale

sia

a

ℜ +

a x

x

f ( ) = ∀ x ∈ ℜ

Campo di esistenza

ℜ +

→ ℜ : f

Limiti

)

( ^x

x

x a

x f



 →

 _→

x ₀ ∈ ℜ

f ( x )   → _{x →}  _+∞

f ( x )   → _{x →}  _−∞

Derivata

( ^{Df ( x )} ) _{x = x}

^{= a x}

^{⋅ ln a}

^∀ x 0 ^{∈ ℜ}

se

a = e

( ^{Df ( x )} ) _{x = x}

^{= e x}

^{∀ x} ₀ ^{∈ ℜ}

∞

+

a > 1

0

0 < a < 1 0

a > 1

∞

+

0 < a < 1

Funzione Logaritmica

sia

β

^{ℜ + −} { } ¹

x x

f ( ) = log _β ∀ x ∈ ℜ ⁺

Campo di esistenza

ℜ

→ ℜ ⁺ : f

Limiti

log 0

)

( x x

f

x

x  β

 →

 _→

x ₀ ∈ ℜ ⁺

( )   → _→0 

x x

f

f ( x )   → _{x →}  _+∞

Derivata

( ) ^e

x x

Df _{x x} 1 log _β )

(

0

= 0 ⋅

=

∀ x ₀ ∈ ℜ

se

β = e

( )

0

) 1

( x

x

Df _{x = x} =

∀ x ₀ ∈ ℜ

∞

+

β > 1

∞

−

0 < β < 1

∞

−

β > 1

∞

+

0 < β < 1

Funzione Valore Assoluto

x x

f ( ) = ∀ x ∈ ℜ

Campo di esistenza

ℜ +

→

ℜ ₀

: f

Limiti

) 0

( x x

f

x

x 

 →

 _→

∀ x ₀ ∈ ℜ

+∞



 →

 _{x → ±∞}

x f ( )

Derivata

( ^{( )} ) ^sgn( 0 ⁾

0

x

x f

D _{x = x} =

∀ x ₀ ≠ 0

=

=

=

0 0 0

0 0 )

sgn( x

x x

x x

1

x ₀ > 0

− 1

x ₀ < 0