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UNIVERSITA DEGLI STUDI DI GENOVA - FACOLTA DI INGEGNERIA

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Academic year: 2022

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(1)

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI GENOVA - FACOLTA’ DI INGEGNERIA FISICA GENERALE I - Prova del 13/02/2012

Lo studente inserisca i valori numerici solamente dopo aver risolto il problema con calcoli simbolici, cioè dopo aver eseguito i passaggi letterali utili alla soluzione del problema.

I risultati finali devono essere espressi

nelle unità del sistema (SI) con due cifre significative.

PROBLEMI DI MECCANICA Problema 1

Due masse m1 = 3,0 kg e m2 = 5,0 kg sono collegate tra loro da una molla di massa

trascurabile e di costante elastica k = 2,0 ⋅⋅⋅⋅ 103 N/m. Alla massa m1 è applicata una forza F costante che trascina il sistema lungo un piano orizzontale scabro con µd = 0,20 , mentre la molla rimane allungata di una quantità fissa ∆l = 1,0 cm .

Determinare:

a) l’accelerazione del sistema e il modulo F della forza ;

b) l’energia dissipata per attrito dopo che il sistema si è spostato di ∆x = 2,0 m.

c) Per quale valore di F il sistema si sarebbe mosso con velocità costante ? Quale sarebbe stato in questo caso l’allungamento della molla ?.

Problema 2 Due dischi omogenei A e B, di masse mA = 2,0 kg e mB = 4,0 kg, e raggi rA = 0,20 m e rB = 0,10 m costituiscono rispettivamente il volano di una macchina ed il piatto di una frizione. I dischi ruotano attorno ai propri assi, perfettamente allineati, con velocità angolari iniziali concordi in verso, ωA = 50 rad/s e ωB = 200 rad/s . I due dischi vengono posti in contatto mediante una forza che agisce lungo la direzione comune ai loro assi , in modo da non esercitare alcun momento, e si sfregano l’un l’altro fino a raggiungere una velocità angolare uguale.

Calcolare :

a) la velocità angolare finale;

b)

l’energia meccanica dissipata per attrito

.

A

B

(2)

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI GENOVA - FACOLTA’ DI INGEGNERIA FISICA GENERALE I - Prova del 13/02/2012

Lo studente inserisca i valori numerici solamente dopo aver risolto il problema con calcoli simbolici, cioè dopo aver eseguito i passaggi letterali utili alla soluzione del problema.

I risultati finali devono essere espressi

nelle unità del sistema (SI) con due cifre significative.

PROBLEMI DI ELETTROMAGNETISMO Problema 1

La capacità di un condensatore variabile può essere portata da 50pF a 950 pF girando una manopola dalla posizione A alla posizione B. Quando la manopola è posta in B (capacità massima), il condensatore è collegato a una batteria da 400V. Dopo che il condensatore si è caricato, esso è sconnesso dalla batteria e la manopola è portata in A (capacità minima).

Calcolare :

a) la differenza di potenziale ai capi del condensatore quando la manopola è in A;

b) il lavoro compiuto per girare la manopola (in assenza di attriti ).

Problema 2 .

Un solenoide rettilineo, costituito da N = 103 spire di area A = 10-3 m2, è chiuso su una resistenza R = 102 Ω e immerso in un campo magnetico B uniforme, parallelo al suo asse.

A partire dall'istante t = 0 il campo magnetico diminuisce secondo la legge B(t) = B0 - αt2 , annullandosi in un tempo t0 = 1 s; nello stesso intervallo di tempo si misura che nel circuito scorre una carica q = 3,0

⋅⋅⋅⋅

10-3 C .

Calcolare:

a) i valori di α e B0 ;

b) la legge i = i(t) con cui varia l’intensità di corrente nel circuito e il valore i0 = i(t0);

c) l'energia W dissipata nel circuito nell'intervallo di tempo t0 .

N.B. Si supponga trascurabile l’effetto dell’autoinduzione del solenoide.

Si faccia riferimento alla soluzione svolta a lezione riportata nelle ultime due pagine di questo documento!

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UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI GENOVA - FACOLTA’ DI INGEGNERIA FISICA GENERALE I - Prova del 13/02/2012

Nelle soluzioni qui esposte non sono riportati, per brevità, i passaggi numerici che invece vengono richiesti negli elaborati dei candidati.

SOLUZIONI AI PROBLEMI DI MECCANICA

Problema 1

a) Scegliamo l’asse x concorde in direzione e verso con F . Dalla II legge di Newton proiettata lungo x otteniamo :

per m1: m1a = F - k ∆l - µd m1g

(1) per m2: m2a = k ∆l - µd m2g

a= (k ∆l - µd m2g )/ m2 = 2,0 m/s2 F = k ∆l + µd m1g + m1a = 32 N

b) ∆Ediss = - Lattr = ( µd m1g + µd m2g) ∆x = 31,4 J c) dalle equazioni (1) con a = 0 , sommando si ottiene : F = µd m1g + µd m2g = 15,7 N

Dalla seconda delle (1) inoltre, sempre per a=0 : ∆l = µd m2g /k = 0,49 cm Problema 2

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

[ ]

J K

K K

r m r m I

I K

r m r

m I

I K

r m r m

r m r

m

r m r m r

m r

m

I I I

I L

L L L L

L

f i diss

f B B A A f

B f A f

Bi B B Ai A A Bi

B Ai A i

B B A A

Bi B B Ai A A f

f B B A A Bi

B B Ai A A

f B A Bi B Ai A Bf

Af Bi Ai f

i

2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

10 5 , 1

J 10 0 , s 3 10 rad 0 , 1 m 10 , 0 kg 0 , 4 m 20 , 0 kg 0 , 4 2 1

4 1 2

1 2

1

J 10 5 , s 4

200rad m

10 , 0 kg 0 , s 4

50rad m

20 , 0 kg 0 , 4 2 1

2 1 2

1 2 1 2

1 2

1 b)

s 10 rad 0 , 1

m 10 , 0 kg 0 , 4 m 20 , 0 kg 0 , 2

s 200rad m

10 , 0 kg 0 , s 4 50rad m 20 , 0 kg 0 , 2 2 1 2

1 2

1

sistema del

angolare momento

conserv.

sistema al

interne forze

sole di Presenza

a)

×

=

=

×

 =

 

 ×

×

× +

×

=

= +

= +

=

×

=

 

 

 

×

×

 +

 

×

×

=

=

 

 +

= +

=

×

=

× = +

×

×

× +

×

× + =

= +

+ ⇒

= +

+ ⇒

= +

+ ⇒

= +

= ⇒

ω ω

ω

ω ω

ω ω

ω ω ω

ω ω

ω

ω ω

ω

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UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI GENOVA - FACOLTA’ DI INGEGNERIA FISICA GENERALE I - Prova del 13/02/2012

Nelle soluzioni qui esposte non sono riportati, per brevità, i passaggi numerici che invece vengono richiesti negli elaborati dei candidati.

SOLUZIONI AI PROBLEMI DI ELETTROMAGNETISMO

Problema 1

a) La capacità del condensatore varia dopo che il collegamento è staccato, quindi si conserva la carica presente sulle armature: Q V C= o MAX =V CF MIN da cui si ricava

/ 7.6 10 V3

F o MAX MIN

V =V C C = ⋅

b) Il lavoro è pari alla variazione dell’energia elettrostatica da cui:

2 2 2 3

1 1 1

1 1.37 10 J

2 2 2

MAX

f i f MIN o MAX o MAX

MIN

L U U V C V C V C C

C

 

= − = − =  − = ⋅

 

Problema 2

a) All’istante t= 0 il flusso di B concatenato con il solenoide vale Φin = B0 NA, mentre all’istante t0 è Φfin

=0.

La variazione ∆Φ = Φfin

-

Φin vale quindi ∆Φ = - B0 NA . Ricordando che in generale la carica che fluisce in un intervallo di tempo in un circuito in cui il flusso concatenato varia di ∆Φ è data ( in valore assoluto) da q = ∆Φ / R otteniamo :

∆Φ = B0 NA .⇒ B0 = ∆Φ/NA = qR/NA = 3,0

⋅⋅⋅⋅

10-1 T ; α = B0 /(t02

) = 3,0

⋅⋅⋅⋅

10-1 T/s2 . b) La forza e.m. indotta nel solenoide vale εind (t)= - dΦB/dt = (-d/dt) ( NAB(t)) = 2NAαt, da cui segue che la corrente i(t) varia con la legge :

i(t) = εind(t)/R = (2NAα/R)t, che per t= t0 = 1s vale i0 = (2NAα/R)t0 = 6,0

⋅⋅⋅⋅

10-3 A La potenza istantanea dissipata vale P(t) =R i2(t) = 4(NAα)2 R t2 . L’energia dissipata fra t=o e t= t0 =1s è quindi W =

1

0

) ( dt t

P

= (4/3) (NAα)2R = 1,2

⋅⋅⋅⋅

10-3 J

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(6)

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