UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI GENOVA - FACOLTA’ DI INGEGNERIA FISICA GENERALE I - Prova del 13/02/2012
Lo studente inserisca i valori numerici solamente dopo aver risolto il problema con calcoli simbolici, cioè dopo aver eseguito i passaggi letterali utili alla soluzione del problema.
I risultati finali devono essere espressi
nelle unità del sistema (SI) con due cifre significative.
PROBLEMI DI MECCANICA Problema 1
Due masse m1 = 3,0 kg e m2 = 5,0 kg sono collegate tra loro da una molla di massa
trascurabile e di costante elastica k = 2,0 ⋅⋅⋅⋅ 103 N/m. Alla massa m1 è applicata una forza F costante che trascina il sistema lungo un piano orizzontale scabro con µd = 0,20 , mentre la molla rimane allungata di una quantità fissa ∆l = 1,0 cm .
Determinare:
a) l’accelerazione del sistema e il modulo F della forza ;
b) l’energia dissipata per attrito dopo che il sistema si è spostato di ∆x = 2,0 m.
c) Per quale valore di F il sistema si sarebbe mosso con velocità costante ? Quale sarebbe stato in questo caso l’allungamento della molla ?.
Problema 2 Due dischi omogenei A e B, di masse mA = 2,0 kg e mB = 4,0 kg, e raggi rA = 0,20 m e rB = 0,10 m costituiscono rispettivamente il volano di una macchina ed il piatto di una frizione. I dischi ruotano attorno ai propri assi, perfettamente allineati, con velocità angolari iniziali concordi in verso, ωA = 50 rad/s e ωB = 200 rad/s . I due dischi vengono posti in contatto mediante una forza che agisce lungo la direzione comune ai loro assi , in modo da non esercitare alcun momento, e si sfregano l’un l’altro fino a raggiungere una velocità angolare uguale.
Calcolare :
a) la velocità angolare finale;
b)
l’energia meccanica dissipata per attrito.
A
B
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI GENOVA - FACOLTA’ DI INGEGNERIA FISICA GENERALE I - Prova del 13/02/2012
Lo studente inserisca i valori numerici solamente dopo aver risolto il problema con calcoli simbolici, cioè dopo aver eseguito i passaggi letterali utili alla soluzione del problema.
I risultati finali devono essere espressi
nelle unità del sistema (SI) con due cifre significative.
PROBLEMI DI ELETTROMAGNETISMO Problema 1
La capacità di un condensatore variabile può essere portata da 50pF a 950 pF girando una manopola dalla posizione A alla posizione B. Quando la manopola è posta in B (capacità massima), il condensatore è collegato a una batteria da 400V. Dopo che il condensatore si è caricato, esso è sconnesso dalla batteria e la manopola è portata in A (capacità minima).
Calcolare :
a) la differenza di potenziale ai capi del condensatore quando la manopola è in A;
b) il lavoro compiuto per girare la manopola (in assenza di attriti ).
Problema 2 .
Un solenoide rettilineo, costituito da N = 103 spire di area A = 10-3 m2, è chiuso su una resistenza R = 102 Ω e immerso in un campo magnetico B uniforme, parallelo al suo asse.
A partire dall'istante t = 0 il campo magnetico diminuisce secondo la legge B(t) = B0 - αt2 , annullandosi in un tempo t0 = 1 s; nello stesso intervallo di tempo si misura che nel circuito scorre una carica q = 3,0
⋅⋅⋅⋅
10-3 C .Calcolare:
a) i valori di α e B0 ;
b) la legge i = i(t) con cui varia l’intensità di corrente nel circuito e il valore i0 = i(t0);
c) l'energia W dissipata nel circuito nell'intervallo di tempo t0 .
N.B. Si supponga trascurabile l’effetto dell’autoinduzione del solenoide.
Si faccia riferimento alla soluzione svolta a lezione riportata nelle ultime due pagine di questo documento!
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI GENOVA - FACOLTA’ DI INGEGNERIA FISICA GENERALE I - Prova del 13/02/2012
Nelle soluzioni qui esposte non sono riportati, per brevità, i passaggi numerici che invece vengono richiesti negli elaborati dei candidati.
SOLUZIONI AI PROBLEMI DI MECCANICA
Problema 1
a) Scegliamo l’asse x concorde in direzione e verso con F . Dalla II legge di Newton proiettata lungo x otteniamo :
per m1: m1a = F - k ∆l - µd m1g
(1) per m2: m2a = k ∆l - µd m2g
a= (k ∆l - µd m2g )/ m2 = 2,0 m/s2 F = k ∆l + µd m1g + m1a = 32 N
b) ∆Ediss = - Lattr = ( µd m1g + µd m2g) ∆x = 31,4 J c) dalle equazioni (1) con a = 0 , sommando si ottiene : F = µd m1g + µd m2g = 15,7 N
Dalla seconda delle (1) inoltre, sempre per a=0 : ∆l = µd m2g /k = 0,49 cm Problema 2
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
[ ]
J K
K K
r m r m I
I K
r m r
m I
I K
r m r m
r m r
m
r m r m r
m r
m
I I I
I L
L L L L
L
f i diss
f B B A A f
B f A f
Bi B B Ai A A Bi
B Ai A i
B B A A
Bi B B Ai A A f
f B B A A Bi
B B Ai A A
f B A Bi B Ai A Bf
Af Bi Ai f
i
2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
10 5 , 1
J 10 0 , s 3 10 rad 0 , 1 m 10 , 0 kg 0 , 4 m 20 , 0 kg 0 , 4 2 1
4 1 2
1 2
1
J 10 5 , s 4
200rad m
10 , 0 kg 0 , s 4
50rad m
20 , 0 kg 0 , 4 2 1
2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 b)
s 10 rad 0 , 1
m 10 , 0 kg 0 , 4 m 20 , 0 kg 0 , 2
s 200rad m
10 , 0 kg 0 , s 4 50rad m 20 , 0 kg 0 , 2 2 1 2
1 2
1
sistema del
angolare momento
conserv.
sistema al
interne forze
sole di Presenza
a)
×
=
−
=
∆
×
=
×
×
× +
×
=
= +
= +
=
×
=
×
×
+
×
×
=
=
+
= +
=
×
=
× = +
×
×
× +
×
× + =
= +
+ ⇒
= +
+ ⇒
= +
+ ⇒
= +
= ⇒
⇒
⇒
ω ω
ω
ω ω
ω ω
ω ω ω
ω ω
ω
ω ω
ω
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI GENOVA - FACOLTA’ DI INGEGNERIA FISICA GENERALE I - Prova del 13/02/2012
Nelle soluzioni qui esposte non sono riportati, per brevità, i passaggi numerici che invece vengono richiesti negli elaborati dei candidati.
SOLUZIONI AI PROBLEMI DI ELETTROMAGNETISMO
Problema 1
a) La capacità del condensatore varia dopo che il collegamento è staccato, quindi si conserva la carica presente sulle armature: Q V C= o MAX =V CF MIN da cui si ricava
/ 7.6 10 V3
F o MAX MIN
V =V C C = ⋅
b) Il lavoro è pari alla variazione dell’energia elettrostatica da cui:
2 2 2 3
1 1 1
1 1.37 10 J
2 2 2
MAX
f i f MIN o MAX o MAX
MIN
L U U V C V C V C C
C
−
= − = − = − = ⋅
Problema 2
a) All’istante t= 0 il flusso di B concatenato con il solenoide vale Φin = B0 NA, mentre all’istante t0 è Φfin
=0.
La variazione ∆Φ = Φfin-
Φin vale quindi ∆Φ = - B0 NA . Ricordando che in generale la carica che fluisce in un intervallo di tempo in un circuito in cui il flusso concatenato varia di ∆Φ è data ( in valore assoluto) da q = ∆Φ / R otteniamo :
∆Φ = B0 NA .⇒ B0 = ∆Φ/NA = qR/NA = 3,0
⋅⋅⋅⋅
10-1 T ; α = B0 /(t02) = 3,0
⋅⋅⋅⋅
10-1 T/s2 . b) La forza e.m. indotta nel solenoide vale εind (t)= - dΦB/dt = (-d/dt) ( NAB(t)) = 2NAαt, da cui segue che la corrente i(t) varia con la legge :
i(t) = εind(t)/R = (2NAα/R)t, che per t= t0 = 1s vale i0 = (2NAα/R)t0 = 6,0
⋅⋅⋅⋅
10-3 A La potenza istantanea dissipata vale P(t) =R i2(t) = 4(NAα)2 R t2 . L’energia dissipata fra t=o e t= t0 =1s è quindi W =∫
10