PHILIPPE DE LA HIRE:
L'INDIVISIBILTÀ DELLE ConoScienze
Geometra, geodeta, matematico e astronomo nato a Parigi il 18 marzo 1640, morto ivi il 21 aprile 1718. Figlio del pittore Laurent de L. H. , abbandonò l'arte, cui si era dapprima indirizzato, per darsi alla scienza. Fu professore al Collegio di Francia e nel 1678 fu accolto nell'Accademia delle scienze nella sezione astronomia. Lavorò inoltre sulle sezioni coniche, sulla meccanica, la botanica, la pittura e l'architettura.
BIOGRAFIA
Il padre Laurent (nato a Parigi il 27 febbraio 1606 e ivi morto il 28 dicembre 1656) divenne pittore di una certa fama, ricevendo commissioni dalla chiesa, dai politici e dai parigini benestanti che desideravano il loro ritratto. Divenne anche professore all'Accademia di Pittura e Scultura.
La madre di Pilippe era Marguerite Coquin (che morì nel 1669), la quale col marito Laurent fece della loro casa un luogo stimolante dove crescere dei figli. Essi avevano infatti l'abitudine di intrattenere nella loro casa scienziati, artisti e matematici, il più rilevante dei quali era Girard Desargues (1591-1661).
Philippe era il più vecchio dei cinque figli dei coniugi de La Hire, i quali possedevano due diverse case a Parigi, una in rue Montmartre, con quattro piani e un giardino, e una più piccola in rue Gravilliers.
La Hire fu educato come artista e divenne abile in disegno e pittura e sebbene non ricevette nessuna istruzione formale, né scolastica né universitaria, il padre si aspettava che seguisse la sua stessa professione e lo istruì di conseguenza. All'età di diciassette anni perse il padre e la sua vita fino a quel momento fu dedicata unicamente all'arte. La sua salute peggiorava man mano che cresceva, e maturò l'idea di visitare l'Italia, per una duplice ragione: sperava che un soggiorno in Italia lo aiutasse a migliorare la salute ed inoltre il padre gli aveva trasmesso una grande passione per l'arte italiana, nonostante in Italia non ci fosse mai andato. La Hire quindi partì per Venezia nel 1660 e trascorse quattro anni nella città lagunare, dove sviluppò le sue capacità artistiche e imparò la geometria. Fu proprio quest'ultima ad accendere la fiamma di quella che si rivelò poi la sua vera passione: la matematica. Egli infatti, nonostante apprese la geometria per imparare la prospettiva nell'arte, trovava molto più piacevoli le lezioni di matematica che non quelle di pittura.
Al suo ritorno a Parigi nel 1664 Philippe de La Hire era un uomo che godeva di buona salute e capace di perseguire i suoi interessi senza la necessità di trovare un lavoro.
Dopo il suo ritorno dall'Italia Philippe continuò a dipingere, ma i suoi studi rimasero devoti alla geometria. Egli inoltre avevo un amico, Abraham Bosse, col quale condivideva entrambe le passioni: arte e matematica. Sebbene quest'ultimo fosse un artista ben più vecchio di Philippe, anch'egli frequentò i corsi di geometria di Girard Desargues dal 1641. Desargues, che La Hire Figura 1: Autoritratto di
Philippe de La Hire
posto vacante, non importa in quale sezione, per scongiurare un attesa che poteva protrarsi magari per molti anni. Egli accolse il suo ingresso all'Accademia con grande onore, anche se questo significava un netto cambio dello stile di vita: ora faceva parte di un organizzazione lavorativa, e quindi non poté più avere tutto il tempo libero che voleva. Infatti l'allora ministro delle finanze francese Jean-Baptiste Colbert, che ebbe un ruolo strumentale nel finanziamento per fondare l'Académie nel 1666, gli assegnò subito il ruolo di assistere Jean Picard nel grosso lavoro di agrimensura che stava per intraprendere con lo scopo di produrre una carta più accurata della Francia (figura 2). Continuò tale lavoro fino al 1682, e produsse inoltre una mappa del mondo.
Nel 1681 rimase vedovo, ma si risposò subito e poiché in quel momento il suo lavoro era molto vicino a quello dell'Osservatorio di Parigi, diretto da Giovanni Cassini, con la nuova moglie andò a vivere proprio all'Osservatorio anziché nella sua casa di rue Montmartre.
Ottenne infine la cattedra di matematica nel dicembre del 1682 al Collége Royale, cattedra vacante dal 1675 a seguito della morte di Gilles Roberval.
Le lezioni da lui tenute includevano astronomia, meccanica, idrostatica, diottrica e navigazione. Circa quattro anni dopo la sua nomina a professore, nel 1687, gli fu inoltre assegnata la cattedra di architettura all'Académie Royale d'Architecture, dove insegnò fino alla fine dei suoi giorni.
Esattamente come egli fu istruito all'arte dal padre, così egli fece con il figlio primogenito Gabriel- Philippe, che portò appresso come assistente per una vasta serie di attività scientifiche, e lo portò ad essere eletto “élève” all'età di diciassette anni, facendone così il membro più giovane dell'accademia nel diciassettesimo secolo.
Sebbene i suoi interessi spaziassero attraverso una vasta gamma di discipline scientifiche, La Hire rimase affascinato dalla geometria e nel 1685 pubblicò un lavoro esauriente sulle sezioni coniche che conteneva anche una descrizione della geometria proiettiva di Desargues, la Sectiones conicae.
Nel 1708 calcolò la lunghezza della cardioide e scrisse inoltre delle memorie sulla cicloide, epicicloide, concoide e sulle quadrature.
Ebbe anche altri interessi in ambito matematico e scrisse un trattato sui quadrati magici. Nel 1695 pubblicò il Traité de méchanique, considerato per l'epoca un passo verso la moderna pratica della meccanica, utile per gli ingegneri e per varie discipline.
Altre discipline alle quali diede importanti contributi includono l'astronomia, la fisica e la geodesia.
Per quanto riguarda l'astronomia egli fece installare il primo strumento per l'osservazione dei transiti all'Osservatorio di Parigi. Produsse inoltre tavole che davano i movimenti del Sole, della Luna e dei pianeti che pubblicò nel 1687 e nel 1702.
Figura 2: la carta di Francia del 1682 di Philippe de La Hire
La Hire prese parte a lavori sperimentali in molte aree scientifiche. Per esempio sulla caduta dei gravi (con Mariotte nel 1683), sul magnetismo, sul calore riflesso dalla Luna, sulla trasmissione del suono, sulle proprietà fisiche dell'acqua, sull'elettrostatica, sulla respirazione e sulla fisiologia dell'ottica. Studiò inoltre gli strumenti impiegati in tali lavori scientifici. Ad esempio per Figura 3: Planisphere Celeste Septentrional Par Monsr. De La Hire
Nella vita fu una persona benestante, e questo gli permise di coltivare tutte le sue passioni: oltre alle già citate geometria, meccanica e astronomia, si interessò e scrisse anche di botanica, fisiologia e teoria della pittura. Inoltre possedeva una libreria personale di più di 500 libri, la metà dei quali su lavori geometrici.
Sebbene La Hire non fu responsabile di nessuna innovazione importante, le sue diverse osservazioni in fisica, meteorologia e scienze naturali attestano l'alto livello delle sue curiosità intellettuali.
Anche se rifiutò il calcolo infinitesimale rendendo antiquata una parte del suo lavoro in matematica, i suoi lavori iniziali di geometria sintetica e analitica lo mettono tra i più grandi seguaci di Desargues e Descartes. Infine, le sue varie conoscenze e le esperienze artistiche, tecniche e scientifiche, furono fattori importanti per la crescita del pensiero tecnologico, i progressi nella meccanica pratica e il perfezionamento delle tecniche grafiche. Lo scrittore e aforista Bernard le Bovier de Fontenelle lo definì per questo “una Accademia fatta a persona”.
Figura 4: Estratto dal Nouveaux éléments: la generazione della parabola a partire dal fuoco F e
dalla direttrice AD. Figura 5
LE OPERE
La produzione di La Hire conta fondamentalmente quattordici opere che spaziano tra geometria, astronomia, meccanica e architettura, tanto per citare alcuni argomenti. Di particolare interesse per questo studio sono le opere riguardanti la trattazione delle sezioni coniche.
La sua prima pubblicazione, collegata alla costruzione degli archi rampanti, fu Observations sur les Points d'Attouchement de Trois Ligne Droites qui touchent la Section d'un Cone nel 1672, che consisteva, date due rette, nel determinare la conica tangente ad esse in in due punti assegnati, ed inoltre tangente ad una terza retta. Fece seguito poi il suo più famoso trattato Nouvelle méthode en géometrie pur les sectiones des superficies coniques et cylidriques nel 1673, cui seguì presto il supplemento Les Planiconiques.
Nel 1678 La Hire fu eletto alla Académie des Sciences nella sezione astronomia, e poco dopo, nel 1679, pubblicò tre lavori, riuniti in un unico volume: Nouveaux Éléments des Sections Coniques, Les Lieux Géométriques, La Construction ou Effections des équations.
Nella prima opera l'autore spiega la costruzione dell'ellisse e dell'iperbole a partire dalle proprietà dei fuochi, e la costruzione della parabola a partire dalle proprietà di fuoco e direttrice . Quest'ultima sembra aver influenzato Newton.
Gli altri due lavori riguardano invece principalmente la geometria di Descartes.
Nel 1685 pubblicò la sua opera più importante: Sectiones conicae. Questo è un trattato in nove libri di circa 250 pagine in formato grande, con inserzioni di figure nel testo. Alla fine di quest'opera, sotto il nome di Expositio brevis, dopo l'appendice, vennero citate le proposizioni prese dai sette libri delle Coniche di Apollonio di Perga. Qui La Hire confrontò le sue proposizioni con quelle di Apollonio. Le Coniche è un'opera che originariamente si componeva di otto libri, di cui l'ultimo è perduto. Tuttavia soltanto i primi quattro ci sono pervenuti in greco. I rimanenti libri V,VI e VII ci sono pervenuti solo in arabo (tutti quanti in realtà esistono in arabo) e successivamente furono tradotti in latino nel 1661 ed editi da G.A. Borelli. In quest'opera (Sectiones conicae), La Hire basò la sua trattazione a partire dalla divisione armonica di un segmento e dal metodo delle proiezioni che egli aveva già sviluppato nella sua Nouvelle Méthode.
Il frontespizio dell'opera
"Nouveaux éléments..."
Sebbene egli propose anche alcune nuove proposizioni, pare che il suo obiettivo fosse quello di presentare i risultati di Apollonio in una maniera ben più organizzata e con dimostrazioni più semplici e più comprensibili. Probabilmente egli intendeva anche dimostrare la superiorità del suo metodo, sperando di rimpiazzare le Coniche di Apollonio con la sua Sectiones conicae. Seppure tale opera fu ben accolta in Francia e altrove, non raggiunse tale obiettivo.
LA DIVISIONE ARMONICA DI UN SEGMENTO
La prima descrizione di proporzione armonica ci viene dai Pitagorici (circa 500 a.C.) e il nome
“armonica” viene conferito, pare, da Archita di Taranto , il quale faceva riferimento alle corde vibranti. Infatti l'accordo perfetto, do-mi-sol, si ottiene con corde vibranti le cui lunghezze sono appunto in tali proporzioni.
Si consideri dunque una retta r e un segmento AB su di essa. Si prendano poi due punti C e D su r, uno interno e uno esterno ad AB (figura 6) tali che AC
BC=AD BD .
I punti C e D si dicono allora coniugati armonici in rapporto ad A e B. Risulta immediato che se C e D sono coniugati armonici in rapporto ad A e B, allora A e B sono coniugati armonici in rapporto a C e D. La quaterna ABCD si chiama divisione armonica. Si osservi che il punto C non può essere scelto totalmente ad arbitrio. Se infatti si scegliesse come punto C il punto medio di AB si avrebbe
AC
BC=1 e per rispettare la divisione armonica D dovrebbe andare all'infinito. Per questo motivo si dice che il coniugato armonico del punto medio di AB è il punto all'infinito.
Supponiamo ora di considerare i segmenti orientati. Si definisce segmento orientato, e si indica con AB, il segmento che congiunge i punti A e B, orientato da A a B. La sua misura algebrica è la lunghezza del segmento AB presa con segno positivo se tale segmento è concorde col segno positivo della retta, negativo se discorde. Nel rispetto di queste condizioni la divisione armonica risulta quindi: CA
CB=−DA
DB o, in maniera equivalente AC⋅BD+ AD⋅BC=0 .
Equivalentemente, dal punto di vista algebrico, si prenda un sistema di ascisse sulla retta r con origine in A, e si indichino con a, b, c e d rispettivamente le ascisse dei punti A, B, C e D. Allora AC⋅BD+ AD⋅BC=0 può essere riscritta come c(d−b)+d(c−b)=0 . Svolgendo i calcoli e dividendo poi per bcd si ottiene 2
b=1 c+1
d , cioè 2 AB= 1
AC+ 1
AD , dimostrando che AB è proprio la media armonica tra AC e AD.
Figura 6
Costruzione geometrica del quarto armonico D, dati A, B e C, in modo che la quaterna ABCD sia una divisione armonica
Si consideri una retta r e un segmento AB su di essa (figura 7). Si prenda un punto C interno ad AB.
Si tracci adesso una retta s per A che formi un angolo qualunque con r, purché diversa da r. Sulla retta s si riportino i punti C in C' e B in B'. Si costruisca poi, sempre sulla retta s, il simmetrico B'' di B', rispetto al punto C'. Uniti i punti B'' e B si tracci la parallela al segmento B''B passante per C':
tale retta interseca r nel punto D richiesto.
Una costruzione alternativa può essere fatta nel seguente modo (figura 8): si tracci da A una retta non coincidente con r e si prenda su di essa un punto M. Si tracci poi la parallela ad AM passante per B e si indichi con P il suo punto di intersezione con la retta MC. Se Q è il simmetrico di P rispetto al punto B (sulla retta BP), allora l'intersezione della retta MQ con la retta r individua il punto D cercato. Infatti, per la dimostrazione, si noti che il triangolo DBQ è simile al triangolo DAM, ed inoltre sono simili anche i triangoli CPB e CAM. Per costruzione inoltre PB=QB.
Figura 7: costruzione di una divisione armonica
Figura 8: costruzione alternativa della divisione armonica
LA PRIMA COSTRUZIONE GEOMETRICA
Il problema dell'arco rampante, già citato in precedenza, è trattato nell'opera Observations sur les Points d'Attouchement del 1672, e consiste nel trovare l'arco di una conica tangente a due rette date in due punti assegnati, e tangente inoltre ad una terza retta. Il punto chiave si trova nella proposizione IV, che in termini moderni può essere così descritta:
siano date tre rette tangenti ad una sezione conica BC, BD e CE (figura 9).
Si supponga che le tangenti DB ed EC, tangenti alla conica rispettivamente in D ed E, si intersechino in Q, e che la retta DE intersechi la tangente BC in O.
Allora, essendo A il punto di tangenza di BC, si ha che OB
OC=BA
CA , ossia A è il quarto armonico dopo B, C e O.
Pertanto, conoscendo i punti di tangenza della seconda e della terza retta, La Hire poteva trovare anche il punto di tangenza della prima.
Per dimostrare la proposizione IV, La Hire ragionò nello spazio e considerò la curva come sezione di un opportuno cono circolare. Sfruttò poi l'invarianza del rapporto armonico.
Nella proposizione III egli considerò il caso particolare in cui le tangenti DB ed EC sono parallele (figura 10): in questo caso La Hire dimostra che la sezione conica è necessariamente una circonferenza, o un'ellisse, e che la retta ED che unisce i punti di tangenza è un diametro.
Applicando le proposizioni 29 e 30 e il viceversa della proposizione 27 del terzo libro delle coniche di Apollonio, La Hire dimostrò che il punto di tangenza A della terza retta è il punto di intersezione delle rette ZD e TE, essendo Z e T individuati sui prolungamenti delle tangenti in modo tale che CZ=CE e DB=BT.
Figura 9: proposizione IV
Figura 10: proposizione III
IL NOUVELLE MÉTHODE
Il metodo proiettivo che in quest'opera viene introdotto da La Hire, e che sarà anche il fondamento delle Sectiones conicae, ha la sua ragion d'essere nella divisione armonica di un segmento (si vedano le figg. 7 e 8 del relativo paragrafo).
Nel lemma 1 La Hire dimostrò come trovare il punto B quando sono dati i punti A, D e C:
sia dunque dato un segmento AD ed un suo punto interno C. Si prenda un punto qualunque G, non appartenente al segmento, e si tracci il segmento AG (vedi figura 12). Si tracci poi la retta per C parallela al segmento AG, che individua in DG il punto E, e il suo simmetrico F rispetto a C sulla retta CE. L'intersezione del segmento FG su AD individua il quarto armonico B, formando così la quaterna armonica ABCD, tale che BA
BC=DA DC .
Nei successivi lemmi 2-6 dimostrò l'invarianza proiettiva della divisione armonica, nel caso di rette parallele e nel caso di rette incidenti. La Hire considerò i due casi separatamente perché non concepiva i punti all'infinito. Nel lemma 7 poi dimostrò il viceversa, cioè il fatto che se BE e BH sono divisi armonicamente da D, C e L, F rispettivamente, allora le rette EH, DL e CF si intersecano nello stesso punto A, oppure sono tutte parallele tra loro (figure 13 e 14). Per la dimostrazione procedette per assurdo supponendo che DL non passi per il punto A (retta DG di figura 13).
Figura 14: invarianza proiettiva
Figura 11: Figura 1 del Nouvelle Méthode, 1673 (lemma 1)
Figura 12: costruzione della divisione armonica di La Hire
Figura 13: Figura 8 del Nouvelle Méthode per il lemma 7, 1673
Nei successivi 9 lemmi, applicò quindi la divisione armonica alle tangenti e alle secanti di un cerchio.
Nel lemma 8 considerò un punto A esterno al cerchio BGEF, di cento D, e ne disegnò le tangenti AF e AG e la retta congiungente i punti di tangenza F e G (figura 15). Dimostrò quindi che AE è diviso armonicamente da C, dove C è l'intersezione di FG con AD, e da B, dove B è l'intersezione di AD con il cerchio (oltre a E).
Successivamente, nel lemma 9, passò a dimostrare che questa proprietà vale per qualunque retta passante per A e secante il cerchio. Per dimostrarlo passò nello spazio tridimensionale e ne diede una dimostrazione molto lunga, che si riassume così (figura 16):
data la secante AOL, che interseca FG in I e il cerchio in O e L, considerò la sfera di diametro BE.
Considerò inoltre il piano ortogonale al cerchio passante per FG. Tale piano taglia la sfera lungo il cerchio GDFH. Poi dal punto I prese la perpendicolare a GF, che interseca il cerchio GDFH in D e H. Il piano ADH interseca quindi la sfera nel cerchio ODLH, il cui centro M giace su AL. Quindi applicando il lemma 8 al segmento ALOI, ottenne AL×OI = AO×IL , come volevasi dimostrare.
Figura 15: Figura 12 del Nouvelle Méthode per il lemma 8, 1673
Figura 16: Figura 13 del Nouvelle Méthode per il lemma 9, 1673
tangenti rispettivamente in R ed S al cerchio e passanti per P. Allora la retta polare p del cerchio rispetto a P è la retta RS (figura 17).
Nel caso il punto P sia appartenente al cerchio, P va visto come la sovrapposizione di R ed S, quindi la polare sarà semplicemente la tangente in P (figura 18).
Se invece il punto P è interno al cerchio, si procede tracciando due secanti qualunque r ed s passanti per P. Si tracciano poi le tangenti al cerchio passanti per i punti in cui le rette r ed s intersecano la curva. Le tangenti per i punti di intersezione con r si intersecano in R, quelle per i punti di intersezione con s in S. La retta RS è la polare di P (figura 19). Si osservi che la retta p non dipende da r ed s: una volta fissato P, qualunque sia la scelta delle secanti, i punti di intersezione delle tangenti nei punti di intersezione R ed S giaceranno sulla polare p.
Con i lemmi 10 e 11 La Hire studiò la relazione “polo-polare” rispetto a un cerchio, ma senza l'utilizzo di tale terminologia, che invece sarà usata in questa sede per semplicità. Siano date due rette AE e AL secanti la conica e passanti per un punto dato A (figura 20). Si traccino quindi le rette congiungenti i punti di intersezione con la conica, BO e EL. Esse si intersecano sempre sulla polare di A, o sono parallele ad essa quando AE ed AL sono simmetriche rispetto al diametro per A, ed inoltre la polare di un punto A contiene i poli di tutte le rette passanti per A (figura 21). Gli sfuggì tuttavia che anche le diagonali BL ed EO godono della stessa proprietà, e cioè che si incontrano in un punto appartenente alla polare di A.
Figura 17: Polare rispetto ad un punto P esterno al cerchio
Figura 18: Polare rispetto ad un punto P appartenente al cerchio
Figura 19: Polare rispetto ad un punto P interno al cerchio
Nel lemma 15, dimostrò che le polari di punti su una retta data MN che non interseca il cerchio passano tutte per uno stesso punto interno al cerchio (figura 22). Inoltre, nel lemma 17, usando i risultati precedenti, dimostrò che se A e G sono due punti esterni al cerchio, uno sulla polare dell'altro, allora ciascuna tangente da A (o da G), è divisa armonicamente dai punti di intersezione con le due tangenti da G (o da A), e il suo punto proprio di contatto (il punto di intersezione della tangente con il cerchio, vedi figura
23). Ad esempio
AF×HC=AH ×FC . Più avanti passò quindi allo studio delle sezioni coniche, ma mettendo prima la trattazione di quella che chiamò la formazione di oggetti, e questo per aiutare l'immaginazione come egli stesso scrisse. Tale formazione di oggetti consiste di fatto nella proiezione Figura 20: Figura 14 del Nouvelle Méthode
per il lemma 10, 1673 Figura 21: Figura 15 del Nouvelle Méthode per il lemma 11, 1673
Figura 22: Figura 21 del Nouvelle Méthode per il lemma 15, 1673
anche in considerazione il piano parallelo a quest'ultimo e passante per il vertice del cono (il polo della formazione), e definì la sezione conica un'ellisse, una parabola o un'iperbole, a seconda che la retta che questo piano taglia sul piano del cerchio sia esterna, tangente o secante al cerchio. Nelle Sectiones conicae La Hire chiamò il piano passante per il vertice piano verticale e la retta direttrice, quindi per semplicità da ora in poi si adotteranno gli stessi nomi.
Egli si rese anche conto che ci sono delle eccezioni nelle corrispondenze tra i punti sul cerchio di base e i punti sulla sezione conica: ci sono cioè dei punti sul cerchio di base che non corrispondono a nessun punto sulla sezione conica. Più precisamente notò che ogni punto del cerchio di base corrisponde ad un punto sull'ellisse, ma nel caso della parabola c'è un punto mancante e nel caso dell'iperbole ce ne sono due (che sono i punti all'infinito della conica). Sottolineò inoltre il fatto che le tangenti al cerchio di base corrispondono alle tangenti alla sezione conica, con l'eccezione delle tangenti nei punti mancanti.
Quindi nella prima proposizione La Hire dimostrò per le sezioni coniche le proprietà delle tangenti e delle secanti che aveva dimostrato in precedenza essere valide per il cerchio. Questa proposizione è divisa in sei parti, la prima delle quali ulteriormente divisa in tre poiché l'autore si vide costretto a trattare separatamente i tre tipi di sezioni coniche in quanto egli trattava sistematicamente in maniera distinta i casi nei quali le rette sono parallele e quelli dove le rette invece si intersecano.
Tutto questo in una produzione di ventidue pagine e altrettante figure. Successivamente, alcune considerazioni e dimostrazioni lo portarono a concepire la sua opera le Planiconiques.
Nella seconda parte del Nouvelle méthode La Hire dimostrò che se due rette tangenti una conica nei punti L ed N si intersecano in V (figura 24), allora la retta VP che unisce il punto medio del segmento LN con V, individua un diametro della sezione conica.
Nelle successive parti dell'opera è degna di nota, per questa trattazione, la considerazione che l'autore fece relativamente agli asintoti dell'iperbole, che egli definì, in riferimento alla formazione, come le rette formate dalle tangenti al cerchio di base nei punti mancanti, cioè i punti dove la direttrice incontra il cerchio di base.
Figura 24: Figura 36 del Nouvelle Méthode, 1673
Figura 25: riproduzione della figura 36 del Nouvelle Méthode
LES PLANICONIQUES
L'opera fu pubblicata nel 1674 come supplemento al Nouvelle méthode, e in essa La Hire presentò le trasformazioni piane suggerite da lui nelle costruzioni che aveva pubblicato nel Nouvelle
méthode, ma in maniera più moderna e diretta. Come scrisse nell'introduzione, intese Les
Planiconiques come un'alternativa al Nouvelle méthode, “in quanto molte persone che ne sanno di geometria tuttavia non sono abituate alla rappresentazione piana di figure solide”. Ad ogni modo, non fu solo un aiuto nella comprensione del Nouvelle méthode: per la prima volta nella storia infatti è qui definita una trasformazione che permette lo studio delle proprietà delle sezioni coniche
tramite le proprietà del cerchio. Inoltre il suo approccio introdusse, almeno in forma embrionale, il concetto di “trasformazione piana”, anticipando quella di omologia piana.
Per definire la sua trasformazione La Hire considerò nel piano due rette parallele BC e DE (figura 26), che chiamò rispettivamente direttrice e formatrice, e un punto A che non sta su BC che chiamò polo. Poi, fissato un punto X su BC, per qualsiasi punto h non facente parte delle due rette e diverso da A, considerò l'intersezione Z delle rette hX e DE. Condusse poi da Z la parallela ad AX, e chiamò L la sua intersezione con la retta Ah. Poiché L non dipende dalla scelta di X, La Hire definì L il formato di h (formé). Tuttavia chiameremo “trasformato” anziché “formato” qualsiasi oggetto ottenuto in maniera simile.
La figura corrisponde anche a un caso particolare del teorema di Desargues per triangoli omologici: il punto h è il punto in cui concorrono i vertici dei triangoli corrispondenti AXY e Lzu, i lati corrispondenti sono paralleli a due a due, quindi i loro punti di intersezione sono collineari alla loro retta all'infinito.
Nel lemma 22 La Hire dimostrò che la trasformata di una retta è una retta. Amico di Bosse, come ricordiamo, La Hire era sicuramente a conoscenza del teorema di Desargues, ma poiché evitò sempre i punti all'infinito non attribuì a tale teorema nessun significato particolare. Il motivo è sconosciuto: forse per ignoranza o forse per evitare critiche! Tuttavia questo uso dei punti all'infinito fu uno dei motivi principali di opposizione al Brouillon projet di Desargues.
Alla pagina 78 delle Planiconiques La Hire dichiarò: “le sezioni di superfici coniche sono linee curve formate attraverso questo metodo”; ossia, qualunque sezione conica può essere ottenuta come trasformata di un cerchio. Per provarlo, procedette considerando un cono e un piano che lo seziona generando una parabola. Poi trasformò col suo metodo alcuni punti della conica sul piano del cerchio di base del cono, ottenendo punti della circonferenza.
Infine, nella parte rimanente delle Planiconiques, dimostrò vari teoremi riguardanti i tre tipi di Figura 26: "formazione" di un punto,
riproduzione della figura 84 delle Planiconiques, 1674
LE SECTIONES CONICAE
Datata 1685, la pubblicazione è considerata “l'opera magna” di Philippe de La Hire: un trattato in nove libri, di circa 250 pagine e con figure numerate inserite nel testo. In quest'opera La Hire presentò tutte le conoscenze relative alle sezioni coniche dall'antichità fino a quel momento, e per la prima volta nella storia le dimostrò in modo uniforme ed elegante. Tuttavia, come notò Chasles nel 1837, con tre eccezioni: il problema delle tre e quattro linee, il teorema di involuzione di desargues e il teorema dell'esagono di Pascal.
Il primo libro è la base dell'intero lavoro: in esso sono trattate le proprietà della divisione armonica di un segmento e quelle delle rette tagliate armonicamente nel cerchio. Inoltre qui si possono anche trovare alcuni casi particolari dell'involuzione di sei punti. L'applicazione sistematica della divisione armonica, e del suo metodo spaziale richiamato nel secondo libro, permisero a La Hire di dedurre in maniera facile e generale i teoremi ai quali gli antichi giunsero per vie lunghe e faticose.
In accordo a quanto riportato da Chasles, si può dire che fu proprio questa la novità, e il merito, del
“metodo” che La Hire sviluppò nel 1673. In una nota che seguì la sua copia del manoscritto Brouillon project di Desargues, che comunque egli non intendeva pubblicare (e quindi non affidabile), La Hire dichiarò che scoprì il suo metodo indipendentemente da Desargues:
“Nell'anno 1679, in luglio, lessi per la prima volta l'opuscolo del Sig. Desargues, e per averne una migliore comprensione ne feci una copia. Era da più di sei anni che ebbi dato a stampa il mio primo lavoro sulle sezioni coniche. Non c'è dubbio che, se avessi saputo di questo trattato, non avrei scoperto il metodo che usai, perché non avrei creduto possibile trovare un metodo più facile, e allo stesso tempo ugualmente generale”.
Alla fine della nota egli spiegò anche come scoprì il suo metodo:
“e fu da un esame accurato di tutte le proprietà di questa linea in tutti i casi trovati da Apollonio, e dal loro confronto, che trovai il modo di ridurli all'unico modo che fornii nel metodo da me pubblicato”.
Secondo Chasles, parecchi risultati delle Sectiones conicae sono dovuti a La Hire stesso, tra i quali citò quelli relativi alla “teoria dei poli”, e che riassunse in tre punti:
1. “Se fissato un punto si traccia una trasversale che incontra la sezione conica in due punti, le tangenti alla sezione conica in quei punti si intersecano sempre in una retta.”
Analogamente, in modo inverso:
“Se da ogni punto di una retta si tracciano le tangenti ad una sezione conica, la retta congiungente i punti di tangenza passerà per un punto fisso.”
Clasles aggiunse: “In tempi recenti, questo punto è stato chiamato il polo della retta, e la retta la polare, in questo, del punto”.
2. “Se fissato un punto si disegnano diverse trasversali passanti per il punto e che incontrano la sezione conica, le rette che uniscono due punti di intersezione presi a caso si incontreranno sulla polare del punto fissato”.
Queste due proposizioni sono racchiuse nel teorema del quadrilatero inscritto in una sezione conica, che presumibilmente Pascal dedusse dal suo esagramma.
3. “Il punto nel quale ogni trasversale incontra la polare del punto fissato, è il coniugato armonico di questo punto fissato rispetto ai due punti nei quali la trasversale incontra la curva”.
Quest'ultima proposizione, che era nota ad Apollonio, e segue dalla proposizione 131 del settimo libro della Collezione di Pappo, gioca un ruolo chiave in quasi tutti i trattati di La Hire.
Volgiamo ora l'attenzione all'Expositio brevis, che La Hire incluse alla fine del suo trattato sulle sezioni coniche. Come scrisse nella prefazione (La Hire, 1685), pensò che fosse corretto rendere omaggio al lavoro di Apollonio, aggiungendo un sommario dei sette libri “che sono giunti fino a
noi”, e delle proposizioni ivi dimostrate, in modo che potessero essere confrontate con quelle dimostrate de lui stesso. Continuò poi dicendo che userà un metodo diverso da quello di Apollonio, e che sebbene ometterà alcune proposizioni che erano necessarie a quest'ultimo, le avrebbe poi recuperate nel sommario. Fece anche notare che procedette in questo modo così da non omettere nulla, e che il suo lavoro era collegato a tutto quello di Apollonio, in modo tale da poter comprendere quale era opera dell'uno e quale dell'altro, e cosa fu aggiunto da altri autori che contribuirono agli ultimi tre libri.
La Hire non menzionò l'edizione di Borelli dei libri V-VII delle Coniche, sebbene nella stesura dell'Exposizio brevis ce l'avesse sotto mano, e alla quale si riferì senza dubbio nella prefazione a proposito dei sette libri “che sono giunti fino a noi”. D'altro canto questo è confermato dal confronto tra le proposizioni elencate nel sommario, e quelle presenti in Apollonio: vi è infatti una corrispondenza uno a uno che conserva anche la numerazione delle proposizioni.
Nel citare tutte le proposizioni di Apollonio, e nel confrontare le proprie affermazioni con quelle dell'alessandrino, sembra che La Hire intendesse dimostrare la superiorità dei metodi che adottò nello sviluppo della teoria delle sezioni coniche, e che volesse rimpiazzare il lavoro di Apollonio con il proprio. In conclusione La Hire non scoprì nuovi teoremi, ma piuttosto presentò tutte le proposizioni di Apollonio in modo sistematico, fornendo inoltre dimostrazioni chiare e più semplici.
Comunque, le Sectiones conicae di La Hire migliorarono fortemente l'idea, già diffusa, delle sezioni coniche come immagine proiettiva del cerchio, e della possibilità quindi di ridurre le loro proprietà a quelle del cerchio.
Sebbene l'opera fu ben accolta in Francia e all'estero (ad esempio Newton la citò nei suoi Principia), il trattato di La Hire non rimpiazzò, come da lui sperato, l'opera di Apollonio, che anzi fu ri-edita nel 1710 da Halley.
Andrea Brentonico, Schio, giugno 2021
Bibliografia:
– Tracing the origins of projective geometry – in progress, Andrea Del Centina
– The chords Theorem recalled to life at the turn of eighteenth century, Alessandra Fiocca e
