Consideriamo lo spazio-tempo descritto, nel riferimento O, dalle coordinate {x µ } = (t, r, θ, φ), con metrica. dt 2 1

(1)

QUINTA ESERCITAZIONE Esercizio

Consideriamo lo spazio-tempo descritto, nel riferimento O, dalle coordinate {x^µ} = (t, r, θ, φ), con metrica

ds²= −

1 −2M

r

dt²+ 1 1 −^2M_r dr

2+ r²dθ²+ r²sin²θdφ² (1)

dove M > 0 `e una costante. Sia dato il vettore ~V di componenti

V^µ= r

1 − 2M r , r,0, 0

!

. (2)

I simboli di Christoffel non nulli sono Γ_tt^r = M

r²

1 −2M

r

Γ_rt^t= Γ_tr^t = M r²

1 −2M

r

−1

Γ_rr^r = −M r²

1 −2M

r

−1

Γ_θθ^r = −(r − 2M ) Γ_φφ^r = −(r − 2M ) sin²θ Γ_θr^θ= Γ_rθ^θ = 1

r Γ_φr^φ = Γ_rφ^φ = 1 r

Γ_φφ^θ = − sin θ cos θ

Γ_φθ^φ = cot θ . (3)

1. Calcolare

V^t_;t; V^t_;r; V^θ_;r; V^θ_;θ. (4) 2. Dato il riferimento O^′ di coordinate {x^α′} = (t^′, r^′, θ^′, φ^′) date da

x^µ(x^α′) :











t = t^′

r = r^′ 1 +_2r^M_′² θ = θ^′

φ = φ^′

(5)

determinare la metrica nel riferimento O^′.

(2)

3. Calcolare le quantit`a

Λ^µ_α′ ≡ ∂x^µ

∂x^α′ ; Λ^α_µ^′ ≡∂x^α′

∂x^µ . (6)

4. Determinare le componenti del vettore ~V (2) nel riferimento O^′.

Soluzione

1. Si ha

V^t_;t = V^t_,t+ Γ_tµ^tV^µ= Γ_tr^tV^r= M r 1 − ^2M_r V^t_;r = V^t_,r+ Γ_rµ^tV^µ= V^t_,r+ Γ_rt^tV^t= 2M

r²q 1 −^2M_r V^θ_;r = V^θ_,r+ Γ_rµ^θV^µ= 0

V^θ_;θ = V^θ_,θ+ Γ_θµ^θV^µ= Γ_θr^θV^r= 1 . (7) 2. Trasformiamo dr². Si ha

r= r^′

1 + M

2r^′

2

= r^′+ M + M²

4r^′ (8)

quindi

dr=

1 − M²

4r^′2

dr^′=

1 + M

2r^′

1 − M

2r^′

dr^′ (9)

e

dr²=

1 + M

2r^′

2 1 − M

2r^′

2

dr^′2. (10)

Ora esprimiamo le componenti gµν nelle nuove coordinate. Si ha 1 − 2M

r = 1 − 2M

r^′ 1 + _2r^M′

2 = 1

r^′ 1 + _2r^M′

2

r^′+ M +M² 4r^′ − 2M

= 1

r^′ 1 + _2r^M′

²

r^′− M +M² 4r^′

= 1 − _2r^M′

2

1 + _2r^M′

² (11)

e

r²= r^′2

1 + M²

. (12)

(3)

3. Dalla (9) si ha che

∂r

∂r^′ =

1 − M² 4r^′2

(14) quindi

Λ^µ_α′ =







1 0 0 0

0 1 −_4r^M′2²

0 0

0 0 1 0

0 0 0 1







(15)

e le Λ^α_µ^′ si ottengono invertendo la (15):

Λ^α_µ^′ =







1 0 0 0

0

1 −_4r^M_′2²−1

0 0

0 0 1 0

0 0 0 1







. (16)

4. Prima di tutto esprimiamo le componenti V^µnelle coordinate x^α^′; usando la (11),

V^µ= r

1 − 2M r , r,0, 0

!

= 1 −_2r^M′

1 +_2r^M′

, r^′

1 + M

2r^′

2

,0, 0

!

. (17)

Le componenti di ~V nel riferimento O^′ saranno

V^α′ = Λ^α′_µV^µ=







1 0 0 0

0 1 − _4r^M′2²

−1

0 0

0 0 1 0

0 0 0 1













1−_2r′^M 1+^M

2r′

r^′ 1 +_2r^M′

2

0 0







=







1−_2r′^M 1+^M

2r′

r^′¹⁺

M 2r′

1−_2r′^M

0 0







. (18)

(4)

Sia dato l’elemento di linea

ds²= −2 u v d u d v + (u + v)² dr² + r² dφ² espresso nelle coordinate

x ^a= [u, v, r, φ]

I simboli di Christoffel non nulli sono Γu u u= 1

u Γu r r= 1 u+ v Γv v v= 1

v Γv r r= 1

u+ v Γr r u=u+ v u v Γr r v= u+ v

u v Γr φ φ=1

r Γφ φ r= − r

(u + v)²

Definendo il vettore v^a= [0, 0, 0, cos(v)] e la 1-forma wa= [0, 0, cos(u), 0]

1) Calcolare la derivata covariante di v e di w, cioe’

v^a _;b e w_{a : b}.

2) Calcolare le componenti del tensore T^ab= v^a wb

5) Calcolare le componenti del tensore T^{a c}= g^{b c} T^a

(5)

RISULTATI 1)

v^a _;b =







0 0 0 0

0 0 0 −cos(v) r

(u + v)² 0 −sin(v) cos(v)

r 0







w_a _;b=







0 0 −cos(u)

u+ v 0

0 0 −cos(u)

u+ v 0

−sin(u) u + sin(u) v + cos(u)

u+ v −cos(u)

u+ v 0 0

0 0 0 cos(u) r

(u + v)²





 2)

T^a _b=







0 0 0 0

0 0 cos(v) cos(u) 0





 5)

T^{a c}=







0 0 0 0

0 0 cos(v) cos(u) (u + v)² 0







6)

T^{φ r} ;u= −cos(v) (sin(u) u + sin(u) v + cos(u)) (u + v)³

T^{φ u} ;r=cos(v) cos(u)

(u + v) u v , T^{r r} ;φ= −cos(v) cos(u) r (u + v)⁴

(6)

Laplaciano in coordinate polari

Consideriamo la metrica euclidea tridimensionale, nelle coordinate cartesiane {x^µ} = (x¹, x², x³),

ds²= (dx¹)²+ (dx²)²+ (dx³)²= gµνdx^µdx^ν (19) con gµν = diag(1, 1, 1). La metrica inversa sar`a anch’essa g^µν = diag(1, 1, 1).

La stessa metrica pu`o essere espressa nelle coordinate polari {x^α′} = (r, θ, φ), definite dalla trasformazione di coordinate x^µ= x^µ(x^α′):

x¹ = rsin θ sin φ x² = rsin θ cos φ

x³ = rcos θ . (20)

La metrica nelle nuove coordinate `e

ds²= dr²+ r²dθ²+ r²sin²θdφ²= gα^′β^′dx^α′dx^β′ (21) ovvero gα^′β^′ = diag(1, r², r²sin²θ) mentre g^α^′^β^′ = diag(1, r⁻², r⁻²sin⁻²θ).

L’operatore laplaciano in coordinate cartesiane ha la forma

∇²f ≡ g^µνf,µν= ∂f

∂(x¹)² + ∂f

∂(x²)² + ∂f

∂(x³)². (22) Se vogliamo scriverlo in un sistema di coordinate qualsiasi, dobbiamo prima di tutto scriverlo in forma tensoriale, ovvero con derivate covarianti invece che derivate ordinarie. Osserviamo che nello spazio euclideo in coordinate cartesiane g_µν,α= 0, quindi Γ^α_µν = 0 e la derivata covariante coincide con quella ordinaria, per cui possiamo scrivere

∇²f ≡ g^µνf_;µν. (23)

Questa espressione, a differenza della precedente, `e tensoriale e vale quindi in tutti i sistemi di coordinate. Possiamo quindi calcolare l’operatore laplaciano in coordinate polari

∇²f = g^α′β′f;α^′β^′ = g^α′β′(f,α^′);β^′ (24) dove nella parentesi abbiamo messo la derivata ordinaria perche’ la derivata covariante di una grandezza scalare (come la funzione f ) coincide con la sua derivata ordinaria; in altre parole, il gradiente di uno scalare è un oggetto tensoriale, e precisamente è una uno-forma. Invece, fuori della parentesi c’è la

(7)

I simboli di Christoffel non nulli si calcolano facilmente, osservando che la metrica `e diagonale e che le derivate non nulle della metrica sono

g_θθ,r= 2r , g_φφ,r= 2r sin²θ , g_φφ,θ= 2r²sin θ cos θ (26) quindi i simboli di Christoffel non nulli con indici bassi sono

Γθθ r= −1

2g_θθ,r = −r , Γθr θ= Γrθ θ= 1

2g_θθ,r = r Γφφ r= −1

2g_φφ,r= −r sin²θ , Γφr φ= Γrφ φ= 1

2g_φφ,r= r sin²θ Γφφ θ= −1

2g_φφ,θ= −r²sin θ cos θ , Γφθ φ = Γθφ φ= 1

2g_φφ,θ= r²sin θ cos θ (27) e i simboli di Christoffel non nulli sono

Γ_θθ^r = −r , Γ_θr^θ = Γ_rθ^θ = 1 r Γ_φφ^r = −r sin²θ , Γ_φr^φ = Γ_rφ^φ = 1

r Γ_φφ^θ = − sin θ cos θ , Γ_φθ^φ = Γ_θφ^φ = cot θ .

(28) Sostituendo in (25) troviamo la forma del laplaciano di una funzione f in coordinate polari

∇²f = f,rr+ 1

r²f,θθ+ 1

r²sin²θf,φφ+

−Γ_θθ^rg^θθ+ Γ_φφ^rg^φφ f_,r− Γ_φφ^θg^φφf_,θ

= f,rr+2 rf,r+ 1

r²

f,θθ+ cot θf,θ+ 1 sin²θf,φφ

. (29)