1) In un sistema di coordinate polari sferiche, si consideri la superficie identificata dalle relazioni: r ≤ 2.18 m, θ = 0.382 rad, 0.112 rad ≤ φ ≤ 4.12 rad

Testo n. 0 - Cognome e Nome:

UNIVERSIT `A DEGLI STUDI DI PISA - FACOLT `A DI INGEGNERIA INGEGNERIA AEROSPAZIALE: CORSO DI FISICA E ELETTRONICA

INGEGNERIA DELLA SICUREZZA INDUSTRIALE E NUCLEARE:

CORSO DI ELETTROMAGNETISMO Prova n. 1 - 6/11/2004

Negli esercizi seguenti le coordinate polari sferiche vengono indicate con i simboli r,θ,φ, dove r `e la distanza dall’origine, θ `e l’angolo polare (colatitudine) e φ `e l’azimut; le coordinate cilindriche vengono indicate con i simboli ρ,φ,z, dove ρ `e la distanza dall’asse polare, φ `e l’azimut e z `e la quota; le coordinate cartesiane vengono indicate con i simboli x,y,z. Quando pi`u tipi di coordinate sono usati nello stesso esercizio, salvo avviso contrario i diversi sistemi sono associati nel modo usuale: origini coincidenti, assi polari coincidenti tra loro e coincidenti con l’asse z, origine degli azimut coincidente con il semiasse x > 0, ecc.

1) In un sistema di coordinate polari sferiche, si consideri la superficie identificata dalle relazioni: r ≤ 2.18 m, θ = 0.382 rad, 0.112 rad ≤ φ ≤ 4.12 rad. Determinare l’area in m² di detta superficie.

A 0 B 1.75 C 3.55 D 5.35 E 7.15 F 8.95

2) In un sistema di coordinate cilindriche, si consideri la superficie identificata dalle relazioni: ρ = 2.96 cm, 0.296 rad ≤ φ ≤ 2.60 rad, 17.0 cm ≤ z ≤ 38.7 cm. Determinare la lunghezza in cm del perimetro di detta superficie.

A 0 B 21.0 C 39.0 D 57.0 E 75.0 F 93.0

3) In un sistema di coordinate cartesiane `e dato il vettore a = a_xˆe

x+a_yˆe

y, con a_x= 1.76 mm e a_y = 3.43 mm.

Nel sistema di coordinate sferiche associato al sistema cartesiano, nel punto di coordinate r = 9.67 mm, θ = 0.713 rad e φ = 0.764 rad `e dato il vettore b = brˆe

r + bθˆe_θ, con br = 3.10 mm e bθ = 2.72 mm.

Determinare l’angolo, in radianti, tra i vettori a e b.

A 0 B 0.179 C 0.359 D 0.539 E 0.719 F 0.899

4) Tre particelle aventi cariche, rispettivamente, q, 2q e 3q, si trovano ai vertici di un triangolo equilatero di lato 4.57 cm. Sapendo che q = 58.5 nC, determinare il modulo della forza, in newton, sulla particella di carica 3q.

A 0 B 0.117 C 0.297 D 0.477 E 0.657 F 0.837

5) In un sistema di coordinate cilindriche `e dato il seguente campo elettrico: Eρ = −h/ρ, Eφ= 0, Ez= kz, dove h = 4.71 V e k = 2.84 V/cm². Si consideri la distribuzione di carica che genera tale campo e un cilindro non degenere avente per asse proprio l’asse z. Determinare il raggio, in cm, di un tale cilindro che contenga complessivamente una carica nulla.

A 0 B 1.82 C 3.62 D 5.42 E 7.22 F 9.02

6) Nel caso del problema precedente (5), determinare la densit`a di carica lineare, in nC/m, presente sull’asse z.

A 0 B −0.262 C −0.442 D −0.622 E −0.802 F −0.982

7) In un sistema di coordinate polari sferiche sono dati i punti A, di coordinate r_A= 3.99 cm, θ_A= 0.116 rad, φA= 0.220 rad, e B, di coordinate rB = 6.31 cm, θB = 2.71 rad, φB = 2.67 rad. Determinare la distanza, in cm, tra i due punti.

A 0 B 10.2 C 28.2 D 46.2 E 64.2 F 82.2

8) In un sistema di coordinate cartesiane `e data una distribuzione volumetrica di carica di densit`a ρ = a−bz², dove a = 0.410 µC/m³ e b = 0.320 µC/m⁵. Si consideri un cilindro non degenere con asse parallelo all’asse z e una base giacente sul piano xy. Determinare l’altezza, in metri, che deve avere il cilindro affinch`e contenga una carica totale nulla.

A 0 B 1.96 C 3.76 D 5.56 E 7.36 F 9.16

9) Una distribuzione di carica genera un campo elettrico che, in un sistema di coordinate polari sferiche, `e dato da: E_r = a cos θ sin φ/r², E_θ = a sin θ sin φ/r², E_φ= −a cos θ cos φ/(r²sin θ), dove a = 2.86 V · m. La distribuzione di carica viene successivamente ruotata rigidamente intorno all’asse polare, nel verso positivo degli azimut, di un angolo di 0.595 rad. Determinare la componente E_θ del campo, in V/m, nel punto P di coordinate r = 1.55 m, θ = 1.10 rad, φ = 3.60 rad, dopo aver effettuato la rotazione della distribuzione di carica.

A 0 B 0.144 C 0.324 D 0.504 E 0.684 F 0.864

10) In un sistema di coordinate cartesiane `e dato il seguente campo di velocit`a di un fluido incomprimibile:

v= k y ˆe

x, dove k = 0.402 s⁻¹.

Si consideri il rettangolo definito dalle relazioni seguenti: x = 0, 0 ≤ y ≤ 1.81 m, 0 ≤ z ≤ 1.18 m.

Determinare il volume del fluido per unit`a di tempo, in m³/s, che attraversa il rettangolo sopra definito.

A 0 B 0.237 C 0.417 D 0.597 E 0.777 F 0.957

Testo n. 0