F ext > F lim L ATTRITO

(1)

L’ATTRITO

Tutti abbiamo esperienza diretta dell’attrito. Un oggetto lanciato su un piano orizzontale finisce inesorabilmente per fermarsi. A parità di velocità iniziale, quanto più è liscia la superficie piana, quanto maggiore è la distanza percorsa. È evidente che il piano esercita sull’oggetto, oltre alla forza normale che controbilancia la forza peso , anche una forza ritardante diretta orizzontalmente con verso opposto a quello del moto. Chiamiamo questa forza . L’attrito può essere o a seconda che l’oggetto sul quale agisce sia fermo o in movimento. Immaginiamo di trascinare una cassa appoggiata sul pavimento. È intuitivo che, a parità di peso della cassa, trascinarla su un pavimento liscio e cerato è sicuramente più agevole che trascinarla sulla sabbia. Ancora: è diverso trascinare sullo stesso tipo di pavimento una cassa di metallo o di legno aventi lo stesso peso. Da queste osservazioni è evidente che la forza di attrito dipende dai materiali che entrano in contatto. Immaginiamo di voler spostare una cassa, inizialmente ferma, applicando una forza orizzontale via via crescente. In presenza di attrito succede che la cassa comincia a muoversi solo se la forza applicata supera un certo valore . Se la cassa resta in quiete significa che la somma delle forze ad essa applicate vale zero.

Verticalmente il pavimento esercita sulla cassa una forza normale uguale e contraria alla forza peso. Ma orizzontalmente? Se un agente esterno applica una forza via via crescente ma la cassa non si muove, significa che la forza di attrito statica cresce di pari passo con la forza esterna di modo che riesce ad equilibrarla. Ma, se per inizia il moto

N mg

attrito statico dinamico

F

_ext

F

_lim

F

_ext

> F

_lim

(2)

significa che la forza di attrito statica non può andare oltre un certo limite. La forza di attrito , (sia esso statico o dinamico) tra due oggetti aumenta sia all’aumentare della superficie di contatto sia all’aumentare della pressione esercitata nel contatto. La superficie di contatto “reale” è comunque, a causa della rugosità dei materiali, molto minore delle superficie geometrica . Se chiamiamo rispettivamente ed il numero di imperfezioni per unità di superficie dei due mazzi a contatto possiamo scrivere:

Dove la pressione per definizione è uguale al peso normale alla superficie per unità di superficie. Il prodotto , tipico di ogni coppia di materiali e variabilissimo da caso caso, rientra nel valore numerico del coefficiente di proporzionalità tra forza di attrito e forza normale. Esiste quindi per ogni coppia di materiali un coefficiente di attrito statico e un coefficiente di attrito dinamico , entrambi adimensionali e minori dell’unità, con La forza di attrito dinamico si scrive quindi semplicemente come:

La forza di attrito statico invece non ha un valore definito a priori: nell’esempio precedente abbiamo visto che per la cassa non si move e quindi in questo intervallo di valori deve essere . Quando supera questo valore di soglia inizia il moto e quindi l’attrito da statico diviene dinamico. Possiamo quindi dire che la forza di attrito

(4)

Per quanto detto sopra, nella risoluzione dei problemi la forza di attrito dinamico

deve essere direttamente (se nota) o indirettamente (se incognita) esplicitabile : quindi deve essere un dato del problema.

La forza di attrito statico invece non è mai un dato direttamente o indirettamente noto a priori perché è definito tramite una disequazione. Trattandosi di un problema di statica dovrà valere la relazione e verrà calcolato di conseguenza. In alcuni casi la situazione limite di “moto incipiente” consente di misurare/calcolare il valore di .

f

_d

= μ

_d

N μ

_d

f

_s

∑ F

ⁱ

= 0 f

_s

μ

_s

(5)

Esempio.

Un blocco di massa è appoggiato su un piano. Si varia l’angolo di inclinazione di questo piano fino a quando il corpo inizia a muoversi. Da una misura di questo angolo è possibile ricavare il valore del coeﬃciente di attrito statico

Al solito nei problemi di piano inclinato scegliamo un sistema di riferimento con l’asse parallelo al piano diretto verso il basso e l’asse ortogonale al piano diretto verso l’alto

Il blocco rimane fermo finché , ossia:

Aumentiamo gradualmente e quando arriviamo al valore il moto inizia. Questo significa che non riesce più a contrastare il valore crescente di perché è arrivato al suo valore limite dato dalla disequazione: . Il valore limite è appunto quello in corrispondenza del segno “ ” e vale:

Possiamo allora scrivere:

Da cui si ricava:

m ϑ

N

In figura è anche indicata la forza di attrito , sia essa statica o dinamica. Essa è una forza di interazione tra e : quindi, per il terzo principio della dinamica, la forza che esercita su e la forza che esercita su sono uguali ed opposte: che abbiamo entrambe indicato con . Il blocco , a causa della forza ad esso applicata, tenderebbe a muoversi nel verso di e quindi la forza di attrito che si oppone al moto ha verso opposto ad F. La forza di reazione che esercita su punta quindi nella direzione di ed è appunto quella che “trascina” il blocco .

Iniziamo a risolvere il problema nell’ipotesi che i blocchi procedano assieme, ossia che la forza di attrito sia statica.

Applichiamo ad e a la seconda legge della dinamica:

m

_A

= 25 kg m

_B

= 100 kg

μ

_s

= 0.6 μ

_d

= 0.5

B A

F F A B

a

_A

a

_B

F F

A B f B

A A B f

_AB

= − f

_BA

f A F

F f

A B F

B

A B

(7)

Dove abbiamo imposto che entrambi i blocchi abbiano la stessa accelerazione .

Sommando membro a membro otteniamo: .

Quindi e

Questa relazione è valida fintanto che l’attrito è statico, quando cioè

Dove ovviamente

Mettendo tutto assieme:

Da cui ricaviamo:

Sostituendo i valori numerici:

Come caso limite, in assenza di attrito ( ) le equazioni del moto divengono:

F − f

_s

= m

_A

a f

_s

= m

_B

_s

N N = m

_A

_A

+ m

_B

)

m

_B

(8)

Vediamo ora cosa accade se supera questo valore limite.

L’attrito diviene dinamico e i moti a questo punto sono indipendenti.

Per il blocco abbiamo:

Quindi:

Per il blocco :

Quindi:

Il caso limite di assenza di attrito ( ) fornisce correttamente:

Da notare che è ovviamente inversamente proporzionale ad ma dipende anche da

F

m

_A

(9)

Un disco può ruotare attorno al suo asse con velocità angolare regolabile. Ad una distanza dall’asse su di esso è appoggiato un blocchetto di massa . Il disco viene posto in rotazione aumentando gradualmente la sua velocità angolare. Si nota che il blocchetto comincia a slittare sul disco quando questo raggiunge una velocità angolare pari a . Calcolare il coeﬃciente di attrito statico tra blocchetto e disco.

Se non vi fosse attrito tra disco e blocchetto il disco comincerebbe a ruotare sotto il blocchetto, ma questo resterebbe fermo in quanto su di esso, inizialmente fermo, non agirebbe nessuna forza orizzontale. Per restare solidale con il disco il blocchetto deve essere soggetto ad una forza di attrito che avrà due componenti:

una tangenziale: , che permette al blocchetto di aumentare la sua velocità tangenziale ( ) mano a mano che il disco aumenta la sua velocità angolare.

Una radiale: che funge da forza centripeta e permette al blocchetto di muoversi di moto circolare (accelerato). Se la velocità angolare aumenta lentamente

( piccola), l’accelerazione tangenziale resta minore

r = 10 cm m = 200 g

ω

_lim

= 7 rad/s

f

_t

= ma

_t

v = ωr f

_c

= ma

_c

= mω

²

r

dω/dt a

_t

= dv/dt = rdω/dt

(10)

dell’accelerazione radiale e lo slittamento del blocchetto avviene prima radialmente che tangenzialmente.

Il verso di , concorde con il verso rotazione, appare ovvio all’esperienza quotidiana. La spiegazione fisica è la seguente. Supponiamo che non vi sia attrito, o che l’attrito sia insuﬃciente: quando il disco inizia a ruotare sotto il blocchetto in senso antiorario, il moto relativo del blocchetto rispetto al disco avviene in senso orario. La forza di attrito, che si oppone al moto relativo, ha quindi verso antiorario.

Torniamo al nostro problema concentrandoci sulla componente radiale della forza di attrito statico. In funzione di scriviamo:

Da questa disequazione ricaviamo:

ossia:

Dalla quale, noti , e , ricaviamo il valore incognito del coeﬃciente di attrito statico:

ω

²

r f

_t

f

_c

= mω

²

r ≤ μ

_s

N = μ ω

_s

mg

ω

²

r ≤ μ

_s

g ω

_lim²

r = μ

_s

g ω

_lim

r g

μ

_s

= ω

_lim²

r

g = 0.5

(11)

Due blocchi A e B di eguale sezione quadrata (lato ) sono sovrapposti come in figura. La superficie di contatto tra i due blocchi è orizzontale. Il blocco A poggia su un piano liscio inclinato di . Le masse dei blocchi sono rispettivamente e

. Si supponga che tra i blocchi vi sia attrito. Calcolare:

a) il valore della forza di attrito tra i blocchi aﬃnché entrambi scivolino insieme;

b) il minimo valore del coeﬃciente di attrito.

Si supponga ora che non vi sia attrito.

c) Calcolare il tempo che trascorre prima che il blocco B si ribalti.

d = 32 cm

ϑ = 30

^∘

m

_A

= 700 g

m

_B

= 100 g

(12)

Il problema richiede un po’ di calcoli algebrici perché lo si deve descrivere nel sistema di riferimenti indicato in figura e quindi è necessario proiettare le equazioni della dinamica sui due assi e . Ricorriamo al diagramma di corpo libero: schematizziamo i due blocchi coma due punti materiali e ad essi applichiamo tutte le forze in gioco rispettando le direzioni dei vettori.

x y

(13)

Qui abbiamo indicato con la forza di attrito statico, con la forza di contatto tra i blocchi (perpendicolare alla superficie di contatto) e con la forza normale che il piano inclinato esercita sul blocco .

Se I blocchi non scivolano uno sull’altro hanno la stessa accelerazione . Scriviamo in forma vettoriale le equazioni del moto:

Che, proiettate sugli assi, per il blocco forniscono:

Blocco Blocco

Ma abbiamo una scorciatoia data dal buon senso. Sappiamo che, finchè i blocchi sono a contatto, la loro accelerazione comune è diretta

lungo il piano inclinato (abbiamo già visto decina di problemi di questo tipo..) e vale

.

Usiamo questa informazione per calcolarci e . Dal grafico qui accanto:

f R

N

_A

_y

a = g sin ϑ

a

_x

a

_y

(14)

Quindi: diviene:

Per calcolar eil minimo valore del coeﬃciente di attrito che consente al blocco di non scorrer sul blocco applichiamo la disuguaglianza: dove la normale in questo caso altri non è che la forza di contatto

Infine, supponendo che non vi sia attrito, il blocco non ha nessun moto lungo l’asse e quindi scende in verticale lungo l’asse rimanendo a contatto Cho il blocco . Il

ribaltamento avviene quando il blocco esce per metà dal blocco . Questo avviene, dal momento che il blocco non si muove lungo , quando il blocco si sposta lungo di un tratto e quindi percorre lungo il piano inclinato una distanza . Muovendosi con accelerazione e partendo da fermo, possiamo usare la relazione: