Numeri complessi. Esercizi

1 Scrivere in forma algebrica le radici quinte di 1 +

√ 3i .

2 Sia

p(x ) = a2x2+ a1x + a0 con ai ∈ R i = 0, 1, 2 e a2 6= 0 Dimostrare che se z ∈ C `e una radice di p(x) allora anche z `e una radice di p(x ).

Generalizzare il precedente teorema al caso di un polinomio a coefficienti reali, di grado n (con n intero positivo qualsiasi).

3 Risolvere in C l’equazione:

(|z − 6i | − |z + 4i |)(z3− i ) = 0

4 Rappresentare nel piano di Gauss il luogo dei numeri complessi

z ∈ C tali che

|eiz2+1| < 1

Politecnico di Milano, Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione. Analisi e Geometria 1. 9 settembre 2013

5 _{Scrivere in forma algebrica (a + i b, a, b ∈ R) il numero}

complesso w = √ 2 2 + i √ 2 2 !36

Determinare l’insieme S delle soluzioni complesse dell’equazione

(1 + 2i )z + (1 − i )z + 2 − 3√3 + i = 0

6 Rappresentare nel piano di Gauss i seguenti insiemi A = {z ∈ C | 0 ≤ Re(z) < 2π} B = {z ∈ C | 0 ≤ Re(iz) < 2π} C = {z ∈ C |     1 z     ≤ 1} D = {z ∈ C | Re(_z12) ≥ 0} E = {z ∈ C | 1 2 < |z| ≤ 3 2, π 2 < arg z < 3 4π} F = {z ∈ C | |Im(z)| < 1₂, |Re(z)| ≤ 1}

7 Rappresentare nel piano di Gauss i seguenti insiemi:

E = {z ∈ C | 1 < |z| < 2, π₂ ≤ arg z ≤ π} F = {w ∈ C | w = z2, con z ∈ E }

8 Rappresentare nel piano complesso i seguenti insiemi:

A = {z ∈ C | 1 ≤ |z| ≤ 2, 0 ≤ arg z ≤ π₃} B = {w ∈ C | w = z3, con z ∈ A} C = {w ∈ C | w4∈ A}