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Esercizio 1. Sia ε ∈ Q. Dimostrare che il sistema lineare razionale

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Matematica Discreta e Logica Matematica CdL in Informatica, Facolt` a di Scienze MM. FF. NN.

Universit` a degli Studi di Salerno A.A. 2009/2010

Compito d’Esame di Geometria 19/02/2010

Esercizio 1. Sia ε ∈ Q. Dimostrare che il sistema lineare razionale

S

ε

:

−x +2y −3z =

13

2x −

12

y +z = 0 5x +

12

y +εz = 0

`

e compatibile e pu` o essere risolto con il metodo di Cramer se e solo se ε 6= 0. Infine, risolvere S

1

con il metodo di Cramer.

Esercizio 2. Dimostrare che l’endomorfismo

F : R

3

3

 x

1

x

2

x

3

 7−→

x

1

+

12

x

3

−x

1

−

12

x

3

x

1

+x

2

+x

3

 ∈ R

3

.

non ` e diagonalizzabile e trovare un sistema massimale di autovettori indipendenti di F .

Esercizio 3. Sia V uno spazio vettoriale e (v

1

, . . . , v

k

, v

k+1

) un sistema di generatori di V . Dimostrare che se v

k+1

` e combinazione lineare di (v

1

, . . . , v

k

), allora (v

1

, . . . , v

k

) ` e un sistema di generatori di V .

1

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