Esame di Geometria 1

(1)

Esame di Geometria 1

Anno Accademico 2012/2013

9 Luglio 2013

Svolgere i seguenti esercizi giustificando le risposte.

1. Sia X l’intervallo (0, 1) e si consideri la famiglia

τ :=

0, 1 − 1 n

n ≥ 2

∪ ∅, X

di sottoinsiemi di X.

(a) Verificare che τ ` e una topologia su X.

(b) Lo spazio topologico (X, τ ) ` e T ₀ ? ` E T ₁ ? ` E T ₂ ?

(c) Lo spazio topologico (X, τ ) ` e connesso per archi? ` E localmente connesso per archi?

(d) Dimostrare che ogni aperto di (X, τ ) diverso da X ` e compatto.

(e) Dimostrare che ogni chiuso non vuoto di (X, τ ) non ` e compatto.

(f) Stabilire se (X, τ ) ` e separabile.

2. Sia X uno spazio topologico. Dati x, y ∈ X, si ponga

x ∼ y se esiste un omeomorfismo ϕ : X → X tale che ϕ(x) = y.

(a) Verificare che ∼ ` e una relazione di equivalenza su X.

Lo spazio X si dice omogeneo se x ∼ y per ogni scelta dei punti x, y ∈ X.

(b) Provare che R ⁿ con topologia euclidea ` e omogeneo per ogni n ≥ 1.

(c) Provare che ogni spazio discreto (rispettivamente, banale) ` e omogeneo.

(d) Mostrare che se X e Y sono omogenei allora X × Y ` e omogeneo.

(e) Mostrare che se X ` e omogeneo e Y ` e omeomorfo a X allora Y ` e omogeneo.

(f) Provare che ₁

n | n ≥ 1 ∪ {0} con topologia euclidea non `e omogeneo.

(Gira il foglio)

(2)

3. Sia n ≥ 2 un intero e sia M _n (R) lo spazio vettoriale su R delle matrici n × n a coefficienti reali. Si identifichi M _n (R) con R ⁿ

²

associando alla matrice (a _ij ) _1≤i,j≤n ∈ M _n (R) il vettore (a 11 , . . . , a _1n , a ₂₁ , . . . , a _2n , . . . , a _n1 , . . . , a _nn ) ∈ R ⁿ

²

e si doti M _n (R) della relativa topologia euclidea. Sia poi GL _n (R) il sottoinsieme di M n (R) costituito dalle matrici invertibili.

(a) Stabilire se GL _n (R) `e aperto (rispettivamente, chiuso) in M n (R).

(b) Lo spazio topologico GL _n (R) `e connesso?

(c) Lo spazio topologico GL _n (R) `e compatto?

Sia infine O _n (R) := A ∈ M _n (R) | AA ^t = I _n il sottoinsieme delle matrici ortogonali, dove I n ` e la matrice identica di taglia n e A ^t indica la trasposta di A.

(d) Stabilire se O _n (R) `e aperto (rispettivamente, chiuso) in M n (R).

(e) Lo spazio topologico O _n (R) `e compatto?

Risolvere esercizi distinti su protocolli distinti.

Esame di Geometria 1

Esame di Geometria 1

Anno Accademico 2012/2013

9 Luglio 2013

Svolgere i seguenti esercizi giustificando le risposte.

1. Sia X l’intervallo (0, 1) e si consideri la famiglia

τ :=

 

0, 1 − 1 n

 n ≥ 2

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∪ ∅, X

di sottoinsiemi di X.

(a) Verificare che τ ` e una topologia su X.

(b) Lo spazio topologico (X, τ ) ` e T 0 ? ` E T 1 ? ` E T 2 ?

(c) Lo spazio topologico (X, τ ) ` e connesso per archi? ` E localmente connesso per archi?

(d) Dimostrare che ogni aperto di (X, τ ) diverso da X ` e compatto.

(e) Dimostrare che ogni chiuso non vuoto di (X, τ ) non ` e compatto.

(f) Stabilire se (X, τ ) ` e separabile.

2. Sia X uno spazio topologico. Dati x, y ∈ X, si ponga

x ∼ y se esiste un omeomorfismo ϕ : X → X tale che ϕ(x) = y.

(a) Verificare che ∼ ` e una relazione di equivalenza su X.

Lo spazio X si dice omogeneo se x ∼ y per ogni scelta dei punti x, y ∈ X.

(b) Provare che R n con topologia euclidea ` e omogeneo per ogni n ≥ 1.

(c) Provare che ogni spazio discreto (rispettivamente, banale) ` e omogeneo.

(d) Mostrare che se X e Y sono omogenei allora X × Y ` e omogeneo.

(e) Mostrare che se X ` e omogeneo e Y ` e omeomorfo a X allora Y ` e omogeneo.

(f) Provare che  1

n | n ≥ 1 ∪ {0} con topologia euclidea non `e omogeneo.

(Gira il foglio)

3. Sia n ≥ 2 un intero e sia M n (R) lo spazio vettoriale su R delle matrici n × n a coefficienti reali. Si identifichi M n (R) con R n

associando alla matrice (a ij ) 1≤i,j≤n ∈ M n (R) il vettore (a 11 , . . . , a 1n , a 21 , . . . , a 2n , . . . , a n1 , . . . , a nn ) ∈ R n

e si doti M n (R) della relativa topologia euclidea. Sia poi GL n (R) il sottoinsieme di M n (R) costituito dalle matrici invertibili.

(a) Stabilire se GL n (R) `e aperto (rispettivamente, chiuso) in M n (R).

(b) Lo spazio topologico GL n (R) `e connesso?

(c) Lo spazio topologico GL n (R) `e compatto?

Sia infine O n (R) := A ∈ M n (R) | AA t = I n il sottoinsieme delle matrici ortogonali, dove I n ` e la matrice identica di taglia n e A t indica la trasposta di A.

(d) Stabilire se O n (R) `e aperto (rispettivamente, chiuso) in M n (R).

(e) Lo spazio topologico O n (R) `e compatto?

Risolvere esercizi distinti su protocolli distinti.

n ≥ 2

∪ ∅, X

(b) Lo spazio topologico (X, τ ) ` e T ₀ ? ` E T ₁ ? ` E T ₂ ?

(b) Provare che R ⁿ con topologia euclidea ` e omogeneo per ogni n ≥ 1.

(f) Provare che ₁

3. Sia n ≥ 2 un intero e sia M _n (R) lo spazio vettoriale su R delle matrici n × n a coefficienti reali. Si identifichi M _n (R) con R ⁿ

associando alla matrice (a _ij ) _1≤i,j≤n ∈ M _n (R) il vettore (a 11 , . . . , a _1n , a ₂₁ , . . . , a _2n , . . . , a _n1 , . . . , a _nn ) ∈ R ⁿ

e si doti M _n (R) della relativa topologia euclidea. Sia poi GL _n (R) il sottoinsieme di M n (R) costituito dalle matrici invertibili.

(a) Stabilire se GL _n (R) `e aperto (rispettivamente, chiuso) in M n (R).

(b) Lo spazio topologico GL _n (R) `e connesso?

(c) Lo spazio topologico GL _n (R) `e compatto?

Sia infine O _n (R) := A ∈ M _n (R) | AA ^t = I _n il sottoinsieme delle matrici ortogonali, dove I n ` e la matrice identica di taglia n e A ^t indica la trasposta di A.

(d) Stabilire se O _n (R) `e aperto (rispettivamente, chiuso) in M n (R).

(e) Lo spazio topologico O _n (R) `e compatto?