Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 28 Aprile 2017 — Traccia I
COGNOME NOME
1 In R4 si considerino i sottospazi vettoriali S =< (1, 0, 1, 1), (2, 1, 0, 1) > e T ={(x, y, z, t)|x − y = 0}.
(a) Si determinino la dimensione e una base B di S∩ T .
(b) Si completi la base trovata B fino ad ottenere una base di R4. 2 Si discuta al variare del parametro reale h il seguente sistema lineare:
hx + y + z=0 2x + y + hz=0 x + y + z=h
3 Siano S =
1 0 0 0 1 −1
0 2 0
una matrice ad elementi reali e f : R3 7→ R3,1 l’applicazione cos´ı definita
f (x, y, z) = S
x y z
(a) Si verifichi che f `e lineare e si determinino la dimensione e una base per Kerf e Immf . (b) Si determinino gli autospazi di S e si stabilisca se S `e diagonalizzabile.
4 Nello spazio euclideo, fissato un riferimento cartesiano, si considerino i punti P (1, 0, 1), Q(2, 1, 0), R(1, 1,−2).
(a) Si determinino le equazioni cartesiane e parametriche della retta r passante per i punti P e Q.
(b) Si determini l’equazione cartesiana del piano α passante per il punto R e ortogonale alla retta r.
(c) Si calcoli la distanza di Q dal punto di intersezione di r e α.
5 Si scriva la definizione di somma di due sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale V e si dimostri che la somma di due sottospazi vettoriali di V `e a sua volta un sottospazio vettoriale di V .
6 Si discutano le possibili posizioni reciproche di due rette nello spazio euclideo tridimensionale. Si scriva la definizione di rette perpendicolari e si stabilisca una condizione algebrica di perpendicolarit`a.
Traccia I — 1
