06 - Derivate, differenziabilit`a, piano tangente, derivate di or- dine superiore

Appunti sul corso di Complementi di Matematica mod. Analisi prof. B.Bacchelli - a.a. 2010/2011.

06 - Derivate, differenziabilit`a, piano tangente, derivate di or- dine superiore.

Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.3, 3.5, 3.6, 3.7.

- Esercizi 3.3, 3.2.

Derivate direzionali, derivate parziali, vettore gradiente, derivabilit`a non implica continuit`a. Differenziabilit`a, approssimazione lineare, piano tan- gente, differenziale. Condizioni necessarie di differenziabilit`a. Condizione sufficiente di differenziabilit`a. Derivate di ordine superiore, condizione suffi- ciente per l’uguaglianza delle derivate parziali miste (teorema di Schwarz).

Derivata direzionale Dato un campo scalare f : S ⊂ Rⁿ→ R siano a un punto interno a S e v un arbitrario versore di Rⁿ. La derivata direzionale di f in a rispetto alla direzione v si indica con D_vf (a) ed `e definita dal limite seguente se esiste finito:

D_vf (a) = lim

h→0

f (a + hv) − f (a) h

N.B. Osserviamo che Dvf (a) `e la derivata della funzione g(t) = f (a+tv) della variabile reale t, nel punto t = 0, che `e la restrizione della funzione f alla retta passante per il punto a e di direzione v.

Caso n=2. Sia a = (a, b) e v = (v1, v2), allora la retta per il punto (a, b) nella direzione (v₁, v₂) ha equazioni parametriche

½ x = a + tv₁

y = b + tv₂ , t ∈ R , e la derivata nella direzione v = (v₁, v₂) `e il numero reale dato dal seguente limite, se esiste finito:

D_(v1,v2)f (a, b) = lim

h→0

f (a + hv₁, b + hv₂) − f (a, b) h

Derivate parziali. Se v = ek (versore unitario avente la k-esima com- ponente uguale a 1), la derivata direzionale viene detta derivata parziale (rispetto alla direzione e_k), e viene indicata con a

ax_kf (a) o con D_kf (a).oppure, nel caso di funzioni di due variabili f (x, y) con fx, fy .

Una funzione di n variabili ha n derivate parziali del primo ordine, una rispetto a ciascuna delle sue variabili indipendenti:

D_kf (a) = lim

h→0

f (a + hek) − f (a) h

Vettore gradiente Il vettore gradiente ∇f (a) `e il vettore le cui compo- nenti sono le derivate parziali di f in a

∇f (a) = (D1f (a), D2f (a), ..., Dnf (a))

Nella pratica, la derivazione parziale rispetto a una direzione e_k si ottiene derivando la funzione data rispetto alla k-esima variabile indipendente (come se f fosse funzione della sola variabile k-esima), considerando le altre come costanti.

Caso n=2. In R²si hanno le due derivate parziali che sono anche indicate con f_x, f_y, oppure con D₁f , D₂f :

a

axf (x, y) = lim

h→0

f (x + h, y) − f (x, y) h

a

ayf (x, y) = lim

h→0

f (x, y + h) − f (x, y) h

Es. f (x, y) = x^y ⇒ f_x(x, y) = yx^y−1, f_y(x, y) = x^ylog x.

N.B. L’esistenza delle derivate parziali non implica la continuit`a.

Esempio 1. Definiamo f (x, 0) = f (0, x) = 10, f (x, y) = 0 se xy 6= 0.

Allora f_x(0, 0) = f_y(0, 0) = 0, ma la funzione non `e continua (perch`e?).

N.B. L’esistenza di tutte le derivate direzionali non implica la continuit`a.

Esempio 2.

f (x, y) =

½ 10, x² < y < 3x²

0 altro

¾

Allora per h piccolo, lungo ogni retta di equazioni parametriche x = hv₁, y = hv₂, h ∈ R, la funzione `e costante e vale 0, quindi D_vf (0, 0) = lim_h→0 f (hv1, hv2) − f (0, 0)

h = lim_h→0 0 − 0

h = 0. Tuttavia f non `e continua in (0, 0): infatti lungo la curva y = x², che passa per (0, 0) :

x→0limf (x, x²) = 10 6= f (0, 0).

Esempio 3.

f (x, y) =



 xy²

x²+ y⁴, se (x, y) 6= (0, 0) 0, se (x, y) = (0, 0)

Per ogni direzione v = (v₁, v₂), esiste la derivata direzionale:

D_vf (0, 0) = lim_h→0 f (hv₁, hv₂) − f (0, 0)

h = lim_h→0 h³v₁v₂²

h³(v₁²+ h²v₂⁴) = v₂² v₁ , se v₁ 6= 0,

e se v = (0, 1) , a

ayf (0, 0) = 0. Tuttavia f non `e continua in (0, 0). Infatti limy0→f (y², y) = 1

2 6= f (0, 0)

La continuit`a `e garantita dalla differenziabilit`a, che `e una condizione pi`u forte della sola esistenza delle derivate direzionali.

Differenziabilit`a. Diciamo che f `e differenziabile in un punto interno al dominio di f, a = (a₁, a₂, ..., a_n) se

i) esiste il vettore gradiente ∇f (a) (cio`e esistono tutte le derivate parziali di f in a)

ii) vale la formula di Taylor del primo ordine per |x − a| < r :

f (x) = f (a) + ∇f (a) · (x − a) +o( |x − a|), per x → a (1) Nella formula (1), ∇f (a) · (x − a) indica il prodotto scalare tra i due vettori ∇f (a) e (x − a), mentre ricordiamo che o( |x − a|),per x → a (”o piccolo della norma di (x-a)”) significa che

x→alim

o( |x − a|)

|x − a| = lim

x→a

f (x) − f (a) − ∇f (a) · (x − a)

|x − a| = 0

In altre parole, f `e differenziabile in a se l’errore f (x) − [f (a) + ∇f (a) · (x − a)]

`e un infinitesimo di ordine superiore al primo rispetto alla norma di x − a , per x che tende ad a.

Def: La trasformazione lineare df_a(y) := ∇f (a)y : Rⁿ→ R

dfa : y → ∇f (a) • y = Xn

i=1

Dif (a) yi,

`e chiamata differenziale primo di f in a = (a₁, a₂, ..., a_n), relativo all’incremento y = (y1, y2, ...yn).

Il differenziale primo in a (cio`e fissato a) si esprime come prodotto scalare,

`e rappresentato dal gradiente ∇f (a), ed `e una funzione lineare dell’incremento y.

Riscriviamo la formula di Taylor evidenziando la differenza f (x) − f (a) e usando la notazione del differenziale. Si ha:

f (x) − f (a) = df_a(x − a) + o( |x − a|), per x → a.

cio`e se f `e differenziabile il differenziale df_a(x − a) = ∇f (a) · (x − a) fornisce una approssimazione lineare della differenza f (x)−f (a), cio`e dell’incremento della funzione, per x → a, poich`e l’errore (cio`e o(x − a)) tende a zero pi`u rapidamente di |x − a| , per x → a.

Caso n=2. Riscriviamo la formula di Taylor (1) per funzioni di due variabili.

Sia a = (x0, y0), x − a = (h, k). Allora la formula di Taylor del primo ordine con centro in (x₀, y₀) e incremento (h, k) diventa:

f (x₀+ h, y₀ + k) = f (x₀, y₀) + f_x(x₀, y₀)h + f_y(x₀, y₀)k + o(√

h²+ k²), per (h, k) → (0, 0)

Equazione del piano tangente. Se f `e differenziabile in (x₀, y₀), il piano di equazione

z=f(x₀,y₀)+f_x(x₀,y₀)(x-x₀)+f_y(x₀,y₀)(y-y₀)

`e l’equazione del piano tangente alla superficie z = f (x, y) nel suo punto P = (x₀, y₀, f (x₀, y₀)).

Esso `e la linearizzazione della funzione in un intorno del punto (x₀, y₀).

Si noti che tale piano ha vettore normale n dato dal prodotto vettoriale dei due vettori u, v individuati dalle derivate parziali, tangenti alla superficie e dati da:

u = (0, 1, f_y), v = (0, 1, f_x)

quindi, n = u × v =

¯¯

¯¯

¯¯

i j k 0 1 f_y 1 0 fx

¯¯

¯¯

¯¯= f_x i+f_y j − k

Esempio. Utilizzare la nozione di differenziabilit`a per trovare un valore approssimato della funzione f (x, y) = arctan(y

x) nel punto x = (3.1, 2.9).

Il punto x si pu`o scrivere come x = (3, 3) + (0.1, −0.1). Detti x₀ = (3, 3) e x − x₀ = (0.1, −0.1) si ha

f (x) w f (x₀) + ∇f (x₀) • (x − x₀) Ora, f (3, 3) = arctan(1) = π/4, ∇f (3, 3) = (−1

6,1

6), quindi ∇f (x₀) • (x − x₀)= − 1 30, e

f (x) w π 4 − 1

30 w (3.14).15 − 2

60 w 0.75

Teorema. Condizioni necessarie affinch`e f sia differenziabile in a.

c.n.1) Se f `e differenziabile in a allora f `e continua in a.

c.n.2) Se f `e differenziabile in a allora f `e derivabile in ogni direzione v con derivata direzionale deta dalla formula:

Dvf (a) = ∇f (a) · v = Xn k=1

Dkf (a)vk (2)

Dim. c.n.1: Per le propriet`a del prodotto scalare

|∇f (a) · y| ≤ |∇f (a)| |y| → 0, se |y| → 0.

Allora, poich`e f `e differenziabile in a, per |y| < r vale la formula di Taylor, e prendendo i valori assoluti,

|f (a + y) − f (a)| = |∇f (a) · y+o(|y|)| ≤ |∇f (a) · y| + |o(|y|)| (disug. triangolare)

≤ |∇f (a)| |y| + |o(|y|)| → 0, per |y| → 0 (disug. Cauchy-Shwarz) cio`e f `e continua in a.

c.n.2: Poich`e f `e differenziabile in a, per |h| → 0 f (a + hv) − f (a) = ∇f (a) · (hv) + o(|hv|)

= h∇f (a) · v+o(|h|) (perch`e |hv| = |h| |v| e |v| = 1) dove o(|h|)

h → 0 per h → 0; quindi D_vf (a) = lim

h→0

f (a + hv) − f (a) h

= lim

h→0

h∇f (a) · v+o(|h|)

h = ∇f (a) · v+ lim

h→0

o(|h|) h

= ∇f (a) · v = Xn

k=1

D_kf (a)v_k

Oss. La propriet`a c.n.2 pu`o essere letta dicendo che se f `e differenzi- abile in a, la derivata direzionale D<sub>v</sub>f (a) `e una combinazione lineare delle componenti di v, i cui coefficienti sono le derivate parziali di f nel punto a.

Caso n=2 Per funzioni di due variabili, detti a = (a, b) e v = (v₁, v₂), la (2) si scrive come segue

D_(v1,v2)f (a, b) =f_x(a, b)v₁+ f_y(a, b)v₂ N.B. Dalla propriet`a del prodotto scalare si ha

D_vf (a) = |∇f (a)| . |v| cos θ

questo mostra che la derivata direzionale `e la componente del vettore gradi- ente lungo la direzione v, ed `e massima quando cos θ = 1, cio`e la direzione di ∇f (a).`e la direzione di massima pendenza.

Teorema. Condizione sufficiente di differenziabilit`a.

Se le derivate parziali esistono in un intorno di a e sono continue in a, allora f `e differenziabile in a.

Dim. Vogliamo dimostrare che

f (a + y) − f (a) − ∇f (a) · y

|y| → 0 quando |y| → 0.

Lo dimostriamo nel caso n=2. Sia a = (a, b), y = (h, k). Allora |y| =

√h²+ k².

Per il teorema di Lagrange (per funzioni di una variabile) esistono t ∈ (0, 1) e r ∈ (0, 1) tali che:

f (a + h, b + k) − f (a, b + k) = f_x(a + th, b)h = f_x(P(t))h f (a, b + k) − f (a, b) = f_y(a, b + rk)k = f_y(Q(r))k

Quindi aggiungendo e togliendo f (a, b + k) al numeratore , dividendo la somma in due addendi e raccogliendo h/ |y| o k/ |y|:

¯¯

¯¯f (a + h, b + k) − f (a, b)−∇f (a) · y

|y|

¯¯

¯¯

=

¯¯

¯¯[f^x(a + th, b) − f_x(a, b)] h

|y|+ [f_y(a, b + rk) − f_y(a, b)] k

|y|

¯¯

¯¯

≤ |f_x(a + th, b) − f_x(a, b)| + |f_y(a, b + rk) − f_y(a, b)|

dove abbiamo applicato la disuguaglianza triangolare e il fatto che |h/ |y|| ≤ 1, |k/ |y|| ≤ 1.

Quando |y| = √

h²+ k² → 0, allora t → 0 e r → 0 e i punti (a + th, b) e (a, b + rk) tendono al punto (a, b). Quindi, quando |y| → 0 allora ciascun termine dell’ultima somma va a zero per l’ipotesi di continuit`a delle derivate parziali.

Def. Una funzione che soddisfa le ipotesi del teorema precedente si dice differenziabile con continuit`a in a.

N.B. La condizione sopra detta non `e necessaria per la differenzia- bilit`a.

Esempio in cui f `e differenziabile ma non con continuit`a.

f (x, y) = (

x²sin1

x, x 6= 0 0, x = 0

f_x(x, y) =









2x sin 1

x− cos 1

x, x 6= 0 limh→0

h²sin1 h

h = 0, x = 0 ,

f_y(x, y) = 0 (f `e costante se x `e fissato) quindi ∇f (0, 0) = (0, 0), e

(x,y)→(0,0)lim

f (x, y) − f (0, 0) − f_x(0, 0)x − f_y(0, 0)y px²+ y²

= lim

(x,y)→(0,0)

f (x, y) px²+ y² =





lim(x,y)→(0,0)

x²

px²+ y² sin1

x = 0, x 6= 0

0, x = 0

Quindi f `e differenziabile in (0, 0). Tuttavia la derivata parziale rispetto a x non `e continua: infatti

(x,y)→(0,0)lim 2x sin 1

x − cos 1

x non esiste.

Derivate di ordine superiore.

Ciascuna derivata parziale `e a sua volta una funzione di pi`u variabili. Le derivate parziali del secondo ordine e d’ordine pi`u elevato sono le derivate

parziali delle derivate parziali precedentemente calcolate. L’ordine in cui si effettuano le derivazioni `e indicato dalla notazione.

Per funzioni di due variabili f (x, y) si possono calcolare quattro derivate parziali del secondo ordine:

derivate parziali seconde pure D₁₁² f = D₁(D₁f ) = a²f

ax², D₂₂² f = D₂(D₂f ) = a²f ay², derivate parziali seconde miste

D₁₂² f = D₁(D₂f ) = a²f

axay, D₂₁² f = D₂(D₁f ) = a²f ayax.

In generale le derivate miste non sono uguali.

Esempio in cui le derivate parziali seconde miste sono diverse tra loro.

Sia f (x, y) =





xyx²− y²

x²+ y², se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)

. Allora

af ax =





yx⁴+ 4x²y²− y⁴

(x²+ y²)² , se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

,

ponendo x = 0 si ha af

ax(0, y) = −y , da cui a²f

ayax(0, 0) = −1;

af ay =





xx⁴− 4x²y²− y⁴

(x²+ y²)² , se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

,

ponendo y = 0 si ha af

ay(x, 0) = x , da cui a²f

axay(0, 0) = 1.

Teorema (di Schwarz). Una condizione sufficiente per l’uguaglianza delle derivate parziali miste.

Supponiamo che due derivate parziali miste di ordine n di una funzione f coinvolgano le derivate rispetto alle stesse variabili ma in un ordine diverso.

Se esiste un intorno di P in cui :

i) esistono le derivate parziali miste di ordine n e sono continue in P, ii) f e tutte le derivate parziali di ordine inferiore a n sono continue, allora le due derivate parziali miste sono uguali in P.

Dim. La dimostrazione si omette (vedi testo, Teorema 1, paragrafo 3.4).

N.B. Per una funzione di due variabili una derivata parziale di ordine com- plessivo m `e indicata con

D_j,m−j^m f = D^j₁D^m−j₂ f = a^mf ax^jay^m−j

e significa che si deriva parzialmente j volte rispetto alla prima variabile e m − j volte rispetto alla seconda variabile.

Il teorema di Schwarz afferma che se tutte le derivate parziali fino all’ordine m sono continue in un dominio aperto, al cambiare dell’ordine di esecuzione delle derivazioni si ottiene il medesimo risultato. Il numero di tali derivate parziali uguali tra loro `e dato dal coefficiente binomiale

C_mj = µm

j

¶

= m!

j!(m − j)!

Definizione. Funzioni k volte differenziabili

La f si dice due volte differenziabile in x se f `e differenziabile in un intorno di x e se le derivate parziali f_x e f_y sono differenziabili in x.

Analogamente f si dice k volte differenziabile in x se f `e differenziabile in un intorno di x e se le derivate parziali di ordine k − 1 sono differenziabili in x. Se le derivate parziali di ordine k esistono e sono continue in un aperto A, f si dice di classe C^k e si scrive

f ∈ C^k(A).

Se f ∈ C^k(A) per ogni k ∈ N, f si dice di classe C^∞ e si usa la notazione f ∈ C^∞(A).

NOTA. Per la condizione sufficiente di differenziabilit`a, se f ∈ C<sup>k</sup>(A) allora f `e k volte differenziabile in A. Inoltre per il teorema di Schwarz, per ogni ordine di derivazione n ≤ k, le derivate miste di ordine n sono uguali tra loro.

Definizione. La matrice Hessiana `e la matrice definita dalle derivate parziali seconde,

Hf (x, y) =

µ fxx(x, y) fxy(x, y) f_yx(x, y) f_yy(x, y)

¶

=

µ ∇fx(x, y)

∇f_y(x, y)

¶ .

NOTA. Se f ∈ C²(A), la matrice hessiana `e simmetrica In particolare, sia a = (a, b) e h = (h, k) un vettore colonna. La forma

h^THf (a)h = f_xx(a, b)h²+ 2f_xy(a, b)hk + f_yy(a, b)k²

`e una forma quadratica in R² con coefficienti f_xx(a, b), 2f_xy(a, b), f_yy(a, b).

Esercizi

* Data f (x, y) = x²sin(3xy) , calcolare le derivate parziali e la derivata nella direzione del vettore n = (2, −1) nel punto (1, π

4) f_x = 2x sin(3xy) + 3yx²cos(3xy) , f_y = 3x³cos(3xy) f_x(1,π

4) = 2 sin(3π

4 ) + 3π

4 cos(3π 4 ) = √

2 −3√ 2π

8 , f_y(1,π

4) = −3√ 2 2

⇒ ∇f (1,π

4) = (√

2 −3√ 2π 8 , −3√

2 2 ) Il versore parallelo a n `e v = n

|n| = ( 2

√5, − 1

√5)

e D_v(1,π

4) = ∇f (1,π

4) · v = 2

√5(√

2 − 3√ 2π 8 ) + 1

√5 3√

2 2

* Data f (x, y) = e^y/x + xy + 2 , scrivere l’equazione del piano tangente in (1, 0, f (1, 0)) e calcolare la derivata nelle direzioni parallele alla retta di equazione y = 3(x − 1) nel punto (1,0)

f (1, 0) = 3, fx = e^y/x(−y

x²) + y , fy = e^y/x1

x+ x ⇒ ∇f (1, 0) = (0, 2) l’equazione del piano tangente `e quindi z = 3 + 2y.

I versori nella direzione della retta y = 3x − 3 sono v1 = ( 1

√10, 3

√10) e v₂ = −v₁ , quindi

D_v1(1, 0) = ∇f (1, 0) · v₁ = 6

√10, D_v2(1, 0) = − 6

√10

* Data f (x, y) = (x²− 1)^y2+1 , scrivere l’equazione del piano tangente in (2,-1,f(2,-1)), e calcolare la derivata direzionale lungo il versore v =(

√2 2 ,

√2 2 ) f (2, −1) = 9,

fx = (y²+ 1) (x²− 1)^y22x ⇒ fx(2, −1) = 24

f_y = (x²− 1)^y2+12y log(x²− 1) ⇒ f_y(2, −1) = −18 log 3

l’equazione del piano tangente `e quindi z = 9 + 24(x − 2) − 18 log 3(y + 1);

la derivata richiesta `e Dvf (2, −1) = (24, −18 log 3)·(

√2 2 ,

√2 2 ) =√

2(12−

9 log 3)

Esercizi utili per capire i concetti

* Sia f (x, y) =

½ 1, se x = y, con (y, x) 6= (0, 0) 0, altro

verificare che f ha vettore gradiente in (0, 0) ma f non `e continua in (0, 0).

∗ Sia f (x, y) = f (x, y) =





x²y²

3x²+ y², (x, y) 6= (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0) 1) f `e continua in (0,0)?

2) Stabilire se esistono le derivate parziali in (0,0) 3) f `e differenziabile in (0,0)?

1) |f (x, y)| ≤ x² →(x,y)→(0,0) 0 = f (0, 0)

⇒ f `e continua 2) ∇f (0, 0) = (0, 0)

3) lim(x,y)→(0,0)

f (x, y) − f (0, 0)−f_x(0, 0)x − f_y(0, 0)y

px²+ y² =

= lim(x,y)→(0,0)

x²y²

px²+ y²(3x²+ y²) 0 ≤ x²y²

px²+ y²(3x²+ y²) ≤ x²

px²+ y² ≤ |x| →(x,y)→(0,0)0

⇒ f `e differenziabile in (0,0).

* Sia f (x, y) =





x³− y³

x²+ y², (x, y) 6= (0, 0)

0, (0, 0)

1) f `e continua in (0,0)?

2) Stabilire se esiste la derivata direzionale D_vf (0, 0) lungo un generico versore v = (v₁, v₂)

3) f `e differenziabile in (0,0)?

1) |f (x, y)| ≤

¯¯

¯¯ x³ x²+ y²

¯¯

¯¯ +

¯¯

¯¯ y³ x²+ y²

¯¯

¯¯ ≤ |x| + |y| →(x,y)→(0,0)0 = f (0, 0)

⇒ f `e continua

2) D_vf (0, 0) = lim_h→0 f (hv₁, hv₂) − f (0, 0)

h = v₁³− v₂³

⇒ D_vf (0, 0) esiste per ogni v.

3) Poich`e D<sub>v</sub>f (0, 0) non `e una espressione lineare delle componenti di v, allora f non `e differenziabile in (0,0).

∗ Sia f (x, y) = f (x, y) =





x³y²

(x − y)², (x, y) 6= (x, x)

0, x = y

1) f `e continua in (0,0)?

2) Stabilire se esistono le derivate parziali in (0,0) 3) f `e differenziabile in (0,0)?

1) f (x, x + x³) = x⁵+ x⁶

x⁶ ∼_x→0 x⁵ x⁶ = 1

x → ∞

⇒ f non `e continua.

.

2) f (x, 0) = f (0, y) = 0 ⇒ esiste ∇f (0, 0) = (0, 0).

3) Poich`e f non `e continua in (0,0), f non `e differenziabile in (0,0).