Progressioni geometriche
Cominciamo con due esempi:
Esempio 1 Consideriamo la successione di numeri:
3, 6, 12, 24, 48, 96
La successione è tale che si passa da un termine al successivo moltiplicando il precedente per 2. Si dice anche che la successione precedente è una progressione geometrica. ‘3’ è il primo termine della progressione, ‘96’ è l’ultimo termine e ‘2’ (il numero che moltiplica un termine per avere il successivo) si chiama ragione della progressione.
Inoltre, visto che i termini aumentano sempre, la progressione considerata è crescente.
Esempio 2 Consideriamo la successione di numeri:
36, 24, 12, 6
La successione è tale che si passa da un termine al successivo moltiplicando il precedente per ½. La successione precedente è una progressione geometrica di ragione ½. I termini della successione diminuiscono sempre e la progressione considerata è decrescente.
Possiamo generalizzare quanto visto negli esempi con la seguente definizione:
Una progressione geometrica é una successione di numeri reali tali che il rapporto tra due termini consecutivi della successione è costante.
Questa costante si chiama ragione della progressione stessa: se la ragione è positiva e maggiore di 1, la successione è crescente; se la ragione è compresa tra zero e 1 (1 escluso), la succesione è decrescente;
se la ragione è uguale a 1 la successione é costante (tutti i suoi termini sono uguali); se la ragione é negativa la successione é oscillante (i suoi termini sono alternativamente positivi e negativi).
Simbolicamente, indicando con an il termine n-simo della successione e con q la sua ragione, possiamo scrivere:
a2 = a1q
a3 = a2q = a1qq = a1q2 a4 = a3q = a1q2q = a1q3 ...
an = an-1q = a1qn-2q = a1qn-1
× 2
×
½
× 2 × 2 × 2 × 2
×
½
×
½
a
n= a q
1 n−1 (1)fornisce una relazione generale per calcolare il termine di posto n (an) di una progressione geometrica di cui si conosce il primo ternine (a1) e la ragione (q).
Esempio 3 Calcolare il quinto termine di una progressione geometrica per cui il primo termine vale 2 e la ragione vale ¾.
Applicando la formula precedente, abbiamo subito:
a5 a q1 4
4
2 3
4 2 81
256 81
= = × 128
= × = .
Esempio 4 Calcoliamo l’interesse composto di un capitale C0 depositato in banca per n anni con un interesse percentuale annuo uguale a i.
Alla fine di ogni anno abbiamo la seguente situazione:
Anno Capitale
1 C0+ i C0 = C0(1+i) = C1
2 C1+ i C1 = C0(1+i)+i C0(1+i) = C0(1+i)(1+i) = C0(1+i)2 = C2 3 C2+ i C2 = C0(1+i)2+i C0(1+i)2 = C0(1+i)2(1+i) = C0(1+i)3 = C3 ... ...
n C0(1+i)n = Cn
Possiamo allora notare che
• la successione:
C0, C1, C2, C3,..., Cn
é una progressione geometrica il cui primo termine é C0 e la cui ragione é 1+ i;
• il capitale Cn alla fine dell’n-simo anno di deposito é dato da
( )
Cn =C0 1+i n
Allora se C0 = 1 ML (un milione di lire) e i = 7%, dopo 10 anni il capitale sarà uguale a:
C10
10 10
1 1 7
100
107
100 1967
= × +
=
≈
ML . ML,
cioé quasi raddoppiato (ma certamente svalutato!).
La relazione (1) puó essere utilizzata per calcolare uno qualunque degli elementi presenti a partire dagli altri. Cosí possiamo scrivere anche le relazioni:
a a q
n
1 = n−1 (2)
q a
a
n n
= − 1
1 (3)
n a
q a
= n
+ log
1
1 (4)
Esempio 5 Calcolare la ragione di una progressione geometrica di cui si conosce il primo termine uguale a 4 ed il quinto termine uguale a 128.
Applicando la formula (3) precedente, abbiamo subito:
q = 128 = =
4 32 2 2
4 4 4
.
Esempio 6 Di una progressione geometrica si sa che il primo termine vale 8/27, che il suo termine n-simo vale 72 e che la ragione vale 1/3. Calcolare n.
Applicando la formula (4) precedente, abbiamo subito:
( )
n =
+ = + =
+ = + =
−
log1 log log
3
1 3
1 3
72 5
8 27
1 243 1 1
3 1 5 1 6 .
Esempio 7 Di una progressione geometrica si sa che a3 = 1 e a8 = 17. Calcolare:
1) la ragione q;
2) il primo termine a1.
Applicando la formula (1) precedente due volte, abbiamo:
( )
=
=
⇒
=
=
⇒
=
=
⇒
=
=
5 2 1
5
2 3 1
5
2 3 1
5
3 8
7 1 8
2 1 3
17 1 17 1
17 a q
q a a q
q a a
a q a
q a a
q a
a .
Esempio 8 Dati due numeri, 4 e 25, determinare altri due numeri (compresi tra i due dati), in modo da ottenere quattro numeri in progressione geometrica.
Per risolvere il problema, basta tener conto del fatto che, dei sei numeri in
progressione geometrica, a1 = 4 e a4 = 24 e n = 4. Applichiamo allora la formula (3) precedente ed abbiamo:
q = 24 =
4 6
3 3
.
I due numeri richiesti sono allora:
a2 =4 63 , a3 =4
( )
3 6 2 =4 363 .Calcoliamo la somma Sn dei primi n termini di una progressione geometrica. Possiamo scrivere:
1 1 2
1 1 1
+ −
+ + +
= n
n a aq aq aq
S K
n n
n aq aq aq aq aq
qS = 1 + 1 2+ 1 3+K+ 1 −1+ 1 e, sottraendo membro a membro:
Sn −qSn =a1−a q1 n ⇒ Sn(1−q)=a1(1−qn) ⇒ infine,
S
nn
a q
= − q
−
1
1
1
(5)Esempio 9 Calcolare la somma dei primi 10 termini di una progressione geometrica sapendo che a1 =3 e q = ½).
Applicando la formula (5) precedente, abbiamo subito:
S10
10
3
1 1
2 1 1
2 3
1 1
1024 1 2
61023 1024
3069
= 512
−
−
=
−
= = .
Consideriamo le potenze successive di due numeri minori di 1, ad esempio 1/10 e 1/2:
1
10 0 1 1
2 0 5
1
10 0 01 1
2 0 25
1
10 0 001 1
2 012 5
1
10 0 0001 1
2 0 0625
1 1
2 2
3 3
4 4
=
=
=
=
=
=
=
=
. .
. .
. .
. .
Possiamo notare che man mano che l’esponente aumenta, il valore della potenza diventa sempre più piccolo; al limite, quando l’esponente diventa grandissimo, la potenza diventa piccolissima. In termini matematici più precisi, scriviamo:
q q
n
< ⇒ n =
1 lim→∞ 0
(da leggere: se il valore assoluto di q é minore di 1, allora il limite per n che tende all’infinito di qn é uguale a zero).1
La considerazione precedente é importante per calcolare la somma di infiniti termini di una successione geometrica la cui ragione (in valore assoluto) é minore di 1. Abbiamo subito:
q S a q
q a
q
n n
n
n
< ⇒ = −
− =
−
→∞ →∞
1 1
1 1
1
lim lim 1 . (6)
La (6) é, tra l’altro, utile per calcolare la frazione generatrice di un numero decimale periodico come negli esempi che seguono.
Esempio 10
Calcolare la frazione generatrice del numero 7 3.
_
. Abbiamo:
7 3 7 0 3 0 03 0 003 7 3
10 3 100
3 1000
7 3
10 1 1 10
1 100
. . . . ... ...
...
_ = + + + + = + + + + =
= + + + +
L’espressione in parentesi può essere considerata come la somma degli infiniti termini di una progressione geometrica con primo termine uguale a 1 e con ragione uguale a 1/10. Essendo la ragione minore di 1,
possiamo applicare la formula (6) precedente ed abbiamo:
1 Queste considerazioni sul limite di una successione sono molto intuitive. Lo studente avrà occasione di studiare, in termini
7 3 7 3 10
1
1 1
10
7 3
10 10
9 7 1
3 22 . 3
_ = +
−
= + = + = .
Esempio 11 Calcolare la frazione generatrice del numero 1 231. . Abbiamo:
1 231 1 2 10
31 1000
31 100000
31 10000000 12
10 31
1000 1 1 100
1 10000
12 10
31 1000
1
1 1
100 12
10 31 1000
100 99
12 10
31 990
12 99 31 990
1219 990
1231 12 990
. ...
...
= + + + + + =
= + + + +
= +
−
=
= + = + = × +
= = −
dove l’espressione in parentesi indica la somma degli infiniti termini di una progressione geometrica (primo termine uguale a 1, ragione uguale a 1/100) e l’ultima uguaglianza richiama la regola empirica di scrittura della frazione generatrice di un numero decimale periodico.
Nota storica Zenone (496 a.C. - 430 a. C.) nato a Elea, città dell’Italia meridionale, ci ha lasciato alcuni paradossi celebri che lui utilizzava per dimostrare che i metodi della logica erano insufficienti per render conto anche di fatti molto banali (e sostenere, in tal modo, le idee del filosofo, suo maestro, Parmenide). Il più celebre dei suoi paradossi é quello di Achille e la Tartaruga. Il piè veloce Achille, pur correndo ad una velocità 10 volte superiore a quella della Tartaruga, non potrà mai raggiungerla anche se questa ha un solo stadio di vantaggio su di lui. Infatti, mentre Achille percorre lo stadio di svantaggio, la Tartaruga percorre 1/10 di stadio;
mentre Achille percorre il decimo di stadio che gli resta, la Tartaruga percorre 1/100 di stadio e così via, all’infinito: Achille non raggiungerà mai la Tartaruga. Fiumi di inchiostro sono stati consumati su questo paradosso (e su altri analoghi), per cercare di dimostrare dov’era
l’inganno nel ragionamento. Oggi sappiamo ‘risolvere’ il paradosso con l’ausilio delle progressioni geometriche e con il passaggio al limite utilizzato per dimostrare la formula (6). Infatti, se poniamo uguale a 1 il tempo che Achille impiega a percorrere uno stadio, abbiamo che il tempo che impiega a raggiungere la Tartaruga é:
t = + + + + = ×
−
= =
1 1
10 1 100
1
1000 1 1
1 1
10 10
9 1 1
... . (finito).
In realtà, anche la dimostrazione della formula (6) ha delle difficoltà logiche nascoste e solo recentemente (negli ultimi decenni) é stata trovata una soluzione più soddisfacente con la teoria dell’analisi non-standard (vedi l’articolo di William I. McLaughlin in Scientific American, November 1994: Resolving Zeno’s Paradoxes)
Esercizi 1
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Scrivere i primi sei termini di una progressione geometrica il cui pri- mo termine è uguale a 2 e la cui ragione è uguale a 2/3.
Calcolare il ventesimo termine della progressione geometrica dello esercizio 1.
Una progressione geometrica è tale che a7 = 28 e q = 1/2. Calcolare a1
e a15.
Calcolare il numero n dei termini di una pogressione geometrica di ra- gione 3, sapendo che an = 81 e a1 = 1.
Per l’esercizio precedente, calcolare S13 (somma dei primi 13 termini della progressione).
Di una progressione geometrica si conosce a5 = 162 e q = -1/3.
Calcolare:
a) a1; b) S12; c) S25.
Tra i numeri 4 e 125 inserire 5 numeri (compresi tra i due dati), in mo- do da ottenere una progressione geometrica:
a) crescente;
b) decrescente.
Di una progressione geometrica si sa che a3 = 12 e a9 = 96. Calcolare:
a) la ragione q;
b) il primo termine a1; c) S34.
Calcolare x in modo che i numeri x + 3, 2x + 3, 4x - 1 siano termini consecutivi di una progressione geometrica. Scrivere anche i tre nume- ri in progressione.
Determinare la frazione generatrice di 2 37. e di 31317. .
Un capitale di 30 ML viene depositato in banca con un interesse com- posto annuo del 9%. Determinare l’evoluzione annuale del capitale fi- no alla fine dei primi sette anni di deposito.
Determinare dopo quanti anni raddoppia un capitale C, depositato in banca con un interesse composto annuo del 9%.
Un capitale di 10 ML viene depositato in banca con un interesse annuo del 10%. Calcolare il capitale alla fine del secondo anno di deposito se
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gli interessi vengono calcolati (e capitalizzati):
a) annualmente;
b) ogni 3 mesi;
c) mensilmente;
d) ogni settimana.
A partire dal 1990, Francesca deposita in banca, il primo gennaio di ciascun anno, 5 ML, con un interesse composto annuo del 9%.
Calcolare la somma di cui disporrà Francesca al 31 dicembre dell’anno 2000.
Determinare cinque numeri in progressione geometrica tali che la somma dei primi tre é uguale a 30 e la somma degli ultimi tre é uguale a 120.
Una pallina viene lasciata cadere da un’altezza di un metro ed esegue una serie di rimbalzi fino a 2/3 dell’altezza precedente. Calcolare lo spazio complessivo percorso dalla pallina dopo cinque rimbalzi.
I primi due termini di una progressione geometrica sono 2 e 8 . Calcolare:
a) la ragione;
b) il sesto termine;
c) la somma dei primi sei termini;
d) il prodotto dei primi sei termini.
Si dispone di una scacchiera 8×8. Partendo dal primo quadratino in al- to a sinistra e proseguendo verso destra e poi verso il basso, si pone un chicco di grano nel primo quadratino, due chicchi nel secondo quadra- tino, otto nel terzo e così via, fino al sessantaquattresimo quadratino.
Calcolare il numero dei chicchi di grano posti (!) sulla scacchiera.
