BrI .2  

E-M Appendice - 14

A-14 Onde e.m. su un cavo coassiale.

Sia dato un cavo coassiale molto lungo (indefinito); la sezione retta ha forma di cilindri circolari coassiali, di raggi interno ed esterno rispettivamente R1 e R2 .

1) - Incominciamo col calcolare la CAPACITÀ’ (per unità di lunghezza) c C

 H del cavo come quella di un condensatore cilindrico.

Pensiamo una carica uniformemente distribuita sul conduttore interno, con densità ; su un tratto lungo H la carica vale Q  .H

Il modulo del campo elettrico generato da questa carica, a distanza generica r dal centro, si calcola con la legge di Gauss:

E r H H

. . .

2

0

 

  quindi ^{E } _2^ _r

0. La differenza di potenziale fra le armature vale:

^V _r^dr





R R

     

 

















2

1

2 2

0 0 2 1

0 2

2 1

1

ln ln ln

Dalla definizione c C H

Q V H

H R

R H R

R

   

 



 

 



 . ln .

. ln









2

2

0 2 1

0

2 1

2) - Calcoliamo ora l’INDUTTANZA _{ } ^L

H (ancora per unità di lunghezza) dello stesso cavo.

Il modulo del campo magnetico generato (a distanza r dal centro) dalla corrente I che circola nel cavo, si calcola con la legge di Ampère :

B.2r  ₀I quindi B I

  r



0

2 Allora il flusso di B attraverso una sezione longitudinale del cavo, lunga H (per esempio attraverso la superficie piana PQ della figura) vale:

1

E-M Appendice - 14

( )B 



2 2 1

1

2 I

rH dr I H R

R R

R

Per definizione di induttanza L ( )IB

:

  L   

H I H

I H R R I H

R R

( ) .

. ln

. ln

B



 



0 2

1 0 2

1

2

2

2

E-M Appendice - 14 3) Il cavo è un circuito a costanti distribuite: r, , c^.

Trascurando la resistenza r (linea senza perdite), lo schema può essere quello di figura 2.

Prendiamo in considerazione una porzione infinitesima di cavo, (una cella) lunga dx (di induttanza

.dx

Sia V1 la d.d.p. all’ingresso della cella; sia V2 alla uscita della cella; sia dv la differenza V2 - V1: dv è la d.d.p. ai capi della induttanza

.dx

Sia I1 la intensità della corrente entrante; sia I2 quella uscente; la corrente subisce una variazione (diminuzione) di , costituita dalla carica assorbita (nel tempo dt) dalla capacità c.dx , cioè di dq

dt

v C t

v tc dx

     





 ( . )

. .

Abbiamo quindi:

dv i

t dx v

x

i t

di v

t c dx v

t

    

    



 

 

























 . 

.

i

x c

Derivando la prima per x e la seconda per t







 



 





2 2

2

2 2

2

v x

i t x i

t x c v

t

 

 



 

 





e sostituendo la seconda nella prima (sotto le condizioni del teorema di Schwarz)









2 2

2 2

v

x c v

  t

3

E-M Appendice - 14

otteniamo cioè l’equazione delle onde. Analogamente per la corrente:









2 2

2 2

i

x c i

  t

Da quanto già calcolato, il quadrato della velocità di propagazione (W²) risulta :

W c R

R R

R

2

0 2

1

0 2 1

0 0

1 1

2

2

   1

 



   (ln )

ln

cioè ^{W  1}

0 0

  = velocità dell’onda e.m. nel vuoto.

Se fra le due lastre fosse interposto un dielettrico isotropo, omogeneo, lineare, di costante dielettrica relativa _r la velocità diverrebbe

W^d  1c  1_r

0 0

    cioè ^Wd ^{W W}

r

 ⁰  ₀



4