Esercizi lezione 1

Esercizi lezione 1

1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni:

a)

_{3 2}

x

y = 2x x 2x 1

− − +

b) y = x

²

+ x − 6 c)

2 2

x 3x y

4 x

= −

− d)

2

2 2

4 3x x 1

y

4x 12x 9 x 2x + −

= +

− + −

e)

² 2²

(

²

)

3

2x x 1

y log ln 2x 5x 3

3x x 2

 − + 

=    − − −    + − −

f)

4

3

2 3

16x 81

y log x 27

8 x

 − 

=    −    + +

g) ^{y = ln x} ( ^{+ x 2 − x 2 − 6x} )

h)

1 2

a 2

2

log x 2 y log

4 log x

 + 

 

=  

 − 

 

i)

x

1 x

1

y 3 2

4

−

 

= − −  

 

j) ( ^{x 4} )

2

ln 2 4

y x 8x

− −

=

− +

k) ( )

2x 20 x 1 1 4

2

y log 2x 1

+

  +

=  + 

 

 

l) y = ( 1 x − ) ^{2x 20 +}

m) ^{y =} ( ^{7x 3 2x − − 2} ) ^{ln x (}

²

^{− 2 )}

n)

2 2

x 11 y arcsin

x 9

= −

−

o)

3x 2 7x 13 y arccos

6x 3

+ −

= −

p) ln x 1

y arcsin

ln x 1

= −

+ 2) Dire quali delle seguenti funzioni sono pari o dispari:

a)

2 2

x 2 y x 1

= + +

b) ( )

4 2 2

x 2x 3

y

x 1

− +

=

+ c)

x

3

x y 1 sin x

= −

−

d)

x 2x

y e

e 1

= +

e) 1 x

y log 1 x

= +

−

f) y = x log x ² + 2x

3) Calcolare le funzioni inverse delle seguenti funzioni:

a) y 2x 3 = + b) y = x − 2 c) y arcsin 2x = d) y arccos x =

e) ^{y = tg 2x 3} ( ⁻ )

f) ^{y = ln x 1} ( ⁻ )

g) y ln sin x =

h) y = e

^x

i) y = e

^{1 x}

4) Data la funzione

 



−

= −

4 ) 3 log(

x

y x

4 4

<

≥ x

x si verifichi per via grafica che è invertibile in R; si

determini la funzione inversa.

5) Data f ( x ) = log

₂

x + 3 si determini il dominio, si verifichi che è iniettiva e si determini la funzione inversa y = g (x ) .

6) Data

1 x 1

f (x) = 3 2 ⁺ si determini il dominio, si verifichi che è strettamente monotona e si

determini la funzione inversa y = g(x) .

7) Mostrare che la funzione f : [ ] 0 ; 5 → R definita da

1 x 1 0 x 2 f (x) 2

x 1 2 x 5

 − + ≤ ≤

=  

 − < ≤



non è

monotona ma è iniettiva ed esiste pertanto la sua inversa.

8) Data la funzione

x x

e x 0

f (x)

e 1 x 0

−

−

 ≤

=  

− >

 si verifichi per via grafica che è invertibile e si determini la funzione inversa.

9) Date le funzioni f : x → 2 x − 3 e g : x → x + 1 a) si trovi il dominio e l’insieme immagine di entrambe

b) si stabilisca se sono definite le funzioni f
g ^e g
f ed in caso affermativo si determinino le loro espressioni analitiche.

10) Date le funzioni f : x → 2 x _e g : x → log

₃

( x − 1 ) a) si trovi il dominio e l’insieme immagine di entrambe

b) si stabilisca se sono definite le funzioni f
g ^e g
f o individuare su quale restrizione esse sono definite

11) Date le funzioni f ( x ) = 3 x − 2 e g ( x ) = e

^{− x2}

+ 2 si dica se esistono le funzioni f
g ^e g
f ed in caso affermativo si determinino le loro espressioni analitiche.

TESTI DI RIFERIMENTO

Tom M. Apostol: CALCOLO voll. 1 e 3, Bollati Boringhieri

Frank Ayres Jr.: CALCOLO differenziale e integrale, McGraw–Hill