Metodi e Modelli Matematici di Probabilit` a per la Gestione

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Metodi e Modelli Matematici di Probabilit` a per la Gestione

Prova scritta del 13/1/06

Esercizio 1 Si osserva sperimentalmente, entro certi limiti di approssimazione, che il valore Vn di certe azioni, misurato in unità intere di Euro, si comporta come una catena di Markov. Se il giorno n-esimo vale k Euro, il giorno seguente vale k − 1 Euro con probabilità αk, oppure vale k + 1 Euro con probabilità βk, o infine resta di valore k Euro con probabilità 1 − αk−βk e non ci sono altre possibilità. Tutto questo per k > 0, mentre se k = 0 è come appena detto ma senza la transizione a k − 1.

1. Supponiamo che sia αk = 0.4, βk = 0.3 per ogni k. Calcolare il valore medio di quelle azioni, a regime.

2. Un operatore finanziario in possesso di azioni di quel tipo si mette a venderle non appena il loro valore sale sopra la soglia λ del 65%: λ è il più piccolo intero tale che P (V ≤ λ) ≥ 0.65. Qual’è il valore della soglia λ? Sapreste trovare una formula comoda per calcolare la soglia relativa ad una percentuale qualsiasi?

3. Esaminiamo un modello diverso dei valori αk e βk. Sia Zn una successione di v.a. indipendenti che valgono +1 e −1 con probabilità P (Zn = 1) = 0.3, P (Zn = −1) = 0.7. Al passo n-esimo, se il valore Vn delle azioni è k, diventa Vn+1 = k + Zn con probabilità ⁴₇k

, mentre resta Vn+1 = k con probabilit`a 1 − ⁴₇k

. Calcolare le probabilit`a di transizione e stabilire se il valore delle azioni si assesta in regime stazionario.

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Esercizio 2 Nella nostra linea di produzione abbiamo due macchinari A e B che lavorano in serie. La macchina A esegue una lavorazione e poi passa il semilavorato a B che termina la lavorazione. Quando una delle macchine sta aspettando che gli venga fornito l’oggetto da lavorare diremo che è in stand-by. Il tempo medio di lavorazione della macchina A è 10 minuti, mentre quello della macchina B è di 5 minuti. Se la macchina B è occupata in una lavorazione quando A finisce la propria, allora A aspetta finchè non può passare il semilavorato a B (cosa che accade solo quando B finisce la propria lavorazione) diciamo allora che A è bloccata. Assumiamo che i pezzi arrivino alla macchina A in media al tasso di 3 ogni ora.

Considerare tutti gli intertempi menzionati come distribuiti esponenzialmente.

i) Descrivere il sistema con una catena di Markov in tempo continuo. Esplicitando con cura il significato dei vari stati e giustificando le transizioni introdotte.

ii) Calcolare la distribuzione invariante.

iii) Supponiamo di essere nello stato in cui entrambe le macchine lavorano. Qual’`e la probabilit`a che A si blocchi?

Immaginiamo che ci sia una ulteriore macchina C necessaria alla produzione del pezzo completo che prende il semilavorato da B e lo rifinisce, impiegando in media 8 minuti per pezzo. Analogamente a quello che succede tra A e B, se B finisce una lavorazione ma C

è ancora impegnata, allora B aspetta finchè non può passare il pezzo a C. Se B aspetta e A finisce una lavorazione, A aspetta anche lei.

iv) Descrivere la catena associata a questa situazione.

Ritorniamo al modello iniziale (quello con due macchine) e assumiamo ora che ciascuna delle macchine, durante una lavorazione ha una probabilità del 10% di rompersi prima di terminare la lavorazione. Quando una macchina è in stand-by non può accadere che si rompa. Se la macchina A finisce una lavorazione quando B è rotta, allora anche A si rompe (immediatamente appena finisce la lavorazione). Ciascuna delle due macchine viene ripristinata (nello stato di stand-by) con un tempo aleatorio di media 1 ora, indipendentemente per ciascuna delle macchine.

v) Descrivere questa nuova situazione con una catena di Markov.

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[Sol. Es. 1]

Soluzione. 1) Si tratta di una catena di nascita-morte. Vale

πk =

1 −0.3 0.4

0.3 0.4

k

= 1 4

3 4

k

quindi

E [V ] =

∞

X

k=0

kπk = 1 4

∞

X

k=0

k 3 4

k

= 1 4

3 4

1 −³₄² = 3.

2)

0.7 = P (V ≤ λ) =

λ

X

k=0

πk = 1 4 +1

4 3 4 +1

4

3 4

² + ...

e vale

1

4 +¹₄³₄ = . 437 5

1

4 +¹₄³₄ +¹₄ ³₄²

= . 578 13

1

4 +¹₄³₄ +¹₄ ³₄²

+¹₄ ³₄³

= . 683 59

quindi prendiamo λ = 3. Una formula proviene da

λ

X

k=0

πk = 1 4

λ

X

k=0

3 4

k

= 1 4

1 − ³₄λ+1

1 − ³₄ = 1 − 3 4

λ+1

per cui bisogna trovare il pi`u piccolo intero λ tale che 1 − ³₄λ+1

≥1 − α, ovvero tale che

3 4

λ+1

≤α. Verifichiamo ad esempio che ³₄⁴

= 0.316 < 0.35, mentre ³₄³

= 0.421.

3) pk,k+1= ⁴₇k

·0.3, pk,k−1= ⁴₇k

·0.7.

ak = p0,1p1,2· · ·pk−1,k

p1,0p2,1· · ·pk,k−1

=

4 7

⁰ 4 7

¹

· · · ⁴₇k−1 4

7

¹ 4 7

²

· · · ⁴₇k

0.3 0.7

k

= 1

4 7

k

3 7

k

= 3 4

k

quindi la catena raggiunge il regime stazionario.

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[Sol. Es. 2]

i) Utilizziamo cinque stati: In ss entrambe le macchine sono in stand-by, ls: la macchina A lavora e B `e in stand-by, sl: la macchina B lavora e A `e in stand-by, wl: la macchina A aspetta e B lavora, ll entrambe le macchine lavorano.

Il grafo con le transizioni `e il seguente:

ss ^λ ls ^µ^A sl ^λ ll ^µ^A wl

µ_B µB

µB

con λ = 3, µA = 6, µB = 12 (misurando il tempo in ore).

ii) Impostiamo il bilancio di flusso:

λπss = µBπsl (nodo ss) µAπls = µBπll+ λπss (nodo ls) (µB+ λ)πsl = µAπls+ µBπss (nodo sl)

(µA+ µB)πll= λπsl (nodo ll) µBπwl = µAπll (nodo wl) Si trova

πss = 12

3 πsl, πls= 42

18πsl, πll = 3

18πsl, πwl = 6 18πsl

quindi

πss = 0.52, πls = 0.317, πsl = 0.13, πll= 0.02, πwl = 0.01

iii) La probabilit`a p che dallo stato ll si passi a wl piuttosto che a ls `e data da p = µA

µA+ µB

= 6 18 = 1

3

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iv) Evitiamo di rappresentare con un grafico la catena, elenchiamo solo gli stati e le transizioni possibili, con i relativi tassi. Con tre macchine abbiamo i seguenti stati sss, ssl, sls, lss, lls, sll, lsl, lll, wls, wll, wwl, swl, lwl dove le lettere s, w, l rappresentano le tre situazioni: stand-by, attesa di passare il pezzo e lavorazione e per ogni stato ciascuna delle tre lettere rappresenta la condizione di una delle tre macchine: nell’ordine A, B e C.

• sss−→^λ lss

• lss −→^µ^A sls

• sls −→^µ^B ssl, sls −→^λ lls

• ssl −→^µ^C sss, ssl −→^λ lsl

• lls −→^µ^B lsl, lls−→^µ^A wls

• lsl −→^µ^A sll, lsl−→^µ^C lss

• wls−→^µ^B sll

• sll −→^λ lll, sll −→^µ^B swl, sll−→^µ^C sls

• lll −→^µ^A wll, lll −→^µ^B lwl, lll−→^µ^C lls

• swl−→^λ lwl, swl−→^µ^C ssl

• wll−→^µ^B sll, wll−→^µ^C wls

• lwl−→^µ^A wwl, lwl−→^µ^C lsl

• wwl−→^µ^C sll Dove µC = 60/8 = 7.5.

v) Se utilizziamo la lettera r per indicare la rottura della macchina, allora abbiamo i seguenti nove stati: ss, ls, sl, ll, rl, rs, rr, sr, lr, wl. Ecco tutte le transizioni possibili con i relativi tassi:

• ss−→^λ ls

• ls−→^µ^A sl, ls−→^ρ^A rs

• sl−→^λ ll, sl −→^µ^B ss, sl−→^ρ^B sr

• ll−→^µ^A wl, ll −→^µ^B ls, ll −→^ρ^A rl, ll−→^ρ^B lr

• wl −→^µ^B sl, wl−→^ρ^B rr

• sr −→^θ ss, sr−→^λ lr

• rs−→^θ ss

• rl−→^θ sl, rl −→^µ^B rs

• lr −→^θ ls, lr −→^µ^A rr

• rr −→^θ sr, rr−→^θ rs

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Dove θ `e il tasso di riparazione pari a 1 e ρA, ρB quelli di rottura da determinarsi.

Poichè si richiede che la probabilità di avere una rottura prima che la lavorazione sia finita e visto che la lavorazione è regolata da un tasso pari a µA e µB (rispettivamente per la macchina A e per la macchina B) allora dobbiamo imporre che

0.1 = ρA

ρA+ µA

0.1 = ρB

ρB+ µB

quindi ρA = µA/9 e ρB = µB/9.