Metodi e Modelli Matematici di Probabilit`a per la Gestione Prova scritta – 15/12/2008 Compito A

Metodi e Modelli Matematici di Probabilit` a per la Gestione

Prova scritta – 15/12/2008 Compito A

Esercizio 1 (20 punti). Un impiegato svolge la sua attivit`a per e-mail, rispondendo alle richieste dei clienti. Le richieste vengono inviate in momenti qualsiasi della giornata lavorativa. Tra l’arrivo di un e-mail ed il successivo, passano in media 10 minuti.

i) L’impiegato ha la tendenza a rispondere in modo molto dettagliato e preciso. Statisticamente, si pu`o osservare che impiega mediamente 9 minuti ad inviare una risposta, da quando inizia a scriverla. Che percentuale di tempo passa senza fare nulla?

ii) I clienti lamentano il fatto che il tempo di attesa di una risposta `e troppo elevato. Fino a un quarto d’ora (in media) sono disposti ad aspettare, ma non di pi`u. Che velocit`a di servizio (nel senso di numero medio di serviti ogni ora) deve avere l’impiegato per produrre un tempo medio di attesa del cliente inferiore a 15 minuti?

iii) L’impiegato, verso le ore 11, si trova ad un certo istante senza e-mail a cui rispondere ed allora va a prendersi un caff`e. Quando torna dopo 10 minuti, con che probabilit`a trova pi`u di tre e-mail (>3)?

iv) Supponiamo che l’impiegato inizi a ragionare cos`ı: se ha nella casella di posta meno (<) di 2 messaggi (incluso quello a cui sta rispondendo), si sente tranquillo e risponde dettagliatamente (come nel punto 1), ma se ne ha k con k ≥ 2, accelera la sua attivit`a ed impiega mediamente un tempo τ pari a ⁹_k minuti. Calcolare la probabilit`a che abbia almeno 2 messaggi a cui rispondere.

v) Supponiamo, per rendere pi`u realistico il problema, che le e-mail inviate dai clienti siano di due categorie: alcune richiedono solo 5 minuti in media per la risposta, altre ne richiedono 15. Per evitare per`o un modello troppo complicato, affettuiamo una semplificazione: se nel PC sono gi`a presenti 2 e-mail inevase (inclusa quella in fase di risposta, come sempre), nessun cliente `e in grado di inviarne altri (non ci sono pi`u di tre e-mail sul PC dell’impiegato). Ne arrivano all’incirca met`a e met`a, di un tipo o dell’altro;

al PC arrivano comunque sempre 6 richieste all’ora, in media (come nel punto 1, se le vediamo globalmente). Descrivete come cerchereste di calcolare la probabilit`a che ci siano 2 e-mail inevase sul PC dell’impiegato.

Esercizio 2 (10 punti). Si considerano 20 citt`a d’arte del centro Italia e per ciascuna si registra il numero di presenze per turismo nei mesi di giugno 2005 e giugno 2007. In realt`a, per confrontare il turismo di una citt`a con quello di un’altra, non si possono confrontare i numeri delle presenze (ovvi- amente una citt`a grande il doppio di un’altra avr`a un numero maggiore di presenze, ma questo non significa che sia pi`u attraente turisticamente: `e solo pi`u grossa). Calcoliamo ad esempio il numero di presenze diviso per i chilometri quadrati della parte cittadina, che per semplicit`a continueremo a chiamare “numero di presenze”. Si hanno quindi i dati

¡n⁰⁵₁ , n⁰⁷₁ ¢ , ...,¡

n⁰⁵₂₀, n⁰⁷₂₀¢

relativi alle 20 citt`a. Poniamo X.05<-c(n⁰⁵₁ , ..., n⁰⁵₂₀), X.07<-c(n⁰⁷₁ , ..., n⁰⁷₂₀).

Se digitiamo histplot(X.05) otteniamo un’istogramma dei valori relativi al 2005, che pu`o darci un’idea dei valori di presenze pi`u comuni e meno comuni.

i) Calcolare tramite R il numero medio di presenze del 2005, la deviazione standard e, avendo ottenuto come valori 875 e 143, tracciare la gaussiana con tali parametri; tracciarla sia da sola, sia in sovrapposizione all’istogramma.

Standardizzare la sequenza X.05 e ripetere l’esercizio: cosa cambia?

ii) Esaminiamo il legame tra le presenze 2005 e 2007. Calcoliamo il co- efficiente di correlazione e troviamo che vale 0.894. Eseguite la regressione lineare usando il 2005 come predittore. Quanto vale la varianza spiegata e dove la leggiamo? Se consideriamo una ulteriore citt`a d’arte non inclusa nelle precedenti e di essa sappiamo che le presenze 2005 erano pari a 952, che previsione possiamo fare delle presenze 2007 e come la calcoliamo con R?

[Si intende che la risposta alle domande dev’essere la descrizione di come si farebbe con R a svolgere quelle cose, elencando i comandi e commentando la risoluzione.]

1 Soluzioni

Esercizio 1. i)

π₀ = 1

a = 1 − ρ = 1 − 9 10 = 1

10.

ii) ρ = ^λ_µ = _10µ¹ , 1

µ

µ ρ

1 − ρ + 1

¶

= 1 µ

à 1

10µ

1 − _10µ¹ + 1

!

= 1 µ

µ 1

10µ − 1 + 1

¶

= 1 µ

1 + 10µ − 1

10µ − 1 = 10

10µ − 1 ≤ 15

quindi 10µ − 1 ≥ ²₃, µ ≥ ¹₆, ovvero E [T_s] ≤ 6 minuti. Il numero medio di serviti all’ora, se E [T_s] = 6 min., `e pari a 10.

iii)

P (N₁₀> 3) = 1 − P (N₁₀ ≤ 3) = 1 − X3

k=0

e⁻¹1^k k!

= 1 − e⁻¹ µ

1 + 1 +1 2 +1

6

¶

= 0.0189.

iv) Continuiamo ad usare le notazioni: λ = ₁₀¹, µ = ¹₉, ρ = ^λ_µ = ₁₀⁹. Allora a₀ = 1, a₁ = _µ^λ = ρ,

a2 = λ² µ

9

2 = 9²

10²· 2 = ρ² 2 a3 = λ³

µ 9 2 9

3 = 9³

10³· 3 · 2 = ρ³ 3 · 2 e cos`ı via, quindi

a_k = ρ^k

k! per k = 1, 2, 3, 4, ...

cio`e si tratta di una coda ad infiniti serventi. La probabilit`a richiesta `e 1 − π₀− π₁ = 1 − e^−ρ− e^−ρρ = 0.227.

v) Gli stati ora sono, detta A la tipologia da 5 minuti e B quella da 15, ed adottata la convenzione che scriviamo da sinistra verso destra l’ordine con cui si presentano all’impiegato: 0, A, B, AA, AB, BA, BB. Le transizioni ed il loro tassi sono:

0^1/20→ A, 0^1/20→ B, A^1/5→ 0, B ^1/15→ 0

A^1/20→ AA, A ^1/20→ AB, B ^1/20→ BA, A^1/20→ BB AA^1/5→ A, AB ^1/5→ B, BA ^1/15→ A, BB^1/15→ B.

La probabilit`a richiesta `e πAA+ πAB + πBA+ πBB. Tra le cose da osser- vare, c’`e che il tasso 1/20 `e stato determinato sulla base dell’informazione che arrivano met`a e met`a, e sulla base del teorema sul minimo di v.a. espo- nenziali. Infatti, se siamo in attesa di una nuova richiesta, e c’`e un orologio esponenziale per quelle di tipo A ed uno per quelle di tipo B, ed hanno lo stesso parametro λ<sup>0</sup>, il primo orologio che squilla ha parametro 2λ<sup>0</sup>, per il teorema sul minimo. Ma allora, sapendo che tale parametro `e ₁₀¹, troviamo λ⁰ = ₂₀¹ .

Esercizio 2. Media e deviazione standard si calcolano con m ← mean(X.05), s ← sd(X.05).

Per tracciare la gaussiana si deve decidere il range. La media `e 875, la deviazione `e 243; quindi un range ragionevole `e 875 ± 5 · 143. Usiamo 1000 punti. Scriviamo

x ← (1 : 1000)/1000 ∗ 1430 + 160 y ← dnorm(x, m, s)

poi, se vogliamo il grafico da solo, digitiamo plot(x,y), altrimenti, se lo vogliamo sovrapposto all’istogramma, dopo aver scritto histplot(X.05) scriviamo lines(x,y).

La sequenza standardizzata `e

X.05.st ← (X.05 − m)/s

Ripetendo l’esercizio, troviamo media nulla, deviazione pari a uno, poniamo x ← (1 : 1000)/1000 ∗ 10 − 5

y ← dnorm(x, 0, 1)

ecc., usando histplot(X.05.st). Cambia la scala e la centratura sull’asse delle x.

ii) Il coefficiente di correlazione si calcola con cor(X.05, X.07). Troviamo che vale 0.894. Per la regressione impostiamo

REG ← lm(X.07˜X.05)

Con summary(REG) leggiamo vari risultati inclusa la varianza spiegata R²che dalla teoria sappiamo essere pari a ρ² quindi a 0.799.

Per prevedere il 2007 di una nuova citt`a, a livello teorico useremo la for- mula Y = aX + b dove come X usiamo il valore 2005 e come a, b i coefficienti della regressione. Con R scriviamo

REG$coefficient[2] ∗ 952 + REG$coefficient[1]