Risp.: A : −17 B

Analisi Matematica 1 29 gennaio 2010 COMPITO 1

1. Una delle radici terze complesse di w = 2

√ 2

"

√ 2 2 + i

√ 2 2

− ie^3πi

#

vale

Risp.: A : √³ 2



−

√2 2 + i

√2 2



, B : √³ 2

^√

3 2 + i¹₂



C : √³

2(1 + i) D : √³ 2¹⁺ⁱ

3√ 2

2. Calcolare il limite

n→+∞lim

√4

ncos _n¹₂
− 1

q

log 1 +_n⁷3
+ n −√ n

.

Risp.: A : −¹₇ B : +∞ C : 0 D : ¹₇

3. Dato α ∈ R, la serie P+∞

n=1 (−1)ⁿ 1+2√

n^α

Risp.: A : converge assolutamente per α > 0 B : converge semplicemente per 0 < α ≤ 2 e assolutamente per α > 2 C : converge semplicemente per α > 2 e assolutamente per 0 < α ≤ 2

D : converge semplicemente per 0 < α < 2 e assolutamente per α ≥ 2

4. Siano α ∈ R e f : R⁺ → R la funzione definita da:

f (x) =







sin^α|x − 1|

7 log x se x 6= 1

0 se x = 1.

Allora in x = 1

Risp.: A : f non `e continua per nessun valore di α B : f ammette un asintoto verticale per ogni α C : f `e continua per α > 1, ammette una discontinuit`a eliminabile per α = 1 ed ammette un asintoto verticale per α < 1 D : f `e continua per α > 1, ammette un salto per α = 1 ed ammette un asintoto verticale per α < 1

5. Sia f : [0, +∞[→ R la funzione data da f (x) = _x+e^7x2−x. Allora f

Risp.: A : ammette y = 7x come asintoto obliquo per x → +∞ B : ammette asintoto orizzontale per x → +∞ C : non ammette asintoto per x → +∞ D : ammette y = 7x − 7 come asintoto obliquo per x → +∞

6. Sia F la primitiva della funzione f :] − ∞, 0] → R definita da f (x) = √

e^4x− e^6x tale che F (0) = 1. Allora lim

x→−∞F (x) vale

Risp.: A : 1 B : ²₃ C : 2 D : +∞

7. L’integrale improprio

Z +∞

0

e^x4 − 1 (sinh x)^αx³² dx converge se e solo se

Risp.: A : α < ¹₂ B : α ≥ ¹₄ C : ¹₄ ≤ α ≤ ¹₂ D : ¹₄ ≤ α < ¹₂

8. Sia y(x) la soluzione del problema di Cauchy







y⁰⁰(x) − 2y⁰(x) + y(x) = 0 y(0) = 0

y⁰(0) = 2 Allora y(1) vale

Risp.: A : 2e B : e C : 0 D : e⁻¹

9. Sia data la funzione f (x) = 3 arctan x + ¹_x. Delle seguenti affermazioni

(a) f `e pari (b) f `e dispari (c) Dom(f ) = {x ∈ R : x 6= 0} (d) f `e limitata (e) f ammette asintoto orizzontale per x → +∞

le uniche corrette sono

Risp.: A : (a), (c), (e) B : (b), (c), (d), (e) C : (b), (c), (e) D : (a), (d), (e)

10. Sia g :]0, +∞[→ R la funzione data dalla restrizione a ]0, +∞[ della funzione f (x) dell’esercizio precedente. Delle seguenti affermazioni

(a) g ammette minimo assoluto (b) inf_]0,+∞[g = ³₂π (c) sup_]0,+∞[g = +∞ (d) g `e decrescente su ]0,^√1

2[ e crescente su ]^√1

2, +∞[ (e) g `e decrescente le uniche corrette sono

Risp.: A : (a), (d) B : (a), (c) C : (a), (c), (d) D : (b), (c), (e)