vale Risp.: A : 2e1 B : 0 C : 12 D : e2 3

Analisi Matematica 1 4 Aprile 2012 COMPITO 1

1. Le soluzioni in C dell’equazione z⁴ =



|1 − i|²·1 + i

√2i

5

Im(3 + 3i) e^iπ/4 sono:

Risp.: A : 1 ± i, −1 ± i B : ±i, ±1 C : ±2^5/4√⁴

3i, ±2^5/4√⁴

3 D : 2^3/4√⁴

3(1 ± i), 2^3/4√⁴

3(−1 ± i)

2. Il limite

n→+∞lim



e^2n!1 − 1

((n + 1)! + 2ⁿ)nⁿ (n + 1)ⁿ⁺¹ . vale

Risp.: A : _2e¹ B : 0 C : ¹₂ D : ^e₂

3. Sia α ∈ R. La serie numerica

+∞

X

n=1

arctan n² n^α−7[log(1 + n²)]³

`

e convergente se e solo se

Risp.: A : α ≤ 8 B : α ≥ 8 C : α > 8 D : α ≥ 7

4. Sia f : R → R tale che lim

x→0(f (x))² = 0. Delle seguenti affermazioni (a) lim

x→0f (x) = 0 (b) f `e limitata su R (c) f `e limitata in un intorno di 0 (d) f `e positiva in un intorno di 0

le uniche corrette sono

Risp.: A : (a), (b), (c) B : (b), (c), (d) C : (a), (d) D : (a), (c)

5. Il limite

x→0lim

sin(log(1 + 7x)) − e^7x+ 1 arctan x²

vale

Risp.: A : 0 B : −7 C : −49 D : −⁴⁹₂

6. L’integrale

Z _{ln 3}

0

1

1 + cosh xdx vale

Risp.: A : 2 B : ¹₃ C : 3 D : ¹₂

7. Sia y la soluzione del problema di Cauchy







y⁰= x²y 1 + (^x₇)² , y(0) = e⁴⁹. Allora log(y(x)) vale

Risp.: A : 49 x − 7 arctan^x₇ + 1

B : x−7 arctan^x₇+49 C : 49 x − 7 arctan^x₇

D : 49 (x + 1)

8. Sia data la funzione

f (x) =p|x − 1| − 3 log(1 + p|x − 1|).

Delle seguenti affermazioni

(a) Il dominio di f `e R (b) f `e pari (c) lim

x→+∞f (x) = +∞ (d) f ammette asintoto orizzontale per x → −∞ (e) f non ha asintoti obliqui

le uniche corrette sono

Risp.: A : (a), (b), (c) B : (d), (e) C : (a), (c), (d) D : (a), (c), (e)

9. Sia f la funzione dell’esercizio 8. Delle seguenti affermazioni

(a) f `e derivabile sul suo dominio (b) x = 1 `e un punto di cuspide per f (c) f⁰(1) = 0 (d) f ammette un punto di massimo assoluto (e) f `e decrescente in (−∞, −3] e [1, 5]

le uniche corrette sono

Risp.: A : (a), (c), (d) B : (b), (e) C : (b), (d) D : (a), (c), (e)

10. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 8 nell’apposito spazio sul foglio precedente.