Corso di Analisi Matematica 1 - professore Alberto Valli 5 foglio di esercizi 17 ottobre 2018

Università di Trento - Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ingegneria per l’Ambiente e il Territorio - 2018/19

Corso di Analisi Matematica 1 - professore Alberto Valli 5 foglio di esercizi 17 ottobre 2018

continuità, derivabilità

5.1 Esercizio -

Quali delle seguenti equazioni ammettono soluzioni reali? Se la risposta è affermativa, quante soluzioni?

(i) xe^x= 10 (ii) x⁴+ 2 = 2x² (iii) 3x⁶+ 2x²= 1 .

5.2 Esercizio -

Sia f : R → R una funzione continua tale che x²

2 ≤ f (x) ≤ 2x² ∀ x ∈ [0, 1].

Quali delle seguenti affermazioni sono vere per qualsiasi funzione f che soddisfi quanto sopra indicato?

(i) esiste x₀∈ [0, 1] tale che f (x₀) =⁷₄ (ii) esiste x₀∈ [0, 1] tale che f (x₀) =³₂ (iii) esiste x₀∈ [0, 1] tale che f (x₀) = 1 (iv) esiste x₀∈ [0, 1] tale che f (x₀) =¹₂.

5.3 Esercizio -

Quali delle seguenti funzioni non sono derivabili nel punto x = 0?

(i) |x| sin x (ii) |x sin x| (iii) x| cos x| (iv) |x| cos x .

5.4 Esercizio -

Stabilite per quali valori dei parametri reali α e β ciascuna delle seguenti funzioni è derivabile in x = 0.

(i) (

αx²− x + β per x ≥ 0

−x³+ βx − α per x < 0 , (ii)

(2^x per x ≥ 2 αx²+ βx per x < 2.

5.5 Esercizio -

Considerate la funzione k(x) = (x − 1)(x²+ 2x − 3).

(i) Tracciatene a grandi linee il grafico.

(ii) Esplicitate l’espressione di k(x).

(iii) Provate che l’equazione e^3x+ e^2x− 5e^x+ 3 = 0 ammette una sola soluzione, e determinatela .

5.6 Esercizio -

Dite quali delle seguenti funzioni g sono invertibili, ed, in caso affermativo, determinate la funzione inversa.

(i) g(x) = log(x +p

x²+ 1) , x ∈ R (ii) g(x) =e^x+ e^−x

2 , x ≥ 0 .

1

5.7 Esercizio -

Sia f : R → R una funzione derivabile, tale che f (0) = 1, f (1) = 1 e lim

x→+∞f(x) = 1. Quali delle seguenti affermazioni sono vere per qualunque funzione f che soddisfi alle condizioni sopra elencate?

(i) Esistono almeno due valori per cui f⁰si annulla.

(ii) Esiste uno e un solo valore per cui f⁰si annulla.

(iii) Esiste almeno un valore per cui f si annulla.

5.8 Esercizio -

Sia f una funzione derivabile in [0, 1]. Quali delle seguenti situazioni sono possibili?

(i) f⁰(x) < 2 ∀ x ∈ [0, 1] , f (0) = −1 , f (1) = 1 (ii) f⁰(x) > 1

2 ∀ x ∈ [0, 1] , f (0) = −1

2 , f (1) =1 2.

2