f ( x )= x − 3 x +2 x +1, x ∈ [1 , 2],(percorsonelversocrescentedelle x ).Risultati:Calcoli:1 Perquelvaloredi α :(a)determinareunpotenzialedi v ;(b)calcolarel’integralecurvilineodi v sulgraficodi v ( x,y )=( x ( x + y ) ,y ( x + y )) ,x> 0 ,y> 0 . α ∈ R pe

COGNOME NOME Matr.

Analisi Matematica II (EA)

1 febbraio 2012 Esercizio 1. (7 punti)

Determinare il valore del parametro α ∈ R per cui `e conservativo il campo vettoriale v(x, y) = (x^2α(x²+ y²), y^2α(x²+ y²)) , x > 0 , y > 0 .

Per quel valore di α: (a) determinare un potenziale di v; (b) calcolare l’integrale curvilineo di v sul grafico di f (x) = x³− 3x²+ 2x + 1, x ∈ [1, 2], (percorso nel verso crescente delle x).

Risultati:

Calcoli:

1

Esercizio 2. (7 punti)

Determinare il massimo assoluto e il minimo assoluto di g(x, y) = x²+ 4y² nell’insieme K = {(x, y) ∈ R²| x²+ y² ≤ 1, xy ≤√

15/16} .

Risultato:

Calcoli:

2

Esercizio 3. (8 punti)

Si calcoli il volume dell’insieme

Q = {(x, y, z) ∈ R³| x²+ y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ x²+ y²+ 1, 0 ≤ z ≤ (x − 1)² + y²+ 1} .

Risultato:

Calcoli:

3

Esercizio 4. (8 punti)

Si calcoli l’area della superficie di rotazione ottenuta facendo ruotare attorno all’asse z la semicir- conferenza di parametrizzazione x = 1 + cos ψ, z = 1 + sin ψ, ψ ∈ [−π/2, π/2].

Risultato:

Calcoli:

4