ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA - canale 4 a.a. 2008-2009

(1)

ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA - canale 4 a.a. 2008-2009

8a settimana 20.4.-24.4.2009 (pp. 152-171)

Riprendiamo il caso particolare (2×2) in cui si `e notato che il determinante coincideva con il termine noto del poli- nomio caratteristico e il coefficiente del termine di grado n−1 di tale polinomio coincideva con la traccia della matrice, moltiplicata per (−1) ⁿ ⁻¹ . L`ı si era vi- sto che il coefficiente del termine di pri- mo grado era −(a + d).

In generale, in una matrice diagonaliz-

zabile, il prodotto degli autovalori, cia-

scuno contato con la sua molteplicit`a,

coincide con il determinante della ma-

(2)

trice, e la somma dei suoi autovalori co- incide con la traccia.

Ovviamente sapendo traccia e determi- nante di una matrice di ordine 2 si co- noscono anche gli autovalori.

Affinché una matrice sia diagonaliz- zabile, è necessario (ma non sufficiente) che il polinomio caratteristico sia scom- ponibile in fattori di primo grado (ci vuole in più che gli autovettori costitu- iscano una base).

Per`o se (e solo se) il polinomio carat- teristico si scompone in fattori di primo grado, la matrice risulta triangolarizz- abile.

Dimostriamo il ”solo se”. Infatti se una

matrice `e triangolarizzabile, cio`e tale che

H ⁻¹ AH = T il suo polinomio caratte-

ristico coincide con quello della triango-

(3)

larizzata (hanno gli stessi autovalori), e anche il determinante della triangolariz- zata coincide con il prodotto degli ele- menti della diagonale e quindi coincide con il prodotto dei fattori T _ii − λ _i .

Somma diretta: la definizione non di- ce che sussistono certe propriet`a, ma se ne sussiste una sussitono anche tutte le altre e viceversa:

- unendo una base di U e una di W se ne ottiene una di U+W;

- la dimensione dello spazio somma `e la somma delle dimensioni degli addendi;

- l’intersezione dei sottospazi `e il vettore nullo;

- ogni vettore della somma si pu`o scri- vere in un modo solo come somma di due vettori uno in U e uno in W.

In classe vediamo solo che dall’ultima

(4)

segue la prima.

Se sussiste una di queste propriet`a si dice che V `e la somma diretta di U e W e si scrive V = U ⊕ W .

Proiezione su U secondo la direzione W:

p ^W _U (v) = v _U

e simmetria rispetto a U secondo una direzione W:

s ^W _U (v) = v _U − v _W (pp. 156-157).

Facendo la simmetria della simmetria si ottiene l’identit`a, facendo la proiezio- ne del risultato di una proiezione si ot- tiene il primo risultato immutato.

La somma di due autospazi di una ma-

trice `e diretta.

(5)

Estensione a pi`u addendi.

E chiaro che quando gli spazi sono più ` di due, dire che la loro somma è diretta non equivale a dire che l’intersezione de- gli spazi a due a due è solo il vettore nullo.

Definizione di prodotto scalare trami- te le propriet`a, senza far ricorso alla geo- metria.

Il prodotto `e commutativo, un fattore scalare viene fuori, `e distributivo rispet- to alla somma, e v · v > 0 se v 6= o.

(Questa definizione ha senso se lo spa- zio vettoriale `e sul corpo reale o com- plessso).

Rappresentazione del prodotto scalare

come il prodotto di due matrici una di

una riga e n colonne, l’altra di una co-

(6)

lonna e di n righe.

Prodotti scalari che conosciamo: l’in- stegrale del prodotto tra le funzioni con- tinue su un intervallo, tra le funzioni a quadrato integrabile su un intervallo.

Se invece faccio l’integrale su un inter- vallo limitato di funzioni definite su tut- to R, no (potrebbero essere nulle sull’in- tervallo ma non nulle su R).

Definizione di norma (con la disugua- glianza triangolare) e sua relazione con un prodotto scalare. Una norma pu`o esistere senza provenire da un prodotto scalare, mentre un prodotto scalare d`a sempre origine a una norma.

Disuguaglianza di Schwarz:

|u · v| ≤ ||u|| · ||v||

(attenzione: il primo prodotto `e il pro-

(7)

dotto scalare tra vettori, il secondo `e il prodotto solito tra numeri!)

Norma nello spazio euclideo

Norma del max tra i moduli delle sin- gole componenti

Norma della somma dei moduli delle singole componenti.

Norma della radice quadrata dell’inte- grale del quadrato di una funzione con- tinua su un intervallo (proviene da un prodotto scalare).

Norma dell’integrale del modulo di una funzione integrabile (non proviene da un prodotto scalare).

Norma del sup di una funzione su un intervallo (per le continue `e il max).

Definizione di ortogonalit`a.

ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA - canale 4 a.a. 2008-2009

ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA - canale 4 a.a. 2008-2009

8a settimana 20.4.-24.4.2009 (pp. 152-171)

In generale, in una matrice diagonaliz-

zabile, il prodotto degli autovalori, cia-

scuno contato con la sua molteplicit`a,

coincide con il determinante della ma-

trice, e la somma dei suoi autovalori co- incide con la traccia.

Ovviamente sapendo traccia e determi- nante di una matrice di ordine 2 si co- noscono anche gli autovalori.

Affinché una matrice sia diagonaliz- zabile, è necessario (ma non sufficiente) che il polinomio caratteristico sia scom- ponibile in fattori di primo grado (ci vuole in più che gli autovettori costitu- iscano una base).

Per`o se (e solo se) il polinomio carat- teristico si scompone in fattori di primo grado, la matrice risulta triangolarizz- abile.

Dimostriamo il ”solo se”. Infatti se una

matrice `e triangolarizzabile, cio`e tale che

H −1 AH = T il suo polinomio caratte-

ristico coincide con quello della triango-

larizzata (hanno gli stessi autovalori), e anche il determinante della triangolariz- zata coincide con il prodotto degli ele- menti della diagonale e quindi coincide con il prodotto dei fattori T ii − λ i .

Somma diretta: la definizione non di- ce che sussistono certe propriet`a, ma se ne sussiste una sussitono anche tutte le altre e viceversa:

- unendo una base di U e una di W se ne ottiene una di U+W;

- la dimensione dello spazio somma `e la somma delle dimensioni degli addendi;

- l’intersezione dei sottospazi `e il vettore nullo;

- ogni vettore della somma si pu`o scri- vere in un modo solo come somma di due vettori uno in U e uno in W.

In classe vediamo solo che dall’ultima

segue la prima.

Se sussiste una di queste propriet`a si dice che V `e la somma diretta di U e W e si scrive V = U ⊕ W .

Proiezione su U secondo la direzione W:

p W U (v) = v U

e simmetria rispetto a U secondo una direzione W:

s W U (v) = v U − v W (pp. 156-157).

Facendo la simmetria della simmetria si ottiene l’identit`a, facendo la proiezio- ne del risultato di una proiezione si ot- tiene il primo risultato immutato.

La somma di due autospazi di una ma-

trice `e diretta.

Estensione a pi`u addendi.

E chiaro che quando gli spazi sono più ` di due, dire che la loro somma è diretta non equivale a dire che l’intersezione de- gli spazi a due a due è solo il vettore nullo.

Definizione di prodotto scalare trami- te le propriet`a, senza far ricorso alla geo- metria.

Il prodotto `e commutativo, un fattore scalare viene fuori, `e distributivo rispet- to alla somma, e v · v > 0 se v 6= o.

(Questa definizione ha senso se lo spa- zio vettoriale `e sul corpo reale o com- plessso).

Rappresentazione del prodotto scalare

come il prodotto di due matrici una di

una riga e n colonne, l’altra di una co-

lonna e di n righe.

Prodotti scalari che conosciamo: l’in- stegrale del prodotto tra le funzioni con- tinue su un intervallo, tra le funzioni a quadrato integrabile su un intervallo.

Se invece faccio l’integrale su un inter- vallo limitato di funzioni definite su tut- to R, no (potrebbero essere nulle sull’in- tervallo ma non nulle su R).

Definizione di norma (con la disugua- glianza triangolare) e sua relazione con un prodotto scalare. Una norma pu`o esistere senza provenire da un prodotto scalare, mentre un prodotto scalare d`a sempre origine a una norma.

Disuguaglianza di Schwarz:

|u · v| ≤ ||u|| · ||v||

(attenzione: il primo prodotto `e il pro-

dotto scalare tra vettori, il secondo `e il prodotto solito tra numeri!)

Norma nello spazio euclideo

Norma del max tra i moduli delle sin- gole componenti

Norma della somma dei moduli delle singole componenti.

Norma della radice quadrata dell’inte- grale del quadrato di una funzione con- tinua su un intervallo (proviene da un prodotto scalare).

Norma dell’integrale del modulo di una funzione integrabile (non proviene da un prodotto scalare).

Norma del sup di una funzione su un intervallo (per le continue `e il max).

Definizione di ortogonalit`a.

H ⁻¹ AH = T il suo polinomio caratte-

larizzata (hanno gli stessi autovalori), e anche il determinante della triangolariz- zata coincide con il prodotto degli ele- menti della diagonale e quindi coincide con il prodotto dei fattori T _ii − λ _i .

p ^W _U (v) = v _U

s ^W _U (v) = v _U − v _W (pp. 156-157).