Geometria 1A e Algebra Lineare — 8 aprile 2009
1. Si consideri lo spazio delle matrici MC(2; 2):
Dimostrare che le 4 matrici (note come matrici di Pauli) I = 1 0
0 1 ; 1 = 0 1
1 0 ; 2 = 0 i
i 0 ; 3 = 1 0
0 1 ;
formano una base dello spazio vettoriale MC(2; 2).
È possibile diagonalizzare 2? Se si, trovare una base di C2 formata dagli autovettori e calcolare 3 nella nuova base.
È possibile trovare una base di C2 in cui le matrici 1 e 2 siano entrambe diagonali?
Le matrici l dove l = 1; 2; 3 sono hermitiane? sono anche unitarie?
Mostrare che le matrici I e l; l = 1; 2; 3 soddisfano alle relazioni
l k = lkI + i X3 m=1
lkm m
dove il simbolo lkmvale 1ed è totalmente antisimmetrico nello scambio dei tre indici l; k; m (ovvero cambia segno se si scambiano due indici qualsiasi) e 123 = 1; mentre il simbolo lk è simmetrico nello scambio dei due indici e vale 0 se l 6= k e vale 1 se l = k:
Dalla relazione precedente mostrare che:
l k+ k l = 2 lkI
l k k l = 2i
X3 k=1
lkm m
2. Si consideri, al variare del parametro reale a, la matrice
A = 0
@
a 0 1
2 1 a
1 0 0
1 A
Determinare i valori del parametro a per i quali A è invertibile.
Determinare i valori del parametro a per i quali A è diagonalizzabile.
3. Risolvere l’esercizio del punto 2 supponendo ora a complesso.
1
SOLUZIONI DI ALCUNI PUNTI
1. Lo spazio delle matrici MC(2; 2) ha dimensione 4 e le quattro matrici date sono in- dipendenti e quindi formano una base.
2 = 0 i
i 0 , con autovalori e autovettori:
i
1 $ 1; i
1 $ 1 (1)
La matrice del cambio di base è M = i i
1 1 e la matrice 3 = 1 0
0 1 diventa:
i i
1 1
1 1 0
0 1
i i
1 1 = 0 1
1 0 (2)
Gli autovalori di 1 sono anch’essi 1 e quindi se 1 e 2 fossero contemporaneamente diagonalizzabili esisterebbe una matrice invertibile per cui:
a b c d
1 0 1
1 0
a b
c d = a b
c d
1 0 i
i 0
a b
c d (3)
e questo è impossibile. Gli altri punti sono solo veri…che banali di de…nizioni e calcoli.
2. Il determinante di A è 1 e quindi A è invertibile per ogni valore di a; gli autovalori sono:
1;1 2a + 1
2
pa2+ 4;1 2a 1
2
pa2+ 4 (4)
Sono sempre reali e sono distinti se e solo se a 6= 0: Si devono infatti risolvere le equazioni:
1 2a + 1
2
pa2+ 4 = 1 2a 1
2
pa2+ 4 ! nessuna soluzione reale (5)
1 = 1 2a +1
2
pa2+ 4 ! nessuna soluzione reale (6)
1 = 1 2a 1
2
pa2+ 4 ! a = 0 (7)
Se a = 0 invece la matrice 0
@
0 0 1
2 1 0
1 0 0
1
A non risulta diagonalizzabile perchè ha come autovalori e autovettori:
8<
: 0
@ 0 1 0
1 A
9=
;$ 1;
8<
: 0
@ 1 1 1
1 A
9=
;$ 1 (8)
e quindi l’autovalore doppio 1non è regolare. La matrice è quindi diagonalizzabile se e solo se a 6= 0
2
3. Nel caso complesso, oltre al caso a = 0; c’è un altro caso di coincidenza di autovalori:
a = 2i; infatti le equazioni da risolvere sono sempre:
1 2a + 1
2
pa2 + 4 = 1 2a 1
2
pa2+ 4! a = 2i (9)
1 = 1 2a +1
2
pa2+ 4 ! nessuna soluzione (10)
1 = 1 2a 1
2
pa2+ 4! a = 0 (11)
Il caso a = 0 è identico a prima, analizziamo i casi a = 2i; in ambedue questi casi la matrice risulta non diagonalizzabile. La matrice
0
@ 2i 0 1 2 1 2i
1 0 0
1
A (12)
ha come autovalori e autovettori 8<
: 0
@ 0 1 0
1 A
9=
;$ 1;
8<
: 0
@ i 2 + 2i
1 1 A
9=
;$ i (13)
e quindi l’autovalore doppio i non è regolare. Lo stesso avviene nel caso della matrice 0
@ 2i 0 1
2 1 2i
1 0 0
1
A (14)
che ha come autovalori e autovettori:
8<
: 0
@ 0 1 0
1 A
9=
;$ 1;
8<
: 0
@ i 2 2i
1 1 A
9=
;$ i (15)
l’autovalore doppio i non è regolare. La matrice è quindi diagonalizzabile se e solo se a 6= 0; 2i:
3
