Formule di Teoria dei Segnali

Formule di Teoria dei Segnali

L.Verdoliva

Formule di trigonometria

cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α

cos²α = 1 + cos 2α 2 sin²α = 1 − cos 2α

2 sin 2α = 2 sin α cos α

cos 2α = cos²α − sin²α = 2 cos²α − 1 = 1 − 2 sin²α cos α cos β = 1

2[cos(α − β) + cos(α + β)]

sin α sin β = 1

2[cos(α − β) − cos(α + β)]

sin α cos β = 1

2[sin(α + β) + sin(α − β)]

Formule di Eulero

cos α = e^jα+ e^−jα

2 sin α = e^jα− e^−jα

2j e^jα = cos α + j sin α

Propriet`a δ(t) e δ(n)

Rt2

t1 x(t) δ(t) dt =











x(0) 0 ∈ (t₁, t₂)

0 altrimenti

δ(n) =







1 n = 0

0 altrimenti R+∞

−∞ δ(t) dt = 1 P+∞

k=−∞δ(n − k) = 1 R+∞

−∞ x(t)δ(t − t0) dt = x(t0) P+∞

n=−∞x(n)δ(n − n0) = x(n0) x(t) δ(t − t0) = x(t0) δ(t − t0) x(n) δ(n − n0) = x(n0) δ(n − n0)

δ(t) = δ(−t) δ(n) = δ(−n)

R+∞

−∞ x(α)δ(t − α) dα = x(t) ∗ δ(t) = x(t) P+∞

k=−∞x(k)δ(n − k) = x(n) ∗ δ(n) = x(n) Rt

−∞δ(τ ) dτ = u(t) ↔ δ(t) = ^du(t)_dt Pn

k=−∞δ(k) = u(n) ↔ δ(n) = u(n) − u(n − 1)

Formule di utilit`a

+∞

X

n=0

αⁿ= 1

1 − α |α| < 1

N

X

n=M

αⁿ=







α^M−α^{N +1}

1−α α 6= 1

N − M + 1 α = 1

Media temporale per segnali aperiodici (1) e per segnali periodici (2)

(1) < x(t) > = lim

T →∞

1 T

Z T /2

−T /2

x(t) dt < x(n) > = lim

N →∞

1 2N + 1

N

X

n=−N

x(n)

(2) < x(t) > = 1 T₀

Z T0/2

−T₀/2

x(t) dt < x(n) > = 1 N₀

N0−1

X

n=0

x(n)

a) Invarianza temporale y(t) = x(t − t₀) =⇒ < y(t) >=< x(t) >

y(n) = x(n − n0) =⇒ < y(n) >=< x(n) >

b) Linearit`a z(·) = a x(·) + b y(·) =⇒ < z(·) >= a < x(·) > +b < y(·) >

Potenza per segnali aperiodici (1) e per segnali periodici (2) ed Energia (3)

(1) Px = lim

T →∞

1 T

Z T /2

−T /2

|x(t)|²dt Px = lim

N →∞

1 2N + 1

N

X

n=−N

|x(n)|²

(2) Px = 1 T₀

Z T0/2

−T0/2

|x(t)|²dt Px = 1 N₀

N0−1

X

n=0

|x(n)|²

(3) E_x =

Z +∞

−∞

|x(t)|²dt E_x =

+∞

X

n=−∞

|x(n)|²

Potenza ed Energia per segnali noti

a) Segnale costante x(t) = A =⇒ Px= A²

b) Gradino unitario x(t) = A u(t) =⇒ P_x= A²/2

c) Signum x(t) = A sign(t) =⇒ Px= A²

d) Segnale sinusoidale x(t) = A cos(2πf₀t + θ) =⇒ P_x= A²/2 e) Impulso rettangolare x(t) = A Π(t/T ) =⇒ E_x = A²T f) Impulso triangolare x(t) = A Λ(t/T ) =⇒ Ex = ²₃A²T g) Esponenziale monolatero x(t) = A e^−t/Tu(t) =⇒ E_x = ^A2₂^T

Potenza ed Energia mutua

P_xy = lim

T →∞

1 T

Z _{T /2}

−T /2

x(t) y^∗(t) dt P_xy = lim

N →∞

1 2N + 1

N

X

n=−N

x(n) y^∗(n)

E_xy =

Z +∞

−∞

x(t) y^∗(t) dt E_xy =

+∞

X

n=−∞

x(n) y^∗(n)

a) Invarianza temporale y(t) = x(t − t0) =⇒ Py = Px e Ey = Ex

y(n) = x(n − n0) =⇒ Py = Px e Ey = Ex

b) Non Linearit`a z(·) = x(·) + y(·) =⇒ P_z = P_x+ P_y+ 2 Re[P_xy]

=⇒ Ez= Ex+ Ey+ 2 Re[Exy]

Funzione di autocorrelazione per segnali di potenza aperiodici (1) e periodici (2) e per segnali di energia (3)

(1) Rx(τ ) = lim

T →∞

1 T

Z T /2

−T /2

x(t) x^∗(t − τ ) dt Rx(m) = lim

N →∞

1 2N + 1

N

X

n=−N

x(n) x^∗(n − m)

(2) R_x(τ ) = 1 T₀

Z T0/2

−T₀/2

x(t) x^∗(t − τ ) dt R_x(m) = 1 N₀

N0−1

X

n=0

x(n) x^∗(n − m)

(3) Rx(τ ) =

Z +∞

−∞

x(t) x^∗(t − τ ) dt Rx(m) =

+∞

X

n=−∞

x(n) x^∗(n − m)

Funzione di mutua correlazione per segnali di potenza (1) e per segnali di energia (2)

(1) Rxy(τ ) = lim

T →∞

1 T

Z T /2

−T /2

x(t) y^∗(t − τ ) dt Rxy(m) = lim

N →∞

1 2N + 1

N

X

n=−N

x(n) y^∗(n − m)

(2) R_xy(τ ) =

Z _+∞

−∞

x(t) y^∗(t − τ ) dt R_xy(m) =

+∞

X

n=−∞

x(n) y^∗(n − m)

a) Valore nell’origine R_x(0) =





 Ex

Px

R_xy(0) =





 Exy

Pxy

b) Simmetria coniugata R_x(·) = R^∗_x(−(·)) R_xy(·) = R^∗_yx(−(·)) c) Limitatezza |R_x(·)| ≤ R_x(0) |R_xy(·)| ≤







pE_xE_y pP_xPy

Sistemi LTI nel dominio del tempo

y(t) =

Z +∞

−∞

x(α) h(t − α) dα y(n) =

+∞

X

k=−∞

x(k) h(n − k)

= x(t) ∗ h(t) = x(n) ∗ h(n)

a) Propriet`a commutativa x(·) ∗ h(·) = h(·) ∗ x(·)

b) Propriet`a distributiva x(·) ∗ [h<sub>1</sub>(·) + h<sub>2</sub>(·)] = x(·) ∗ h<sub>1</sub>(·) + x(·) ∗ h<sub>2</sub>(·) c) Propriet`a associativa x(·) ∗ [h₁(·) ∗ h₂(·)] = [x(·) ∗ h₁(·)] ∗ h₂(·) d) Propriet`a associativa mista a[x(·) ∗ h(·)] = [ax(·)] ∗ h(·) = x(·) ∗ [ah(·)]

e) Invarianza temporale x(t − t1) ∗ h(t − t2) = y(t − (t1+ t2)) x(n − n1) ∗ h(n − n2) = y(n − (n1+ n2)) Sistema non dispersivo ⇐⇒ h(·) = kδ(·)

Sistema causale ⇐⇒ h(t) = 0 per t < 0 h(n) = 0 per n < 0

Sistema stabile ⇐⇒ R+∞

−∞ |h(t)| dt < ∞ P+∞

n=−∞|h(n)| < ∞ Serie di Fourier

Sintesi x(t) =

+∞

X

k=−∞

X_ke^j2πkf0t x(n) =

N0−1

X

k=0

X_ke^j2πkν0n

Analisi X_k = 1 T₀

Z T0/2

−T₀/2

x(t) e^−j2πkf0tdt X_k = 1 N₀

N0−1

X

n=0

x(n) e^−j2πkν0n

x(·) reale −→ X−k = X_k^∗ ←→







|X_−k| = |X_k|

∠X−k = −∠Xk

1) Linearit`a z(·) = ax(·) + by(·) ←→ Zk= aXk+ bYk

2) Traslazione temporale y(t) = x(t − t0) ←→ Y_k= X_ke^−j2πkf0t0 y(n) = x(n − n0) ←→ Y_k= X_ke^{−j2πkν0n0}

3) Riflessione y(·) = x(−·) ←→ Y_k= X−k

4) Derivazione y(t) = ^dx(t)_dt ←→ Y_k= j2πkf0X_k 5) Differenza prima y(n) = x(n) − x(n − 1) ←→ Y_k= (1 − e^−j2πkν0)X_k 6) Relazione di Parseval

1 T0

R

T0|x(t)|²dt =P+∞

k=−∞|X_k|² _N¹

0

P

<N0>|x(n)|² =P

k=<N0>|X_k|² Trasformata di Fourier

Sintesi x(t) =

Z +∞

−∞

X(f ) e^{j2πf t}df x(n) = Z 1/2

−1/2

X(ν) e^j2πνndν

Analisi X(f ) =

Z +∞

−∞

x(t) e^{−j2πf t}dt X(ν) =

+∞

X

n=−∞

x(n) e^−j2πνn

x(·) reale −→ X(−(·)) = X^∗(·) ←→







|X(−(·))| = |X(·)|

∠X(−(·)) = −∠X(·)

1) Linearit`a a₁x₁(·) + a₂x₂(·) ←→ a₁X₁(·) + a₂X₂(·)

2) Riflessione x(−(·)) ←→ X(−(·))

3) Cambiamento di scala x(at) ←→ _|a|¹X

f a



4) Espansione x_n

M

 ←→ X(M ν)

5) Decimazione x(M n) ←→ _M¹ PM −1

k=0 X ^ν−k_M
6) Convoluzione x(·) ∗ y(·) ←→ X(·)Y (·)

7) Prodotto x(t)y(t) ←→ X(f ) ∗ Y (f )

x(n)y(n) ←→ X(ν) ∗ Y (ν) =R¹₂

−¹₂ X(u)Y (ν − u) du 8) Derivazione d.d.t ^dk_dt^x(t)k ←→ (j2πf )^kX(f )

9) Differenza prima x(n) − x(n − 1) ←→ (1 − e^−j2πν)X(ν)

10) Derivazione d.d.f t^kx(t) ←→ 

j 2π

kd^kX(f ) df^k

11) Integrazione Rt

−∞x(α) dα ←→ ^{X(f )}_j2πf + ¹₂X(0)δ(f )

12) Somma corrente Pn

k=−∞x(k) ←→ _1−e^X(ν)−j2πν +¹₂X(0)eδ(ν) 13) Traslazione d.d.t x(t − t0) ←→ X(f ) e^{−j2πf t0}

x(n − n₀) ←→ X(ν) e^−j2πνn0 14) Traslazione d.d.f x(t) e^j2πf0t ←→ X(f − f₀)

x(n) e^j2πν0n ←→ X(ν − ν₀)

15) Modulazione x(t) cos(2πf₀t + θ) ←→ ¹₂X(f − f₀)e^jθ+¹₂X(f + f₀)e^−jθ x(t) cos(2πν0n + θ) ←→ ¹₂X(ν − ν0)e^jθ+ ¹₂X(ν + ν0)e^−jθ 16) Campionamento d.d.f P+∞

n=−∞x(t − nT ) ←→ P+∞

k=−∞

1

TX _T^k
δ f − _T^k
P+∞

k=−∞x(n − kn) ←→ PN −1 k=0

1

NX _N^k

eδ f − _N^k
17) Campionamento d.d.t P+∞

n=−∞x(nT )δ(t − nT ) ←→ P+∞

k=−∞

1

TX f − _T^k
P+∞

k=−∞x(kN )δ(n − kN ) ←→ PN −1 k=0 1

NX f −_N^k
18) Valore nell’origine X(0) =R+∞

−∞ x(t) dt x(0) =R+∞

−∞ X(f ) df X(0) =P+∞

n=−∞x(n) x(0) =R+1/2

−1/2 X(ν) dν 19) Relazione di Parseval

R+∞

−∞ |x(t)|²dt =R+∞

−∞ |X(f )|²df P+∞

n=−∞|x(n)|² =R+1/2

−1/2 |X(ν)|²dν

Trasformate notevoli (segnali tempo continuo)

1) Impulso rettangolare A rect _T^t

←→ AT sinc(f T ) 2) Impulso triangolare A Λ _T^t

←→ AT sinc²(f T ) 3) Esponenziale monolatero A e^−t/Tu(t) ←→ _{1+j2πf T}^AT

tⁿ⁻¹

(n−1)!e^−α/Tu(t) ←→ _{(α+j2πf )}¹ _n

4) Esponenziale bilatero A e^−|t|/T ←→ _{1+(2πf T )}^2T ₂ 5) Funzione sinc A sinc(2Bt) ←→ _2B^A rect

 f 2B



6) Funzione sinc² A sinc²(2Bt) ←→ _2B^A Λ

 f 2B



7) Impulso ideale δ(t) ←→ 1

8) Impulso ideale traslato δ(t − t₀) ←→ e^{−j2πf t0}

9) Segnale costante A ←→ A δ(f )

10) Gradino unitario u(t) ←→ _j2πf¹ +¹₂δ(f ) 11) Funzione signum sign(t) ←→ _jπf¹

12) Fasore A e^j2πf0t ←→ A δ(f − f0)

13) Segnale coseno A cos(2πf0t) ←→ ^A₂ δ(f − f0) +^A₂ δ(f + f0) 14) Segnale seno A sin(2πf0t) ←→ _2j^A δ(f − f0) −_2j^A δ(f + f0) 15) Treno di impulsi P+∞

n=−∞δ(t − nT ) ←→ _T¹ P+∞

k=−∞δ f − _T^k

Trasformate notevoli (segnali tempo discreto)

1) Impulso rettangolare R_N(n) ←→







N ν = 0, ±1, ±2, · · ·

sin(πνN )

sin(πν) e^{−j(N −1)πν} ν 6= 0, ±1, ±2, · · · 2) Impulso triangolare B_2N(n) ←→







N ν = 0, ±1, ±2, · · ·

sin²(πνN )

N sin²(πν)e^{−j(N +1)πν} ν 6= 0, ±1, ±2, · · · 3) Esponenziale monolatero aⁿu(n) ←→ ¹

1−ae^−j2πν

4) Esponenziale bilatero a^|n| ←→ 1−2a cos(2πν)+a^{1−a2 2}

5) Funzione sinc 2νcsinc(2νcn) ←→ rep₁h rect

ν 2νc

i

6) Funzione sinc² 2νcsinc²(2νcn) ←→ rep₁ h

Λ

 ν 2νc

i

7) Impulso ideale δ(n) ←→ 1

8) Impulso ideale traslato δ(n − n0) ←→ e^−j2πνn0

9) Segnale costante A ←→ A eδ(ν)

10) Gradino unitario u(n) ←→ _1−e−j2πν¹ +¹₂δ(ν)e

11) Funzione signum sign(n) ←→ ²

1−e^−j2πν

12) Fasore A e^j2πν0n ←→ A eδ(ν − ν0)

13) Segnale coseno A cos(2πν0n) ←→ ^A₂ eδ(ν − ν0) +^A₂ δ(ν + νe 0) 14) Segnale seno A sin(2πν₀n) ←→ _2j^Aδ(ν − νe ₀) −_2j^A eδ(ν + ν₀) 15) Treno di impulsi P_+∞

k=−∞δ(n − kN ) ←→ _N¹ P_+∞

k=−∞δ ν −_N^k

Filtri RC e CR

1) filtro RC h(t) = _RC¹ e^{−RCt u(t)} ←→ H(f ) = _{1+j2πf RC}¹ 2) filtro CR h(t) = δ(t) − _RC¹ e^{−RCt u(t)} ←→ H(f ) = _{1+j2πf RC}^{j2πf RC}

Filtraggio di segnali periodici

1) x(t) = cos(2πf₀t) −→ y(t) = |H(f₀)| cos(2πf₀t + ∠H(f0)) 2) x(t) = A₀+ 2P

nA_kcos(2πkf₀t + θ_k) −→ y(t) = A₀|H(0)| + 2P

nA_k|H(kf₀)| cos(2πkf₀t + θ_k+ ∠H(kf0))

Densit`a spettrale per segnali di potenza aperiodici (1) e periodici (2) e segnali di energia (3)

(1) S_x(f ) = lim_{T →∞T}¹|X_T(f )|² (2) S_x(f ) =P+∞

k=−∞|X_k|²δ f − _T^k

0



(3) S_x(f ) = |X(f )|² La trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione `e la densit`a spettrale R_x(τ ) ←→ Sx(f )