Esercizi svolti di teoria dei segnali

Alessia De Rosa Mauro Barni

Novembre 2003

Introduzione ii

1 Caratteristiche dei segnali determinati 1

2 Sviluppo in Serie di Fourier di segnali periodici 11

3 Trasformata di Fourier 23

4 Sistemi Lineari Tempo Invarianti 44

5 Campionamento 56

6 Processi stocastici 69

i

Obiettivo di queste dispense `e quello di aiutare lo studente che affronta l’esame di Teoria dei Segnali ad applicare i concetti teorici (che si suppone abbia studiato !) alla soluzione di esercizi. L’importanza di tale passaggio risiede nel fatto che solo avendo capito a fondo i concetti teorici `e possibile utilizzarli per risolvere gli esercizi: in altre parole la risoluzione degli esercizi `e una misura di quanto lo studente abbia davvero compreso la materia.

Le dispense sono organizzate nel seguente modo:

• un capitolo per ciascuno degli argomenti trattati durante il corso (Processi Stocastici esclusi);

• indicazione degli argomenti trattati all’inizio di ogni capitolo;

• differenti tipologie di esercizi: esercizi svolti in modo dettagliato; esercizi svolti pi` u rapidamente; esercizi proposti da svolgere.

Per chiarezza in Tabella 1 sono stati riportati i principali simboli che verranno utilizzati nel corso degli esercizi, e la loro spiegazione. Se da una parte si `e cercato di rifarsi alla simbologia solitamente usata durante il corso di Teoria dei Segnali, dall’altra parte si presuppone che il lettore vada al sodo senza lasciarsi sviare da una differente simbologia!

Si riportano di seguito alcune importanti formule di trigonometria, che possono risultare utili:

cos(t ₁ ± t ₂ ) = cos t ₁ cos t ₂ ∓ sin t ₁ sin t ₂ sin(t ₁ ± t ₂ ) = sin t ₁ cos t ₂ ± sin t ₂ cos t ₁ cos t ₁ cos t ₂ = 1

2 [cos(t ₁ − t ₂ ) + cos(t ₁ + t ₂ )]

sin t ₁ sin t ₂ = 1

2 [cos(t ₁ − t ₂ ) − cos(t ₁ + t ₂ )]

sin t ₁ cos t ₂ = 1

2 [sin(t ₁ − t ₂ ) + sin(t ₁ + t ₂ )]

Inoltre, viene fatto un breve richiamo sulla rappresentazione di un numero complesso.

Un generico numero complesso c pu`o essere espresso mediante la sua parte reale e la sua

ii

N insieme dei numeri naturali Z insieme dei numeri interi relativi

<{·} parte reale di un numero/segnale complesso

={·} parte immaginaria di un numero/segnale complesso k · k ampiezza di un numero/segnale complesso

∠· fase di un numero/segnale complesso

| · | valore assoluto di un numero/segnale reale

F{·} Trasformata di Fourier

­ relazione tra un segnale e la relativa Trasformata di Fourier

E[·] operatore valore atteso

H{·} Trasformata di Hilbert

Tabella 1: Tabella con i simboli pi` u usati e la loro spiegazione

parte immaginaria oppure mediante la sua ampiezza e fase:

c =

 



<{c} + j={c}

kcke ^{j \c}

Questa seconda rappresentazione (detta forma esponenziale) risulta particolarmente utile per eseguire calcoli sui numeri complessi. Si ricorda che un generico esponenziale complesso pu`o essere scritto come:

e ^±jφ = cos(φ) ± j sin(φ) da cui si ricavano facilmente le formule di Eulero:

cos(φ) = e ^+jφ + e ^−jφ 2 sin(φ) = e ^+jφ − e ^−jφ

2j

Posto ρ = kck e φ = ∠c, il numero complesso c si pu`o quindi scrivere come:

c = ρe ^jφ = ρ[cos(φ) + j sin(φ)]

Inoltre si ricavano facilmente le seguenti relazioni:

c ₁ · c ₂ = ρ ₁ e ^jφ

¹

· ρ ₂ e ^jφ

²

= (ρ ₁ ρ ₂ )e ^j(φ

¹

^+φ

²

⁾ c ₁ /c ₂ =

³ ρ ₁ e ^jφ

¹

´ /

³ ρ ₂ e ^jφ

²

´

= (ρ ₁ /ρ ₂ ) e ^j(φ

¹

^−φ

²

⁾

cio`e nel caso di un prodotto (o rapporto) tra due numeri complessi, l’ampiezza del prodotto

(o rapporto) `e data dal prodotto (o rapporto) delle ampiezze, mentre la fase `e data dalla

somma (o differenza) delle fasi.

Infine si riportano di seguito la definizione e l’andamento grafico (Figura 1, Figura 2 e Figura 3) di alcuni segnali importanti:

rect(x) ,

 

 



 

 

1 |x| < 1/2 1/2 |x| = 1/2 0 altrimenti

sinc(x) , sin(πx) πx

tr(x) ,

 



1 − |x| |x| ≤ 1 0 altrimenti

sgn(x) ,

 

 



 

 

−1 x < 0 1 x > 0 0 x = 0

u(x) ,

 

 



 

 

0 x < 0 1 x > 0 1/2 x = 0

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−0.5 0 0.5 1 1.5

x

rect(x)

(a)

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−0.5 0 0.5 1 1.5

x

sinc(x)

(b)

Figura 1: (a) rect(x) e (b) sinc(x)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−0.5 0 0.5 1 1.5

x

tr(x)

(a)

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

x

sgn(x)

(b) Figura 2: (a) tr(x) e (b) sgn(x)

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−0.5 0 0.5 1 1.5

x

u(x)

Figura 3: u(x)

Concludendo, invitiamo gli studenti che utilizzeranno queste dispense a segnalare agli

autori eventuali errori presenti in esse. Nonostante l’attenzione con cui si pu`o curare la

stesura di un testo, infatti, non `e mai da escludersi la possibilit`a che in esso siano presenti

degli errori !

Caratteristiche dei segnali determinati

Problemi affrontati nel presente capitolo:

• rappresentare graficamente un segnale;

• determinare se un segnale `e a energia o potenza finita;

• calcolare l’energia e/o la potenza di un segnale;

• scrivere l’espressione analitica e rappresentare graficamente un segnale, e la forma ritardata, invertita, etc. del segnale stesso;

• analizzare le propriet`a di simmetria di un segnale.

Esercizio 1

Si consideri il segnale:

s(t) = rect

µ t − 2 4

¶ e ^−2t e si risponda alle seguenti domande:

a) rappresentare graficamente il segnale;

b) calcolare l’energia e la potenza media del segnale e discutere se s(t) `e un segnale a energia finita o a potenza media finita (NOTA: da ora in avanti per potenza si intender`a sempre la potenza media e non la potenza istantanea);

c) scrivere l’espressione analitica e rappresentare graficamente i segnali:

z(t) = −s(−t) v(t) = s(t + 4)

1

Soluzione 1

a) Nelle figure 1.1 (a) e (b) sono riportati rispettivamente il segnale s ₁ (t) = rect(t), centrato nell’origine, con durata 1 e ampiezza 1 e il segnale s ₂ (t) = rect((t − 2)/4) pari a s ₁ (t) traslato in +2, con durata 4 e ampiezza 1. Nella figura 1.2 (a) `e riportato il segnale s <sub>3</sub> (t) = e <sup>−2t</sup> , esponenziale decrescente che si estende tra −∞ e +∞; ed infine nella figura 1.2 (b) `e riportato il segnale s(t), ovvero l’esponenziale decrescente e ^−2t troncato tra [0, 4].

−1 0 1 2 3 4 5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

t s 1(t)

(a)

−1 0 1 2 3 4 5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

t s 2(t)

(b) Figura 1.1: (a) s

1

(t) = rect(t); (b) s

2

(t) = rect ¡

_t−2

4

¢

−1 0 1 2 3 4 5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

t s 3(t)

(a)

−1 0 1 2 3 4 5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

t

s(t)

(b) Figura 1.2: (a) s

₃

(t) = e

^−2t

; (b) s(t) = rect ¡

_t−2

4

¢ e

^−2t

b) Per il calcolo dell’energia e della potenza si applicano le definizioni:

E _s =

+∞ Z

−∞

ks(t)k ² dt = Z +∞

−∞

|s(t)| ² dt

P _s = lim

T →+∞

1 T

+T /2 Z

−T /2

ks(t)k ² dt = lim

T →+∞

1 T

+T /2 Z

−T /2

|s(t)| ² dt

dove | · | viene sostituito a k · k nel caso di segnali reali. Si verifica facilmente che il segnale s(t) `e un segnale a energia finita, cio`e E _s 6= ∞, E _s 6= 0, e di conseguenza a potenza nulla. Infatti:

E _s =

+∞ Z

−∞

|s(t)| ² dt = Z 4

0

e ^−4t dt = e ^−4t

−4

¯ ¯

¯ ¯

4 0

= 1 − e ⁻¹⁶

4 ' 1

4 6= ∞

P _s = lim

T →+∞

1 T

+T /2 Z

−T /2

|s(t)| ² dt = lim

T →+∞

1 T

Z 4

0

e ^−4t dt =

= lim

T →+∞

1

T E _s = 0 essendo E _s finita.

Nota: considerando il segnale s(t) = e ^−2t , questo risulta essere n´e un segnale a energia finita, n´e a potenza finita, infatti:

E _s = Z +∞

−∞

|e ^−2t | ² dt = Z +∞

−∞

e ^−4t dt =

= e ^−4t

−4

¯ ¯

¯ ¯

+∞

−∞

= lim

T →+∞

e ^−T − e ^T

−4 = +∞

P _s = lim

T →+∞

1 T

+T /2 Z

−T /2

e ^−4t dt = lim

T →+∞

e ^−4t

−4T

¯ ¯

¯ ¯

+T /2

−T /2

=

= lim

T →+∞

e ^−2T − e ^2T

−4T = +∞,

dato che per T → +∞ e ^−2T tende a 0, e e ^2T tende a +∞ molto pi` u rapidamente di 4T .

c) Le espressioni analitiche dei segnali z(t) e v(t) si ottengono come:

z(t) = − s(−t) = −

· rect

µ (−t) − 2 4

¶

e ^−2(−t)

¸

= −rect

µ −t − 2 4

¶ e ^2t v(t) =s(t + 4) = rect

µ (t + 4) − 2 4

¶

e ^−2(t+4) = rect

µ t + 2 4

¶

e ^−2(t+4)

Per disegnare z(t) e v(t) si possono considerare le espressioni analitiche trovate, oppure notare che il segnale z(t) non `e altro che la riflessione rispetto all’origine e l’inversione del segnale s(t), mentre il segnale v(t) `e il segnale s(t) anticipato di 4.

In figura 1.3 sono riportati i due segnali.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

t

z(t)

(a)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

t

v(t)

(b) Figura 1.3: (a) z(t) = −s(−t); (b) v(t) = s(t + 4)

Esercizio 2

Si consideri il segnale:

s(t) = sgn µ

a · cos µ 2π

T ₀ t

¶¶

e si risponda alle seguenti domande:

a) rappresentare graficamente il segnale;

b) calcolare l’energia e la potenza del segnale e discutere se `e un segnale a energia finita o a potenza finita.

Soluzione 2

a) Il segnale a·cos((2π/T ₀ )t) `e un segnale periodico di periodo T <sub>0</sub> e ampiezza a. Ponendo ad esempio T <sub>0</sub> = 4 e a = 0.3 l’andamento del cos `e riportato in figura 1.4 (linea tratteggiata). La funzione sgn vale +1 quando l’argomento `e > 0 e -1 quando `e < 0.

Il segnale s(t) risulta quindi quello riportato in figura 1.4 (linea continua).

b) I segnali periodici sono segnali a energia infinita; indicando con T ₀ il periodo del

−6 −4 −2 0 2 4 6

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

t

s(t)

Figura 1.4: (linea tratteggiata) a · cos((2π/T

0

)t) con T

0

= 4 e a = 0.3; (linea continua) s(t)

segnale, dalla definizione si ottiene:

E _s =

+∞ Z

−∞

|s(t)| ² dt = lim

T →+∞

+T /2 Z

−T /2

|s(t)| ² dt =

= lim

n→+∞

+nT Z

0

/2

−nT

0

/2

|s(t)| ² dt = lim

n→+∞ n ·

+T Z

0

/2

−T

0

/2

|s(t)| ² dt = ∞

avendo supposto R _+T

₀

_/2

−T

0

/2 |s(t)| ² dt 6= 0. Il valore della potenza invece pu`o essere calcolato su un periodo; partendo sempre dalla definizione si ha infatti:

P _s = lim

T →+∞

1 T

+T /2 Z

−T /2

|s(t)| ² dt = lim

n→+∞

1 nT ₀

+nT Z

0

/2

−nT

0

/2

|s(t)| ² dt =

= lim

n→+∞

1 nT ₀ · n ·

+T Z

0

/2

−T

0

/2

|s(t)| ² dt = 1 T ₀ ·

+T Z

0

/2

−T

0

/2

|s(t)| ² dt

Nel caso particolare dell’esercizio proposto la potenza allora risulta:

P _s = 1 T ₀ ·

+T Z

0

/2

−T

0

/2

|s(t)| ² dt = 1 T ₀ ·

+T Z

0

/2

−T

0

/2

1dt = 1

e quindi il segnale in esame risulta a potenza finita.

Esercizio 3

Si consideri il segnale:

s(t) = 2tr µ t

4

¶

e si risponda alle seguenti domande:

a) rappresentare graficamente il segnale;

b) calcolare l’energia e la potenza del segnale e discutere se `e un segnale a energia finita o a potenza finita;

c) scrivere l’espressione analitica e rappresentare graficamente il segnale:

v(t) = s(2t)

Soluzione 3

a) In figura 1.5 `e riportato il grafico del segnale s(t), ovvero un triangolo centrato nell’origine, di durata 8, [−4, 4], e ampiezza 2.

−4 −2 0 2 4

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

t

s(t)

Figura 1.5: s(t)

b) Il segnale risulta essere a energia finita, infatti:

E _s = 2 · Z 4

0

µ

− 1 2 t + 2

¶ ₂

dt = 2 · µ t ³

12 − t ² + 4t

¶¯ ¯

¯ ¯

4 0

= 32 3 e quindi a potenza nulla P _s = 0.

c) Il segnale v(t) risulta:

v(t) = 2tr µ t

2

¶

e il suo andamento grafico `e riportato in figura 1.6. Si noti come il segnale v(t)

non sia altro che una compressione del segnale s(t): infatti, una moltiplicazione

dell’argomento per un fattore di scala > 1 implica una compressione della scala dei

tempi del segnale, mentre se il fattore di scala `e < 1 allora si ha una dilatazione.

−4 −2 0 2 4

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

t

v(t)

Figura 1.6: (linea continua) v(t) = s(2t); (linea tratteggiata) s(t)

Esercizio 4

Studiare le propriet`a di simmetria del segnale s(t) e scomporlo nella sua parte pari e parte dispari:

s(t) = t · u(t)

Soluzione 4

Un segnale reale `e definito pari o dispari se soddisfa le seguenti relazioni:

s(t) pari ⇐⇒ s(t) = s(−t) ∀t s(t) dispari ⇐⇒

 



s(t) = −s(−t) ∀t, t 6= 0 s(t) = 0 t = 0 Nel caso del segnale t · u(t), s(−t) vale:

s(−t) = −t · u(−t)

e quindi non soddisfa nessuna delle precedenti relazioni dato che u(−t) 6= u(t). Il segnale perci`o non presenta propriet`a di simmetria.

Per scomporre un segnale nella sua parte pari e parti dispari si procede nel seguente modo:

s _p (t) = s(t) + s(−t) 2 s _d (t) = s(t) − s(−t)

2

e si verifica facilmente che il segnale s(t) si riottiene come somma dei segnali s _p (t) e s _d (t).

Nel caso dell’esercizio proposto risulta quindi:

s _p (t) = t · u(t) − t · u(−t)

2 = t

2 · [u(t) − u(−t)] = |t|

2 s _d (t) = t · u(t) + t · u(−t)

2 = t

2 · [u(t) + u(−t)] = t 2

Nelle figure 1.7(b) e 1.8(b) sono riportati s _p (t) e s _d (t) rispettivamente, mentre in figura 1.9(b) `e riportato il segnale s(t) ottenuto come somma di s _p (t) e s _d (t) (figura 1.9(a)).

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−2

−1 0 1 2

t

(a)

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−2

−1 0 1 2

t s

p

(t)

(b)

Figura 1.7: (a)

₂^t

(linea continua) e [u(t) − u(−t)] (linea tratteggiata) e (b) segnale s

p

(t) =

^|t|₂

risultante

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−2

−1 0 1 2

t

(a)

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−2

−1 0 1 2

t s

d

(t)

(b)

Figura 1.8: (a)

₂^t

(linea tratteggiata) e [u(t) + u(−t)] (linea continua) e (b) segnale s

d

(t) =

₂^t

risultante

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3 4

t s d(t) s p(t)

(a)

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3 4

t

s(t)

(b)

Figura 1.9: (a) s

p

(t) (linea tratteggiata) e s

d

(t) (linea continua) e (b) segnale s(t) = t · u(t)

Esercizio 5

Disegnare il grafico del seguente segnale:

s(t) = X ∞ n=−∞

(−1) ⁿ tr(t − n)

Soluzione 5

Il segnale tr(t) `e un triangolo di durata 2 [-1,1] e ampiezza 1 (figura 1.10(a)). La somma- toria P

n tr(t − n) `e la ripetizione del triangolo con passo 1 (figura 1.10(b)). Il termine (−1) <sup>n</sup> va a modificare il segno dei triangoli ripetuti per n dispari (figura 1.11(a)). Infine il grafico del segnale si ottiene sommando punto a punto le due forme d’onda in figura 1.11(a) , ottenendo cos`ı l’andamento riportato in figura 1.11(b).

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−1 0 1

t

tr(t)

(a)

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−1 0 1

t

tr(t−n)

(b) Figura 1.10: (a) tr(t) e (b) P

n

tr(t − n)

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−1 0 1

t (−1)n tr(t−n)

(a)

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−1 0 1

t

s(t)

(b) Figura 1.11: (a) P

n

tr(t − n) per n pari (linea continua) e P

n

−tr(t − n) per n dispari (linea tratteggiata) e (b) grafico finale del segnale s(t) = P

_∞

n=−∞

(−1)

ⁿ

tr(t − n)

Altri esercizi

1. Disegnare il grafico dei seguenti segnali:

a) rect(t) − rect(t − 1) b) tr(t) · rect(t)

c) P _∞

n=−∞ (−1) ⁿ rect ¡

t − ³ ₄ n ¢ d) 1 + sgn(1 − t)

e) sinc(t) · sgn(t) f) P _∞

n=1 1

2

ⁿ

rect ¡ _t

n

¢

2. Calcolare energia e potenza dei seguenti segnali:

a) A cos(2πf ₀ t + φ ₀ ) + B cos(2πf ₁ t + φ ₁ ) b) e ^−t cos(t)u(t)

c) e ^−t cos(t) d) e ^−t · rect ¡ _t−1

2

¢ − e ^−t · rect ¡ _t−3

2

¢

3. Studiare la simmetria dei seguenti segnali e scomporli in parte pari e parte dispari:

a) e ^−t u(t) − e ^−t u(−t) b) e ^−|t|

c)

 



|t| t t 6= 0, 0 t = 0.

d) sen(t) + cos(t)

Sviluppo in Serie di Fourier di segnali periodici

Problemi affrontati nel presente capitolo:

• calcolare i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier;

• scrivere l’espressione analitica dello spettro di ampiezza e di fase;

• rappresentare graficamente lo spettro di ampiezza e di fase;

• applicazione del teorema di Parseval per la serie di Fourier.

Esercizio 1

Si consideri il segnale dente di sega rappresentato in figura 2.1 e si risponda alle seguenti domande:

a) calcolare i coefficienti della serie di Fourier;

b) scrivere l’espressione analitica dello spettro di ampiezza e di fase;

c) rappresentare graficamente lo spettro di ampiezza e di fase.

Soluzione 1

In generale un segnale periodico pu`o essere visto come la ripetizione, con passo T , del corrispondente segnale troncato nel periodo [−T /2, T /2]. Nel caso specifico del segnale dente di sega, il segnale troncato risulta essere:

s _T (t) = A

T /2 t |t| < T /2 riportato anche in figura 2.1, dove si `e posto T = 6 e A = 2.

11

−15 −12 −9 −6 −3 0 3 6 9 12 15

−3

−2

−1 0 1 2 3

t

s(t)

A

T

Figura 2.1: Segnale s(t) dente di sega con periodo T = 6 e ampiezza A = 2

a) Per calcolare lo sviluppo in serie di Fourier si considera la forma esponenziale della serie e cio`e:

 



s(t) = P _∞

n=−∞ c _n e ^j2πn

^T1

^t segnale periodico con periodo T c _n = _T ¹ R _{T /2}

−T /2 s(t)e ^−j2πn

^Tt

dt coefficienti della serie di Fourier Si calcolano quindi i coefficienti c _n , per n 6= 0:

c _n = 1 T

Z T /2

−T /2

s _T (t)e ^−j2πn

^T1

^t dt = 1 T

A T /2

Z T /2

−T /2

te ^−j2πn

^T1

^t dt =

= 2A T ²

 



  t e ^−j2πn

^T1

^t

−j2πn _T ¹

¯ ¯

¯ ¯

¯

T /2

−T /2

− Z T /2

−T /2

e ^−j2πn

^T1

^t

−j2πn _T ¹ dt

 



  =

= 2A T ²

 

 T

2

e ^−j2π

^TnT2

+ e ^−j2π

^TnT2

−j2π _T ⁿ + 1 j2π ⁿ _T

e ^−j2π

^nT

^t

−j2π ⁿ _T

¯ ¯

¯ ¯

¯

T /2

−T /2

 

 =

= 2A T ²

(

− T

j2π _T ⁿ cos(nπ) + e ^−j2π

^TnT2

− e ^j2π

^nTT2

(2π _T ⁿ ) ²

)

=

= 2A T ²

½

− T ²

j2πn cos(nπ) + −2j sin(nπ) (2π _T ⁿ ) ²

¾

= j A

nπ cos(nπ)

Il coefficiente c ₀ rappresenta il valor medio del segnale s _T (t), che in questo caso, trattandosi di un segnale dispari, risulta nullo, infatti:

c ₀ = 1 T

Z T /2

−T /2

s _T (t)dt = 2A T ²

Z T /2

−T /2

t dt = 0

(l’integrale di un segnale dispari su un periodo produce un risultato pari a 0). I

coefficienti c _n possono essere quindi espressi come:

c _n =

 



0 n = 0

j ^A _π ⁽⁻¹⁾ _n

ⁿ

n 6= 0 essendo cos(nπ) = (−1) ⁿ .

b) In generale i coefficienti c _n della serie di Fourier sono complessi. Un generico numero complesso c pu`o essere espresso mediante la sua parte reale e parte immaginaria oppure mediante la sua ampiezza e fase:

c =

 



<{c} + j={c}

kcke ^j\c

Solitamente per rappresentare graficamente la serie di Fourier, si considera la rap- presentazione in ampiezza e fase, ottenendo cos`ı lo spettro di ampiezza e lo spettro di fase del segnale periodico s(t). Nel caso specifico dell’esercizio si ha:

c _n = j A π

(−1) ⁿ

n = A

π|n| sign

½ (−1) ⁿ n

¾ j e ricordando che ±j = e ^±j

^π2

= cos ^π ₂ ± j sin ^π ₂ , si arriva a:

kc _n k = A π|n|

∠c _n = sign

½ (−1) ⁿ n

¾ π 2

c) Infine, per disegnare gli spettri di ampiezza e di fase basta riportare i valori assunti rispettivamente da kc _n k e ∠c _n al variare di n, come mostrato in figura 2.2. Gli

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

−0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

n

Ampiezza

(a)

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

n

Fase

(b)

Figura 2.2: (a) Spettro di ampiezza e (b) spettro di fase del segnale s(t) dente di sega (T = 6,

A = 2) in funzione del campione n

−3 −2 −1 0 1 2 3

−0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

f

Ampiezza

(a)

−3 −2 −1 0 1 2 3

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

f

Fase

(b)

Figura 2.3: (a) Spettro di ampiezza e (b) spettro di fase del segnale s(t) dente di sega (T = 6, A = 2) in funzione della frequenza f

stessi grafici possono essere riportati anche in funzione della frequenza, ricordando che le righe spettrali sono poste nei multipli interi della frequenza fondamentale:

nf ₀ = n/T (figura 2.3)).

Nota: il segnale considerato s(t) `e un segnale reale e dispari. I coefficienti della serie di Fourier ottenuti sono una sequenza di campioni immaginari puri. Si pu`o ricavare facilmente che la serie di Fourier corrispondente al segnale s(t) pu`o essere espressa come serie di soli seni:

s(t) = X ∞ n6=0,n=−∞

j A π

(−1) ⁿ

n e ^j2π

^nT

^t =

= X ∞ n6=0,n=−∞

j A π

(−1) ⁿ n

h

cos(2π n

T t) + j sin(2π n T t)

i

=

= −2A π

X ∞ n=1

(−1) ⁿ

n sin(2π n T t)

Inoltre gli spettri di ampiezza e di fase hanno andamento rispettivamente pari e dispari: i campioni della serie di Fourier godono quindi della simmetria Hermetiana.

Infine i campioni kc _n k vanno a 0 come 1/n, e questo `e in accordo col fatto che il

segnale s(t) presenta delle discontinuit`a.

Esercizio 2

Si consideri il segnale s(t) onda triangolare rappresentato in figura 2.4 e si risponda alle seguenti domande:

a) calcolare i coefficienti della serie di Fourier;

b) scrivere l’espressione analitica e rappresentare graficamente gli spettri di ampiezza e di fase;

c) calcolare i coefficienti della serie di Fourier del segnale s ⁰ (t) = s(t) − A/2;

d) calcolare i coefficienti della serie di Fourier del segnale s ⁰⁰ (t) = s(t − τ /2).

0 0

t

s(t)

τ /2

−τ /2 T A

τ

T A

Figura 2.4: Segnale s(t) onda triangolare con periodo T , durata τ , e ampiezza A

Soluzione 2

Il segnale periodico s(t) `e la ripetizione, con passo T , del triangolo di durata τ e ampiezza A:

s _T (t) =

 

 A £

1 − ² _τ |t| ¤

|t| < ^τ ₂

0 altrimenti.

a) Calcoliamo i coefficienti c _n della serie di Fourier, per n 6= 0:

c _n = 1 T

Z T /2

−T /2

s _T (t)e ^−j2π

^nT

^t dt = A T

Z τ /2

−τ /2

· 1 − 2

τ |t|

¸

e ^−j2π

^Tn

^t dt =

= A T

 



  Z τ /2

−τ /2

e ^−j2π

^nT

^t dt + Z 0

−τ /2

2

τ te ^−j2π

^Tn

^t dt − Z τ /2

0

2

τ te ^−j2π

^Tn

^t dt

 



  =

= A T

e ^−j2π

^nT

^t

−j2π _T ⁿ

¯ ¯

¯ ¯

¯

τ /2

−τ /2

+ A T 2 τ



t e ^−j2π

^nT

^t

−j2π _T ⁿ

¯ ¯

¯ ¯

¯

0

−τ /2

− e ^−j2π

^nT

^t (−j2π ⁿ _T ) ²

¯ ¯

¯ ¯

¯

0

−τ /2



 −

− A T 2 τ



t e ^−j2π

^nT

^t

−j2π _T ⁿ

¯ ¯

¯ ¯

¯

τ /2

0

− e ^−j2π

^nT

^t (−j2π ⁿ _T ) ²

¯ ¯

¯ ¯

¯

τ /2

0



 =

= A T

"

e ^−j2π

^Tnτ2

− e ^j2π

^Tnτ2

−j2π _T ⁿ

# + A

T 2 τ τ 2

"

e ^j2π

^nTτ2

−j2π _T ⁿ

#

− A T 2 τ

"

1 − e ^j2π

^Tnτ2

(−j2π _T ⁿ ) ²

#

−

− A T 2 τ τ 2

"

e ^−j2π

^Tnτ2

−j2π ⁿ _T

# + A

T 2 τ

"

e ^−j2π

^nTτ2

− 1 (−j2π ⁿ _T ) ²

#

=

= A T 2 τ

"

2 cos ¡ 2π ⁿ _T ^τ ₂ ¢

− 2 (−j2π _T ⁿ ) ²

#

= A T 4 τ

£ −2 sin ² ¡ π _T ^{n τ} ₂ ¢¤

(−j2π _T ⁿ ) ² = A T τ 2

"

sin ¡ π _T ^{n τ} ₂ ¢ π _T ^{n τ} ₂

# ₂

Ricordando che il segnale sinc(x) `e definito come sinc(x) = sin(πx)

πx i coefficienti c _n si possono anche riscrivere come:

c _n = A T τ

2 sinc ² ³ n T τ 2

´

Il coefficiente c ₀ in questo caso assume un valore diverso da 0 essendo il segnale s _T (t) a valor medio non nullo; in particolare si pu`o facilmente ricavare:

c ₀ = A T τ 2

sia calcolando il valor medio del segnale s _T (t), (cio`e l’area del triangolo Aτ /2 diviso il periodo T ), sia considerando che sinc(0)=1. In figura 2.5 sono riportati gli andamenti delle funzioni sinc(x) e sinc ² (x) rispettivamente.

b) Gli andamenti degli spettri di ampiezza e di fase del segnale s(t) con T = 6, τ = 4 e A = 2, sono riportati in figura 2.6; i coefficienti c _n in questo caso sono una sequenza di campioni reali e positivi, per cui si ha:

kc _n k = c _n = A T τ

2 sinc ² ³ n T τ 2

´

∠c _n = 0

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−0.5 0 0.5 1 1.5

x

sinc(x)

(a)

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−0.5 0 0.5 1 1.5

x sinc2 (x)

(b) Figura 2.5: (a) sinc(x) e (b) sinc

²

(x)

cio`e lo spettro di fase assume valore costante pari a 0, mentre lo spettro di ampiezza segue l’andamento del sinc ² (·).

−3 −2 −1 0 1 2 3

−0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

f

Ampiezza

(a)

−3 −2 −1 0 1 2 3

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

f

Fase

(b)

Figura 2.6: (a) Spettro di ampiezza e (b) spettro di fase del segnale s(t) onda triangolare, con T = 6, τ = 4 e A = 2, in funzione della frequenza f

Nota(1): per le propriet`a del segnale sinc (o equivalentemente del segnale sinc ² ) vale che:

sinc(x) = sin(πx) πx

 

 



 

 

= 1 x = 0

= 0 x intero, x 6= 0 6= 0 altrimenti

In particolare, quindi, i coefficienti c _n assumono valore nullo quando l’argomento del sinc ² `e un intero diverso da 0:

n T τ

2 = k, k ∈ Z, k 6= 0 e quindi per n intero:

n = k 2T

τ , k ∈ Z, k 6= 0

−15 −10 −5 0 5 10 15

−1 0 1 2 3

t

s(t)

(a)

−3 −2 −1 0 1 2 3

−0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

f

Ampiezza

(b)

Figura 2.7: (a) Segnale s(t) onda triangolare con periodo T = 10 (τ = 4, A = 2) e (b) relativo spettro di ampiezza in funzione della frequenza f

Si noti che potrebbero anche non esistere coefficienti a valore nullo nel caso in cui la precedente relazione non produca mai un numero intero, e cio`e se: k <sup>2T</sup> <sub>τ</sub> ∈ Z, ∀k. / Nota(2): se si considera un periodo T = 10 anzich´e T = 6, si ottengono gli andamenti per s(t) e c <sub>n</sub> riportati in figura 2.7. Laddove si `e avuto un aumento del periodo T che ha provocato un distanziamento maggiore tra le ripetizioni del triangolo, si `e avuto un infittimento delle righe spettrali. In altre parole, mentre l’inviluppo del sinc <sup>2</sup> `e rimasto invariato, la densit`a delle righe spettrali presenti `e aumentata. Ovviamente vale anche il viceversa: se si considera un periodo T ⁰ < T (triangoli pi` u ravvicinati), si avranno delle righe spettrali pi` u distanziate tra di loro.

Nota(3): il segnale considerato s(t) `e un segnale reale e pari; i coefficienti c <sub>n</sub> risultanti sono quindi una sequenza di campioni reali e pari. Si pu`o ricavare facilmente che in questo caso la serie di Fourier pu`o essere espressa come serie di soli coseni:

c _n = c ₀ + 2 X ∞

1

A T τ

2 sinc ² ³ n T τ 2

´ cos

³ 2π n

T t

´

Nota(4): i campioni kc _n k vanno a 0 come 1/n ² , e questo `e in accordo col fatto che il segnale `e continuo, ma con derivata prima discontinua.

c) Si consideri ora il segnale traslato s ⁰ (t) = s(t) − A/2, rappresentato in figura 2.8 (a):

si calcolano i coefficienti c ⁰ _n della Serie di Fourier:

c ⁰ _n = 1 T

Z T /2

−T /2

s ⁰ (t)e ^−j2π

^Tn

^t dt = 1 T

Z T /2

−T /2

·

s(t) − A 2

¸

e ^−j2π

^Tn

^t dt

= 1 T

Z T /2

−T /2

s(t)e ^−j2π

^Tn

^t dt − A 2

1 T

Z T /2

−T /2

e ^−j2π

^Tn

^t dt =

=c _n − A 2

1 T

e ^−j2π

^nT

^t

−j2π _T ⁿ

¯ ¯

¯ ¯

¯

T /2

−T /2

= c _n − A

2 sinc(n) Dalle propriet`a del segnale sinc si ricava facilmente che:

c ⁰ _n = c _n , ∀n 6= 0 c ⁰ ₀ = c ₀ − A

2 = A T τ 2 − A

2

cio`e la traslazione del segnale produce solo una variazione del valor medio, mentre i coefficienti della serie di Fourier rimangono inalterati.

−12 −6 0 6 12

−2

−1 0 1 2

t

s’(t)

(a)

−12 −6 0 6 12

−2

−1 0 1 2

t

s’(t)

(b)

Figura 2.8: (a) Segnale s(t) traslato: s

⁰

(t) = s(t) − A/2 con T = 6, τ = 4, e A = 2 e (b) nel caso particolare τ = T = 6

Nel caso particolare in cui τ = T , s ⁰ (t) presenta una particolare simmetria s ⁰ (t + T /2) = −s ⁰ (t) (figura 2.8 (b)): un tale segnale si dice alternativo. In questo caso i coefficienti c ⁰ _n assumono valore nullo per n pari, infatti:

c ⁰ _n = c _n = A

2 sinc ² ³ n 2

´

∀n 6= 0 c ⁰ _n = 0 ∀n pari, n 6= 0

c ⁰ ₀ = 0 n = 0

d) Si consideri infine il segnale ritardato s ⁰⁰ (t) = s(t − A/2), rappresentato in figura 2.9:

si calcolano i coefficienti c ⁰⁰ _n della Serie di Fourier:

c ⁰⁰ _n = 1 T

Z T /2

−T /2

s ⁰⁰ (t)e ^−j2π

^Tn

^t dt = 1 T

Z T /2

−T /2

s µ

t − A 2

¶

e ^−j2π

^nT

^t dt =

facendo un cambio di variabile t − A/2 = u

= 1 T

T /2−A/2 Z

−T /2−A/2

s(u)e ^−j2π

^nT

^u e ^−j2π

^TnA2

du =

=e ^−j2π

^nTA2

1 T

Z T /2

−T /2

s(u)e ^−j2π

^Tn

^u du = e ^−j2π

^TnA2

· c _n

Si conclude quindi che i coefficienti della serie di Fourier di un segnale s ⁰⁰ (t) ottenuto dal segnale s(t) ritardato temporalmente di una quantit`a t ₀ , sono i coefficienti c _n del segnale di partenza s(t) moltiplicati per esponenziali complessi e ^−j2π

^Tn

^t

⁰

.

−12 −6 0 6 12

−1 0 1 2 3

t

s’’(t)

Figura 2.9: Segnale s(t) ritardato: s

⁰⁰

(t) = s(t − A/2) con T = 6, τ = 4, e A = 2

Esercizio 3

Determinare la potenza media del segnale s(t):

s(t) = cos(2πf ₀ t)

sia applicando la definizione di potenza media, sia applicando il Teorema di Parseval per

la serie di Fourier.

Soluzione 3

Si ricordi che la potenza media di un segnale periodico pu`o essere definita come:

P _s = 1 T ₀ ·

+T Z

0

/2

−T

0

/2

ks(t)k ² dt

e che il Teorema di Parseval afferma che:

P _s = 1 T ₀ ·

+T Z

0

/2

−T

0

/2

ks(t)k ² dt = X ∞ n=−∞

kc _n k ²

Nel caso del cos(2πf ₀ t) risulta dalla definizione:

P _s = 1 T ₀ ·

+T Z

0

/2

−T

0

/2

cos ² µ 2π

T ₀ t

¶ dt =

= 1 T ₀ ·

+T Z

0

/2

−T

0

/2

· 1 2 + 1

2 cos µ 2π

T ₀ /2 t

¶¸

dt =

= 1 T ₀

1 2 ·

+T Z

0

/2

−T

0

/2

dt + 1 T ₀

1 2 ·

+T Z

0

/2

−T

0

/2

cos µ 2π

T ₀ /2 t

¶ dt = 1

2

essendo nullo l’integrale del coseno di periodo T ₀ /2 integrato sul periodo T ₀ . Applicando il Teorema di Parseval si ottiene molto pi` u rapidamente:

P _s = X ∞ n=−∞

kc _n k ² = µ 1

2

¶ ₂ +

µ 1 2

¶ ₂

= 1 2

Altri esercizi

Calcolare la Serie di Fourier dei seguenti segnali:

a) s(t) = t − btc, figura 2.10 (a);

b) s(t) = P _∞

n=−∞ (−1) ⁿ rect ¡

t − ¹ ₂ − n ¢

, figura 2.10 (b);

c) s(t) = P _∞

n=−∞ s _T (t − 2n), s _T (t) =

 



t ² |t| ≤ 1

0 altrimenti , figura 2.11(a);

d) s(t) = P _∞

n=−∞ s _T (t − 2πn), s _T (t) =

 

 



 

 

|1 − t| |t| < π π |t| = π 0 altrimenti

, figura 2.11(b);

e) s(t) = P _∞

n=−∞ s _T (t − 4n), s _T (t) =

 

 



 

 

2 − |t| −1 < t < 1

|t − 2| − 2 1 < t < 3 0 t = −1, 1, 3

, figura 2.12;

−2 −1 0 1 2

−2

−1 0 1 2

t

s(t)

(a)

−2 −1 0 1 2

−2

−1 0 1 2

t

s(t)

(b) Figura 2.10: (a) Esercizio a) ; (b) Esercizio b)

−2 −1 0 1 2

−2

−1 0 1 2

t

s(t)

(a)

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

−1 0 1 2 3 4 5

t

s(t)

(b) Figura 2.11: (a) Esercizio c); (b) Esercizio d)

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−2

−1 0 1 2

t

s(t)

Figura 2.12: Esercizio e)

Trasformata di Fourier

Problemi affrontati nel presente capitolo:

Calcolo di trasformate di Fourier:

• dalla definizione

• usando le propriet`a

• rappresentazione degli spettri di fase e di ampiezza Prodotto di convoluzione:

• esempi di calcolo

• relazione con la trasformata di Fourier

Uso del teorema di Parseval e Parseval generalizzato per:

• calcolo dell’energia di un segnale

• calcolo di un integrale

Calcolo di trasformate di Fourier per segnali periodici:

• teorema di Poisson

• calcolo dei coefficienti della serie e calcolo della trasformata

Esercizio 1

Si consideri il segnale s(t):

s(t) = e ^−αt u(t) con α > 0 e si risponda alle seguenti domande:

a) calcolare la trasformata di Fourier S(f );

23

b) calcolare la trasformata di Fourier del segnale s ₁ (t) = e ^3t u(−t);

c) calcolare la trasformata di Fourier del segnale s ₂ (t) = e ^−2t+4 u(t − 2);

d) calcolare la trasformata di Fourier del segnale s ₃ (t) = e ^−t/2 cos(100πt)u(t);

Soluzione 1

a) Il segnale s(t) `e riportato in figura 3.1. Si calcola la trasformata di Fourier partendo dalla definizione:

S(f ) = Z ∞

−∞

s(t)e ^{−j2πf t} dt =

= Z ∞

−∞

e ^−αt u(t)e ^{−j2πf t} dt = Z ∞

0

e ^−αt e ^{−j2πf t} dt

= e −(α+j2πf )t

−(α + j2πf )

¯ ¯

¯ ¯

¯

∞

0

= 1

α + j2πf

−2 −1 0 1 2

−0.5 0 0.5 1 1.5

t

s(t)

Figura 3.1: Segnale s(t) con α = 2

b) Per calcolare le trasformate dei segnali s ₁ (t), s ₂ (t) e s ₃ (t) si pu`o riapplicare la definizione oppure sfruttare le propriet`a fondamentali della trasformata di Fourier;

per il primo segnale risulta:

s ₁ (t) = e ^3t u(−t) = s(−t)| _α=3

cio`e s <sub>1</sub> (t) `e la riflessione del segnale s(t) con α = 3. La sua trasformata risulta:

S ₁ (f ) = S(−f )| _α=3 = 1 3 − j2πf visto che:

s(−t) ­ S(−f )