(1)Università di Parma – Facoltà di Ingegneria Prova Scritta di Controlli Automatici del 13 giugno 2002 PARTE 1 Sia dato il sistema retroazionato di figura dove 1 3

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Università di Parma – Facoltà di Ingegneria

Prova Scritta di Controlli Automatici del 13 giugno 2002 PARTE 1

Sia dato il sistema retroazionato di figura

dove 1 ₃

( ) ( 1) P s s

s

= −

+ .

1) Posto C s( )=Ktracciare il luogo delle radici dell’equazione caratteristica del sistema retroazionato per K ≥0e per K≤0determinando in particolare asintoti e radici doppie.

2) Posto C s( )= ∈ RK determinare il campo di stabilità in K affinché il sistema retroazionato sia asintoticamente stabile.

3) Posto C s( ) 1= tracciare il diagramma polare del guadagno di anello determinando in particolare le intersezioni del diagramma con l’asse reale. Studiare inoltre la stabilità col Criterio di Nyquist.

4) Scelto un controllore di struttura

3 2

( 1) ( ) 2000

( 10) ( )

C s s

s s a

= − +

+ + con a>0, determinare il campo dei valori in a per i quali i poli retroazionati del sistema hanno tutti parte reale minore o uguale a −1.

C(s) P(s)

+

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Prova Scritta di Controlli Automatici del 13 Giugno 2002 PARTE 2

Sia assegnato il seguente sistema retroazionato

c r

-

+ x y

( ^s ³ ⁺ ¹ )

s 2

1 +

s ^y ⁼ ^f ( ) ^x

con la presenza di un elemento non lineare y=f(x) la cui caratteristica simmetrica è descritta dal grafico

x y

2 -2.5 -8

8

-3.5 -2

-0.5

2.5 3.5

0.5

1) Determinare e graficare qualitativamente la funzione descrittiva della caratteristica non lineare;

2) Determinare il punto di equilibrio

(

x0,y0

)

del sistema nel caso di riferimento costante r = e r₀ mostrare che per tale punto il sistema retroazionato ammette una sola autooscillazione e che essa e’ stabile;

3) Determinare ampiezza e pulsazione dell’autooscillazione.

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Prova Scritta di Controlli Automatici del 13 giugno 2002

PARTE 3

Introdurre il concetto di stabilità ingresso-limitato uscita-limitata (ILUL) per un sistema lineare e stazionario ed enunciare un teorema di stabilità ILUL che utilizzi la funzione di risposta all’impulso associata al sistema. Si dimostri inoltre il suddetto teorema.

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Prova Scritta di Controlli Automatici del 13 giugno 2002 PARTE 4

Universit`a degli Studi di Parma - Facolt`a di Ingegneria Prova Scritta d Controlli Automatici del 13 Giugno 2002

Parte 3

Sia dato il sistema lineare e tempo invariante descritto dalle equazioni x = Ax + Bu˙

conA =







2 0 0

0 3 1

1 −1 1





e B =





 1 0 0





.

1) Calcolare la forma di jordanJ della matrice A determinando una trasformazione di stato T tale che J = T⁻¹AT .

2) Calcolare l’evoluzione libera del sistema partendo dallo stato inizialex0=





 0 1

−1





.

3)Determinare la matrice di raggiungibilit`a e verificare che il sistema `e completamente con- trollabile.

4)Assegnare mediante una retroazione stato-ingresso gli autovalori del sistema retroazionato a {−2, −2, −2}, scegliendo un opportuno vettore F .

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Prova Scritta di Controlli Automatici del 13 giugno 2002

PARTE 5

Sia dato un sistema dinamico descritto dall’equazione differenziale

* *

0 0

( ) ( )

n m

i i

a D y t b D u t

= =

∑ = ∑

Note le condizioni iniziali al tempo 0− e l’azione forzante u t( ) t≥0 determinare la trasformata di Laplace dell’uscita y t( ).