METODO DI DETUNING CON FATTORI DIVERSI

CAPITOLO 6

METODO DI DETUNING CON FATTORI DIVERSI

6.1 Introduzione

Le tecniche di taratura finora descritte presentano l’inconveniente di pesare tutti gli anelli del sistema allo stesso modo, poiché le costanti di tuning dei diversi anelli calcolati con le regole di Ziegler e Nichols vengono scalate tutte del medesimo fattore. Ciò potrebbe non consentire di tener conto correttamente delle interazioni fra le variabili del processo e non dare la possibilità, qualora si rendesse necessaria, di cambiare in modo significativo i valori dei coefficienti dei controllori P.I. imposti dagli elementi diagonali della matrice di trasferimento, in quanto calcolati come se quest’ultima avesse gli elementi non diagonali nulli.

Nel caso in cui alcune variabili del processo necessitino di un maggiore controllo rispetto ad altre, allora la metodologia potrebbe essere migliorata adottando diversi fattori di detuning per ciascun canale. Ad esempio, per l’anello dalle dinamiche meno rilevanti si potrebbe utilizzare un fattore di detuning maggiore rispetto a quello utilizzato per l’anello caratterizzato da dinamiche più significative.

L’idea è quindi di effettuare una ottimizzazione della funzione obiettivo su tante variabili quanti sono gli anelli del sistema, ciascuna corrispondente ad un fattore di detuning.

6.2 Descrizione dettagliata

Si descrive ora più in dettaglio la procedura proposta Essa prevede cinque passi fondamentali.

1. Calcolo dei parametri di Ziegler e Nichols per ogni singolo loop. Tali parametri devono essere calcolati secondo le formule:

2.2 2 1.2 ui ZNi ZNi ui K k π τ ω = =

dove K_ui e ω_ui rappresentano rispettivamente il guadagno e la pulsazione critici relativi all’i-esimo loop considerato indipendentemente dagli altri.

Tali valori critici vengono determinati utilizzando la tecnica di autotuning sviluppata da Astrom e Hagglung.

2. Si assumono quali valori iniziali per i fattori di detuning , dove i rappresenta l’indice dell’anello considerato.

(1)

( ) 1 F i =

3. I guadagni di tutti i controllori vengono calcolati dividendo i guadagni di Ziegler e Nichols

Ci

K

ZNi

( )

( )

K

k

F i

=

I parametri relativi alla componente integrale di tutti i controllori P.I.,

τ

moltiplicando i corrispondenti parametri di Ziegler e Nichols per F:

( )

( )

Ii ZNiF i k τ =τ

Dunque a ciascun anello viene applicato un diverso fattore di detuning.

Maggiore è il valore di esso, più il sistema è stabile, ma la risposta al gradino diventa più lenta. I parametri che si ottengono in questo modo realizzano un compromesso fra robustezza e velocità nei sistemi multivariabili.

I fattori devono essere vincolati a restare maggiori di 1 durante tutti i passi di iterazione. 4. Si calcola il valore di una delle seguenti funzioni obiettivo:

1 0

| ( ) |

e t

dt

∑∫

nel caso in cui si utilizzi il criterio IAE o alternativamente:

1 0

| ( ) |

t e t

dt

∑∫

per il criterio ITAE , oppure (ISE):

2 1 0

( )

e

t dt

∑∫

∑∫

∑∫

dove m rappresenta il numero degli anelli che caratterizzano il sistema, ed

( )

( )

i i i

e t

= −

r

y t

in cui rappresenta il set-point relativo all’i-esimo anello, e rappresenta l’i-esima uscita del sistema.

i

5. Si fanno variare i fattori di detuning F(i) e si ritorna al passo 3 fino a quando la funzione obiettivo scelta non assuma valore minimo.

6. (Opzionale). Si introduce il meccanismo di integrazione condizionale sui vari anelli in accordo alle metodologie descritte nel capitolo precedente.

6.3 Implementazione

La tecnica di tuning sopra descritta è stata implementata mediante il programma Matlab DCIDivF, di cui si riporta il semplice codice:

K=zntune; F=DivFtune(K);

Il modello Simulink utilizzato per le simulazioni, riportato in figura 6.1, è del tutto analogo a quello utilizzato in precedenza, con la sola differenza che ora compaiono due diversi parametri F1 e F2 sui due anelli, al posto dell’unico F .

Figura 6.1

La funzione DivFtune, differisce dalla Ftune utilizzata in precedenza in quanto deve effettuare l’ottimizzazione su più variabili (i diversi fattori di detuning). A tale scopo utilizza la ormai nota funzione dell’Optimization Toolbox di Matlab lsqnonlin.

La funzione obiettivo è implementata attraverso la calcsimdivF, che, invocata ad ogni iterazione dalla lsqnonlin, effettua il calcolo dell’indice di ottimalità ITAE.

function f=DivFtune(ZN)

% calcola i fattori di detuning ottimali per i vari anelli

kp1=ZN(1,1); ki1=ZN(1,2); kp2=ZN(2,1); ki2=ZN(2,2); g1=0; g2=0;

F0=[1 1]; %assegna ai parametri i valori iniziali

%effettua la ottimizzazione

options=optimset('LargeScale','off','Display','iter','TolX',0.001,'TolFun',0.001); F=lsqnonlin(@calcsimdivF,F0,[1,1],[inf,inf],options,ZN)

% assegna ai parametri del modello i fattori calcolati F1=F(1);

F2=F(2); f=[F1,F2]

opt=simset('solver','ode15s','SrcWorkspace','Current'); [tout,xout,yout]=sim('DivF',[0,100],opt);

%genera il grafico delle uscite figure(1) plot(L1(:,1),L1(:,2),'m','LineWidth',1.5) hold on figure(2) plot(L2(:,1),L2(:,2),'m','LineWidth',1.5) hold on function E= calcsimdivF(F,ZN)

%calcola il valore dell’indice di ottimalità

g1=0; %assegna le variabili ai parametri del modello g2=0; kp1=ZN(1,1); ki1=ZN(1,2); kp2=ZN(2,1); ki2=ZN(2,2); F1=F(1); F2=F(2);

% decide il risolutore e il workspace in cui eseguire la simulazione opt=simset('solver','ode5','SrcWorkspace','Current');

[tout,xout,yout]=sim('DivF',[0 100],opt); E=yout; % segnale errore

Nel caso in cui si voglia visualizzare le uscite del sistema considerato quando i suoi controllori utilizzano la tecnica della integrazione condizionale, occorre digitare nella Command Window di Matlab il comando DintcondDivF, che manda in esecuzione il seguente codice:

K=zntune; F=DivFtune(K); G=intconddivF(K,F);

dove la funzione intconddivF è del tutto analoga alla intcond descritta in precedenza, salvo piccole, ovvie modifiche.

6.4 Simulazioni e confronti

Esempio 1

Consideriamo il sistema a due ingressi e due uscite di Wood e Berry.

Possiamo osservare, nelle figure 6.2 e 6.3, le uscite di tale sistema con e senza l’introduzione dei meccanismi di integrazione condizionale.

I valori calcolati per i fattori di detuning sui due anelli risultano essere: 1 1.0225 2 2.1408 F F = =

mentre per le costanti di integrazione condizionale si trova:

1 2 4.1156 0 γ γ = =

Figura 6.2

Figura 6.3

Confrontiamo, nelle figure 6.4 e 6.5, le uscite del sistema nel caso in cui si utilizzi un unico fattore di detuning con quelle risultanti dall’utilizzo di due fattori diversi.

Figura 6.4

Figura 6.5

Possiamo notare un aumento in ampiezza della sovraelongazione iniziale, compensata però da una diminuzione del tempo di salita e da una netta diminuzione del tempo di assestamento.

In definitiva, dunque, si può affermare di aver ottenuto un miglioramento delle prestazioni,

infatti il valore assunto dall’indice di ottimalità ITAE, pari a 264.3 nel caso di fattore di detuning unico, risulta ora pari a 156.3.

Confrontiamo ora le uscite nel caso in cui si introduca l’integrazione condizionale.

Figura 6.6

Figura 6.7

Anche in questo caso l’aumento in ampiezza degli overshoots è compensata da una diminuzione del tempo di salita e una diminuzione del tempo di assestamento.

Esempio 2

Consideriamo ora il sistema a tre ingressi e tre uscite di Ogunnaike-Ray.

Possiamo osservare, nelle figure 6.8, 6.9 e 6.10, le uscite di tale sistema ottenute nel caso in cui si utilizzi un unico fattore di detuning confrontate con quelle ottenute utilizzando un fattore diverso su ciascun canale.

I valori calcolati per i fattori di detuning sui due anelli risultano essere: 1 3.1678 2 1.4935 3 1 F F F = = =

Per quanto riguarda l’introduzione di meccanismi di integrazione condizionale, abbiamo già visto che essa non risulta conveniente per questo sistema.

Infatti se si provasse ad ottimizzare sulle costanti di integrazione condizionale, si troverebbe:

1 2 3 0 0 0 γ γ γ = = = Figura 6.8

Figura 6.9

Figura 6.10

Appare evidente dall’osservazione dei grafici delle uscite sui tre canali un miglioramento in termini di sovraelongazioni e tempo di assestamento.