Ottimizzazione Combinatoria A. A. 2007-2008
Docente:
Mara Servilio
Orario delle lezioni: Mercoledì 11:30-13:30; Giovedì 11:30-13:30
Orario di ricevimento:
giovedì 15:00-17:00
E-mail: servilio@di.univaq.itSito web: http://www.di.univaq.it/~oil
Testi di riferimento
1. A. Sassano, Modelli e Algoritmi della Ricerca Operativa 2. L. A. Wolsey, Integer Programming
3. W. J. Cook, W. H. Cunningham, W. R. Pulleyblank, A. Schrijver, Combinatorial Optimization
Applicazioni
• Progetto di servizi logistici
• Progetto di una rete di trasmissione radiotelevisiva
• Gestione del servizio di trasporto urbano per handicappati
• Pianificazione della produzione
• Gestione delle partenze e degli arrivi in un aeroporto
Progetto di servizi logistici
L’azienda di spedizioni Ex-press, proprietaria di alcuni treni
merci, intende realizzare un servizio di spedizioni tra L’Aquila e Pescara via ferrovia.
Pertanto:
1. Chiede gli orari disponibili alla società che gestisce la rete ferroviaria (Rete Ferroviaria Italiana) e i costi relativi.
2. Configura il servizio che massimizza il guadagno.
Il gestore della rete
1. Studia la fattibilità delle richieste della società.
2. Pianifica alcuni orari alternativi.
3. Definisce i prezzi di ogni alternativa.
Ex-press ha un problema di ottimizzazione
Dati
–Un insieme di orari O, ognuno con il proprio costo –Un insieme di treni T, ognuno con il proprio “profitto”
Problema
Assegnare un sottoinsieme T’ ⊆ T di treni a un sottoinsieme
di orari O’ ⊆ O in modo da massimizzare il guadagno
(somma dei profitti – somma dei costi) e rispettando i
vincoli “fisici”.
RFI ha un problema di ottimizzazione
Dati
• L’orario di un nuovo treno
• L’intervallo di tempo necessario a percorrere ogni tratta della linea
• L’intervallo di tempo minimo e massimo di sosta in ogni stazione
• Standard di sicurezza (due treni che
viaggiano sulla stessa linea devono essere separati da almeno k metri, ecc.)
• L’orario esistente Problema
Trovare (se esiste !) un orario che contenga il nuovo
treno e che rispetti gli standard di sicurezza
Problema di Ottimizzazione
Siano
• U = insieme universo, ossia un insieme di soluzioni, decisioni e alternative.
• F ⊆ U = insieme ammissibile definito tramite una serie di relazioni dette vincoli.
• f: U → ℜ = funzione obiettivo.
• Direzione di ottimizzazione: minimo o massimo.
Problema di ottimizzazione (in forma di minimo)
Trovare un elemento x∈F tale che f(x) < f(y) per ogni y∈F.
v = f(x) = valore ottimo
x = soluzione ottima
Problema di Ottimizzazione Combinatoria
Siano
• N = {1,2,…,n} insieme finito.
• c vettore di pesi con coordinate c
jdefinite per ogni j ∈N
• Insieme universo: U = {tutti i possibili 2
|N|sottoinsiemi di N}
• Famiglia ammissibile: ℑ = {sottoinsiemi F di U che soddisfano una certa proprietà ℘}.
Problema di ottimizzazione combinatoria (in forma di minimo) min { Σ c
j: S∈ℑ}
S⊆N j∈S
Problema dell’assegnamento
Consideriamo 3 artigiani e 3 lavori da realizzare.
I costi richiesti da ogni artigiano per ogni lavoro sono riportati nella seguente tabella
10 15 12 2
14 7 10
1
3 2 1
A L
9 18 20 3
Problema: Assegnare esattamente un artigiano ad un lavoro in
modo da minimizzare i costi totali.
Insiemi ammissibili
1. {(a1,l1); (a2,l2); (a3,l3)} di costo 34
3. {(a1,l3); (a2,l1); (a3,l2)} di costo 37 4. {(a1,l3); (a2,l2); (a3,l1)} di costo 49 5. {(a1,l2); (a2,l1); (a3,l3)} di costo 28 6. {(a1,l1); (a2,l3); (a3,l2)} di costo 38 2. {(a1,l2); (a2,l3); (a3,l1)} di costo 44
10 15 12 2
14 7 10
1
3 2 1
A L
9 18 20 3
La soluzione ottima ha valore 28.
I possibili assegnamenti, e quindi i possibili insiemi ammissibili, sono 3!
In generale, esistono n! insiemi ammissibili.
Problema dell’assegnamento
Problema dello zaino
Supponiamo di avere a disposizione un budget b per gli investimenti del 2008.
Associamo ad ogni possibile investimento j
• un costo c
j> 0;
• un guadagno p
j> 0.
Problema: Scegliere l’insieme di investimenti da effettuare in
modo da massimizzare il guadagno e senza eccedere il budget a
disposizione.
4 1 8 12 4
14 3
10 2
p c
1 2 3
Dimensione dello zaino: b = 5
Insiemi ammissibili
∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 4}, {2, 4}, {3,4}
Soluzione ottima {1, 2} di valore 24
Il numero di insiemi ammissibili è pari al numero di possibili sottoinsiemi di un insieme di n oggetti, ossia 2n.
Se b =
Σ
cj / 2 gli insiemi ammissibili sono almeno 2n-1.j =1 n
Problema dello zaino
Problema del commesso viaggiatore (TSP)
Consideriamo n punti nel piano.
Per ogni coppia di punti (i, j) definiamo un costo c
ij> 0.
Problema: Determinare il tour di costo minimo.
5 3
8 7
4 6
1 2
Insiemi ammissibili: tutti i possibili tour del grafo.
In un grafo con n nodi esistono (n-1)!/2 tour.
2
5 4 6 1
3
8 7
Problema del commesso viaggiatore
(TSP)
Proprietà dei problemi di OC
1. Tutti i problemi di OC sono definiti su insiemi ammissibili finiti e numerabili.
2. Il valore della funzione obiettivo può essere calcolato in corrispondenza di ogni insieme ammissibile.
Esiste un algoritmo “universale” per i problemi di OC che si chiama enumerazione totale.
E’ possibile utilizzare l’enumerazione totale nella pratica?
Proprietà dei problemi di OC
Le operazioni eseguite da un moderno calcolatore in un anno sono pari a 3.15 ×10
16.
4.02×10
25671.07 × 10
3011000000 31.62
9.97 1000
9.33×10
1571.27 × 10
3010000 10.00
6.64 100
3.6×10
61.02×10
3100 3.16
3.32 10
n!
2
nn
2n
0.5log n
n
L’algoritmo di enumerazione totale impiegherebbe circa 2 anni per
risolvere un problema di commesso viaggiatore con 20 punti nel
piano.
Obiettivi di questo corso
Studiare tecniche matematiche che consentano di progettare algoritmi “efficienti” per i problemi di OC.
Cosa si intende per algoritmo efficiente?
1. Algoritmi ammissibili a complessità polinomiale (Assegnamento).
2. Algoritmi ammissibili a complessità pseudo-polinomiale (Zaino).
3. Algoritmi ammissibili a complessità non polinomiale (TSP).
4. Algoritmi approssimati a complessità polinomiale (Zaino).
5. Algoritmi euristici (Zaino, TSP).
Obiettivi di questo corso
Modellare problemi decisionali che derivano da
applicazioni del mondo industriale come
problemi di ottimizzazione.
Parte I:
Insiemi indipendenti e coperture
Problema 1: Il ballo (Berge)
• Ad un ballo sono presenti n ragazzi e n ragazze.
• Ciascun ragazzo riconosce k fidanzate tra le ragazze presenti.
Domanda: è possibile far ballare ciascun ragazzo con una delle sue fidanzate e ciascuna ragazza con uno dei suoi fidanzati?
• Ciascuna ragazza riconosce k fidanzati tra i ragazzi
presenti.
Problema 1: Il ballo (Berge)
Formulazione: 4 ragazzi/ragazze con 3 fidanzate/fidanzati.
Asia
Bianca
Chiara
Daria
Alessio
Bruno
Cristian
Davide
U = insieme degli archi del grafo
ℑ = famiglia degli insiemi di archi che
toccano ogni vertice esattamente
una volta.
Problema 2: Le torri
• Consideriamo una scacchiera n×n.
• Due torri si danno scacco se giacciono sulla stessa riga (colonna) della scacchiera.
Domanda: Qual è il massimo numero di torri che è
possibile disporre sulla scacchiera senza che esse si
diano scacco reciproco?
Problema 2: Le torri
Formulazione: Due torri si danno scacco se si trovano sulla stessa riga o colonna.
U = insieme degli archi del grafo
ℑ = famiglia degli insiemi di archi che
toccano ogni vertice non più di una volta.
A B C D 1
2 3 4
A
B
C
D
1
2
3
4
Grafo intersezione righe-colonne
Problema 3: La battaglia di Inghilterra (Berge)
• Nel 1941 le squadriglie inglesi erano composte di aerei biposto, ma alcuni piloti non potevano formare una coppia per problemi di lingua o di abitudini.
Domanda: Dati i vincoli di incompatibilità tra coppie di
piloti, qual è il massimo numero di aerei che è possibile
far volare simultaneamente?
Formulazione: Grafo di compatibilità dei piloti U = insieme degli archi del grafo
ℑ = famiglia degli insiemi di archi che toccano ogni vertice al più
una volta.
Problema 3: La battaglia di Inghilterra (Berge)
Alì
Bob
Charlie
David
Evgenij
Fëdor Alì
Charlie Bob
Evgenij
Abbinamento
Definizione: Dato un grafo G = (V, E), un abbinamento (matching) è un sottoinsieme A ⊆ E di archi a due a due non adiacenti.
In ciascuno dei problemi precedenti la soluzione corrisponde a un abbinamento su un grafo.
Asia
Bianca
Chiara
Daria
Alessio
Bruno
Cristian
Davide
A
B
C
D
1
2
3
4
Alì
Bob
David
Fëdor Alì
Charlie Bob
Evgenij
Tipologie di abbinamento
Definizione: Se |A| > |B| per ogni abbinamento B di G, allora A
si dice massimo.
Definizione: Se G è bipartito, allora anche A si dice bipartito.
Definizione: Se |A| = |V|/2, allora A si dice perfetto.
Asia
Bianca
Chiara
Daria
Alessio
Bruno
Cristian
Davide
A
B
C
D
1
2
3
4
Alì
Bob
David
Fëdor Alì
Charlie Bob
Evgenij
Insieme indipendente
Definizione: Dato un grafo simmetrico G = (V,E), un qualunque
sottoinsieme S di vertici si dice indipendente se esso è costituito da elementi a due a due non adiacenti.
• S è detto insieme stabile (stable set)
Definizione: Un insieme indipendente (abbinamento) X si dice
massimale se ogni elemento di V–X (A–X) è adiacente ad almeno un elemento di X.
Definizione: Un insieme indipendente X*
si dice massimo se
|X
*| > |X|, per ogni insieme indipendente X di G.
Esempi
Osservazione: L’insieme vuoto è un insieme indipendente.
Insieme indipendente massimale
Abbinamento massimale
Esempi
Insieme indipendente massimo
Abbinamento massimo
Copertura
Definizione: Dato un grafo simmetrico G = (V, E), un
qualunque sottoinsieme T di vertici (F di archi) tale che ogni spigolo di E (vertice di V) incide su almeno un elemento di T (di F) si dice copertura.
• T è detto insieme trasversale (vertex cover).
• F è detto edge-cover.
Definizione: Una copertura X si dice minimale
se X – {x} non è una copertura per ogni x∈X.
Definizione: Una copertura X*
si dice minima se |X
*| < |X|, per ogni
insieme copertura X di G.
Esempi
Osservazione: L’insieme dei nodi V e l’insieme degli archi E di
un grafo sono rispettivamente trasversale e edge-cover.
Trasversale minimale
Edge-cover minimale
Esempi
Trasversale minimo
Edge-cover minimo
Disuguaglianze duali deboli
Indichiamo con
• α(G) insieme stabile massimo di G.
• µ(G) abbinamento massimo di G.
• ρ(G) edge cover minimo di G.
• τ(G) trasversale minimo di G.
Teorema: Per un grafo G valgono le seguenti disuguaglianze 1. α(G) < ρ(G)
2. µ(G) < τ(G)
Disuguaglianze duali deboli
Dimostrazione: Siano
• X insieme indipendente di G, e
• Y edge-cover di G.
Poiché Y copre V, ogni elemento di X incide su almeno un elemento di Y.
D’altra parte, nessun elemento di Y copre contemporaneamente due elementi di X altrimenti i due elementi sarebbero adiacenti e quindi non potrebbero appartenere all’insieme indipendente X.
Pertanto, per ogni x∈X esiste un distinto y∈Y che lo copre, e quindi
|X| < |Y|.
Riscrivendo la precedente relazione per gli insiemi massimi X* e Y*, si ottiene
α(G) < ρ(G) Scambiando il ruolo di V ed E, si ottiene
µ(G) < τ (G)
Disuguaglianze duali deboli
Esempio
trasversale e abbinamento
µ(G) = 3 τ (G) = 3
µ(G) = 3 τ (G) = 3
Disuguaglianze duali deboli
Forse valgono sempre con il segno “=“ ?
Esempio
indipendente e edge-cover
α(G) = 3 ρ(G) = 3
α(G) = 3 ρ(G) = 3
Disuguaglianze duali deboli
NO!!!
Forse valgono sempre con il segno “=“ ?
α(G) = 2 ρ(G) = 3
Teorema (Gallai 1959):
Per ogni grafo G con n nodi si ha:
α(G) + τ(G) = n (1)
Se inoltre G non ha nodi isolati
µ(G) + ρ(G) = n (2)
Teorema di Gallai
Esempio (1)
Teorema di Gallai
Esempio (2)
Teorema (Gallai 1959):
Per ogni grafo G con n nodi si ha:
α(G) + τ(G) = n (1)
Se inoltre G non ha nodi isolati
µ(G) + ρ(G) = n (2)
Dimostrazione (1): Sia S un insieme indipendente di G. Allora V–S è un insieme trasversale.
τ(G) < |V–S*| = n – α(G)
Dimostrazione
S
In particolare, |V–S|> τ (G).
Se consideriamo l’insieme indipendente massimo S*, otteniamo da cui ricaviamo
α(G) + τ(G) < n.
Dimostrazione (1): Viceversa, sia T un insieme trasversale di G.
Allora V–T è un insieme indipendente.
α(G) > |V–T *| = n – τ(G) In particolare, |V–T|< α (G).
Se consideriamo l’insieme trasversale minimo T *, otteniamo
da cui ricaviamo
α(G) + τ(G) > n.
T
non coperto da T
α(G) + τ(G) = n.
Considerando la condizione ottenuta precedentemente, possiamo concludere che
Dimostrazione
Dimostrazione (2): Sia G un grafo privo di nodi isolati e sia A*
l’abbinamento massimo di G. Indichiamo con VA* i nodi saturi rispetto ad A*.
Sia H un insieme minimale tale che ogni nodo in V–VA* è estremo di qualche arco in H.
Segue che
Dimostrazione
V
A*|H| = |V–VA*| = n – 2|A*|
Osserviamo che l’insieme C = H ∪ A* è un edge-cover di G.
Dimostrazione (2):
Sicuramente, |C| > ρ (G).
Quindi
Dimostrazione
ρ(G) < |C| = |A*| + |H| = |A*| + n – 2|A*| = n – |A*| = n – µ(G) da cui ricaviamo ρ (G) + µ(G) < n.
Dimostrazione (2): Sia C il minimo edge-cover su G (|C| = ρ(G)).
Sia H = (V, C) il sottografo indotto da C.
Valgono le seguenti proprietà:
1) H è un grafo aciclico.
Dimostrazione
Infatti, se H contenesse cicli allora C non sarebbe un edge-cover minimo.
Dimostrazione (2):
2) Ogni cammino in H è composto di al più due archi.
Dimostrazione
Infatti, se H contenesse un cammino con 3 archi sarebbe sempre possibile rimuovere un arco e ottenere ancora un edge-cover.
L’esistenza di un tale cammino contraddirebbe il fatto che C è minimo.
Dimostrazione (2):
Dalle proprietà precedenti concludiamo che il grafo H = (V, C)
Dimostrazione
• ha |V| = n vertici;
• ha |C| = ρ(G) archi;
• può essere decomposto in N componenti connesse aventi la forma di “stella”
Dimostrazione (2):
Consideriamo l’i-esima componente connessa di H. Essa avrà:
• si nodi, e
• si – 1 archi.
Dimostrazione
Pertanto
n =
Σ
si ei =1 N
ρ(G) =
Σ
(si –1) = n – N ⇒ N = n – ρ(G)i =1 N
Sia A un abbinamento con un arco per ogni componente di H. Si ottiene µ(G) > |A| = n – ρ(G) ⇒ ρ (G) + µ(G) < n
Considerando la condizione ottenuta precedentemente, possiamo concludere che
ρ (G) + µ(G) = n.
Massimo insieme stabile
Formulazioni di PLI
Dati: G = (V,E), |V| = n, |E| = m.
Variabili decisionali:
x
i=
1 se il vertice i appartiene allo stabile S 0 altrimenti
Formulazione:
max Σ x
ii∈V
x
i+ x
j< 1 ∀ (i, j) ∈ E
x
i∈ {0,1} ∀ i ∈ V
Rilassamento lineare del massimo insieme stabile
Rilassamento lineare
max Σ x
ii∈V
x
i+ x
j< 1 ∀ (i, j) ∈ E x
i> 0 ∀ i ∈ V
STAB
RLOsservazione: La limitazione x
i< 1 può essere omessa.
Indichiamo con α
RL(G) il valore della soluzione ottima di
STAB
RL.
Minimo edge cover
Formulazioni di PLI
Dati: G = (V,E), |V| = n, |E| = m.
Variabili decisionali:
y
ij=
1 se l’arco ij appartiene all’edge cover C 0 altrimenti
Formulazione:
min Σ y
ijij∈E
y
ij∈ {0,1} ∀ (i, j) ∈ E
Σ y
ij> 1 ∀ i ∈ V
ij∈∂(i)
Rilassamento lineare del minimo edge cover
Rilassamento lineare
y
ij> 0 ∀ (i, j) ∈ E
EDGE-C
RLOsservazione: La limitazione y
ij< 1 può essere omessa.
Indichiamo con ρ
RL(G) il valore della soluzione ottima di EDGE-C
RL.
min Σ y
ijij∈E
Σ y
ij> 1 ∀ i ∈ V
ij∈∂(i)
Dualità
Osservazione: I problemi STAB
RLe EDGE-C
RLcostituiscono una coppia primale-duale.
Inoltre
α(G) < α
RL(G) e ρ
RL(G) < ρ(G) Pertanto
α(G) < α
RL(G) = ρ
RL(G) < ρ(G)
Massimo matching
Formulazioni di PLI
Dati: G = (V,E), |V| = n, |E| = m.
Variabili decisionali:
y
ij=
1 se l’arco ij appartiene al matching M 0 altrimenti
Formulazione:
max Σ y
ijij∈E
y
ij∈ {0,1} ∀ (i, j) ∈ E
Σ y
ij< 1 ∀ i ∈ V
ij∈∂(i)
Rilassamento lineare del massimo matching
Rilassamento lineare
y
ij> 0 ∀ (i, j) ∈ E
MATCHING
RLOsservazione: La limitazione y
ij< 1 può essere omessa.
Indichiamo con µ
RL(G) il valore della soluzione ottima di MATCHING
RL.
max Σ y
ijij∈E
Σ y
ij< 1 ∀ i ∈ V
ij∈∂(i)
Minimo trasversale
Formulazioni di PLI
Dati: G = (V,E), |V| = n, |E| = m.
Variabili decisionali:
x
i=
1 se il vertice i appartiene al trasversale T 0 altrimenti
Formulazione:
min Σ x
ii∈V
x
i+ x
j> 1 ∀ (i, j) ∈ E
x
i∈ {0,1} ∀ i ∈ V
Rilassamento lineare del minimo trasversale
Rilassamento lineare
min Σ x
ii∈V
x
i+ x
j> 1 ∀ (i, j) ∈ E x
i> 0 ∀ i ∈ V
TRASV
RLOsservazione: La limitazione x
i< 1 può essere omessa.
Indichiamo con τ
RL(G) il valore della soluzione ottima di
TRASV
RL.
Dualità
Osservazione: I problemi MATCHING
RLe TRASV
RLcostituiscono una coppia primale-duale.
Inoltre
µ(G) < µ
RL(G) e τ
RL(G) < τ (G) Pertanto
µ(G) < µ
RL(G) = τ
RL(G) < τ (G)
Cammino alternante
Sia M un matching di G = (V, E).
Definizione: Un arco (i, j)∈E si dice
accoppiato(libero) se
(i, j)∈M((i, j) ∉ M).
Definizione: Un vertice i∈V si dice
accoppiato(libero) se su di esso incide (non incide) un arco di M.
Definizione: Un cammino P sul grafo G si dice alternante
rispetto a M se esso è costituito alternativamente da
spigoli accopiati e liberi.
Aumentare un matching
Teorema: Sia M un matching di G e sia P un cammino aumentante rispetto a M. La differenza simmetrica
M’ = (M – P) ∪ (P – M) = M ⊕ P
è un matching di cardinalità |M| + 1.
M-P
P-M P-M
Dimostrazione
Dimostrazione: Sia M un matching di G e sia P un cammino aumentante rispetto a M. L’insieme
M’ = (M – P) ∪ (P – M)
gode delle seguenti proprietà
1) M’ è un abbinamento. Infatti, se così non fosse allora esisterebbero almeno due archi adiacenti tra loro in M’.
Questi archi
1) Non possono appartenere entrambi ad M altrimenti M non sarebbe un matching.
2) Non possono appartenere entrambi a P–M perché P è alternante.
Dimostrazione
Dimostrazione:
Poiché stiamo supponendo che i due archi sono adiacenti, allora entrambi devono necessariamente appartenere a P, contraddicendo la definizione di M’.
Pertanto, l’unica possibilità è che un arco appartenga a
M e l’altro a P – M.
Dimostrazione
Dimostrazione:
2) M’ ha un elemento in più di M.
M – P
P – M
Teorema di Berge
Teorema (Berge,1957): Un M un matching di G è massimo se e solo se G non ammette cammini alternanti rispetto a M che siano anche aumentanti.
Dimostrazione (⇐): Segue immediatamente dal teorema precedente.
Dimostrazione (⇒): Supponiamo che G ammetta un matching M’ con un elemento in più di M.
Vogliamo dimostrare che allora esiste un cammino
aumentante per M.
Teorema di Berge
Dimostrazione (⇒):
Consideriamo il sottografo G’ di G individuato dall’insieme di archi
F = (M
∪M’)\ (M∩M’) e da tutti i loro estremi.
Poiché M e M’ sono matching, ogni vertice di G’ ha grado < 2.
Quindi le componenti connesse di G’ o sono percorsi o sono cicli.
Teorema di Berge
Dimostrazione (⇒):
Nessun ciclo può essere dispari altrimenti M e M’ non sarebbero due abbinamenti.
Non tutti i percorsi possono essere pari altrimenti |M| = |M’|.
Quindi, senza perdità di generalità, possiamo assumere che esista un percorso dispari che inizia e termina con un arco di
M’.Questo percorso è aumentante per M.
Un possibile algoritmo
M = ∅ ∅ ∅; // Inizializzazione ∅ trovato = TRUE;
while (trovato) {
search (M, &trovato);
if (trovato)
aumenta (G, &M);
}
Come è fatta search (G, M, &trovato)?
Teorema del cammino aumentante
Consideriamo M ⊕ M*.
Teorema: Sia v un vertice esposto in un matching
M. Se nonesiste un cammino aumentante per
Mche parte da v, allora esiste un matching massimo avente v esposto.
Dimostrazione: Sia M* un matching massimo in cui v è
accoppiato.
Dimostrazione
Dimostrazione:
Poiché M e M* sono due abbinamenti e v è accoppiato in M*, si ha che M ⊕ M* non può contenere un cammino
v
perché aumentante per M.
v
Però, contiene un cammino
Pertanto, scambiando gli archi blu con quelli rossi è possibile ottenere da M* un altro abbinamento massimo con esposto.
Un possibile algoritmo (ΙΙ)
M = ∅ ∅ ∅; trovato = FALSE;//Inizializzazione ∅ for (v ∈ ∈ V) { ∈ ∈
if (v è esposto) {
search (v, M, &trovato, &q);
if (trovato)
aumenta (q, v, &M);
else
//cancella v e tutti gli //archi incidenti in v
cancella (v, &G);
}
Scopo della funzione search:
trovare un cammino aumentante rispetto a M, oppure dire che non esiste.
Parametri
v nodo esposto;
M matching;
trovato, variabile booleana;
q, vertice estremo del cammino aumentante.
Introduciamo un’etichetta per i vertici di V
label(w) = PARI= DISPARI
= NULL
Ricerca di cammini aumentanti
Ricerca di cammini aumentanti
search (v, M, *q, *trovato) { for (i ∈∈ V) ∈∈
label (i) = NULL;
LIST = {v};
label {v} = PARI;
while (LIST != ∅∅∅) {∅ pop (&i, LIST);
if (label (i) == PARI)
esplora_pari (i, M, q, trovato, &LIST);
else
esplora_dispari (i, M, &LIST);
if (trovato) return;
} }
Ricerca di cammini aumentanti (ΙΙ)
esplora_pari (i, M, *q, *trovato, *LIST) { for (j ∈∈ δ∈∈ δδδ(i)) {
if (j ∉∉ M) {∉∉
*q = j;
*trovato = TRUE;
pred (q) = i;
return;
}
if (j ∈∈ M && label (j) == NULL) {∈∈ pred (j) = i;
label (j) = DISPARI;
push (j, LIST);
} }
}
esplora_dispari (i, M, *LIST) {
j = vertice accoppiato ad i in M;
if (label (j) == NULL){
pred (j) = i;
label (j) = PARI;
push (j, LIST);
} }
Ricerca di cammini aumentanti (ΙΙΙ)
Esempio
v, PARI
DISPARI DISPARI DISPARI
PARI PARI PARI
q, ESPOSTO
Sia M il matching rosso
Esempio
v, PARI
DISPARI DISPARI DISPARI
PARI
PARI PARI
Sia M il matching rosso
Esempio
v
q
Un problema
v, P D
D
D P
P
D oppure P ?
Correttezza
Teorema: Se i vertici di G sono etichettati in modo
“unico” dalla procedura search rispetto ad un matching M, allora search termina con un cammino aumentante, se esso esiste.
Domanda: Esistono grafi che ammettono sempre
la proprietà di unicità delle etichette?
Grafi bipartiti
G (X, Y, E) grafo bipartito
Teorema di König
Teorema (König 1931): Se G = (X, Y, E) è un grafo bipartito allora µ (G) = τ(G).
Dimostrazione: Sia M* un matching massimo, e siano
• X
1: insieme dei nodi x di X saturi rispetto ad M*.
• X
2: insieme dei nodi x di X esposti rispetto ad M*.
Dimostrazione
X
1X
2Nodi raggiungibili
Definizione: Un nodo y ∈ Y
1è
raggiungibilese esiste P alternante rispetto ad M* da x in X
2tale che l’ultimo arco
non appartiene ad M*.Y1
: insiemi dei nodi y di Y raggiungibili da x in X
2.
Osservazione: Per definizione i nodi in Y
1sono saturi, altrimenti
M* non sarebbe massimo.Infine: Y
2: Y – Y
1X
1X
2Dimostrazione
Y
1Y
2Y
2X
1X
2Dimostrazione
Consideriamo il seguente insieme di nodi
Z = {z1
, z
2, …, z
µ(G)} con
zi= y
ise y
iè raggiungibile
zi= x
ialtrimenti
e dimostriamo che è un trasversale.
Y
1Y
2Y
2Dimostrazione
X
1Y
1Y
2X
2Dimostriamo che non esistono archi da nodi in X2 verso nodi in Y non coperti da Z. Infatti,
1) Non può esistere un arco non coperto da Z tra un nodo in X2 e un nodo in Y2, altrimenti il matching non sarebbe massimo.
2) Non può esistere un arco non coperto da Z tra un nodo in X2 e un nodo in Y1 perché i nodi in Y1 sono raggiungibili e quindi l’arco sarebbe coperto.
Y
2Dimostrazione
X
1Y
1Y
2X
2Dimostriamo che non esistono archi da nodi in Y verso nodi in X1 non coperti da Z.
Consideriamo l’arco 1, da X1 a Y2. Se non fosse coperto allora il nodo y1, estremo dell’arco del matching, sarebbe raggiungibile.
Ma allora esisterebbe un cammino aumentante e il matching non sarebbe massimo.
1
y1
Y
2Dimostrazione
X
1Y
1Y
2X
2Consideriamo un arco da X
1a Y
1, ad esempio l’arco 2.
Se non fosse coperto allora il nodo y
2non sarebbe raggiungibile, ovvero non apparterrebbe ad Y
1(contraddizione).
y2 x1
2