Soluzione degli esercizi del primo esonero di Calcolo Differenziale ed Integrale I e II (a.a. 2006-2007)
1. Determinare l’insieme di definizione della funzione: y = 1 1 − (log |x|)2. Condizioni di esistenza:
a) |x| 6= 0 ⇒ x 6= 0;
b) 1 − (log |x|)2 6= 0 ⇒ (1 − log |x|)(1 + log |x|) 6= 0, quindi:
log |x| 6= 1 ⇒ |x| 6= e ⇒ x 6= ±e; log |x| 6= −1 ⇒ |x| 6= 1
e ⇒ x 6= ±1 e Insieme di definizione:
E = (−∞, −e) ∪ (−e, −1/e) ∪ (−1/e, 0) ∪ (0, 1/e) ∪ (1/e, e) ∪ (e, +∞).
2. Calcolare il limite: lim
x→∞
x + 1 x − 1
x
.
lim
x→∞
x + 1 x − 1
x
= lim
x→∞
x − 1 + 2 x − 1
x
= lim
x→∞
1 + 2 x − 1
x
posto x − 1 = ξ ⇒ = lim
ξ→∞
1 +2
ξ
ξ+1
= lim
ξ→∞
1 +2
ξ
ξ
· lim
ξ→∞
1 +2
ξ
= e2· 1 = e2.
3. Calcolare l’integrale indefinito:
Z
excos2
x 2
dx.
Z
excos2x 2
dx =
Z
ex1 + cos x
2 dx = 1 2
Z
exdx + 1 2
Z
excos x dx
e, poich´e integrando per parti si trova: 1 2
Z
excos x dx = 1
4ex(sin x + cos x), si ha in definitiva:
Z
excos2
x 2
dx = 1
4ex(2 + sin x cos x) + c.
1
4. Studiare il grafico della funzione: y = 1 + x3 1 − x2
La frazione non `e ridotta ai minimi termini. Infatti si pu`o scrivere:
y = 1 + x3
1 − x2 = (1 + x)(x2− x + 1)
(1 + x)(1 − x) = x2− x + 1 1 − x
Condizione di esistenza: x 6= 1. Insieme di definizione: E = (−∞, 1) ∪ (1, +∞).
lim
x→1−
x2− x + 1
1 − x = +∞; lim
x→1+
x2− x + 1
1 − x = −∞;
lim
x→+∞
x2− x + 1
1 − x = −∞; lim
x→−∞
x2− x + 1
1 − x = +∞.
lim
x→±∞
y
x = m = lim
x→±∞
x2− x + 1 x − x2 = −1, lim
x→±∞
(y + x) = n = lim
x→±∞
x2− x + 1
1 − x + x = lim
x→±∞
1
1 − x = 0, c’`e dunque l’asintoto obliquo y = −x.
y0 = x(2 − x)
(1 − x)2 = 0 per x = 0, x = 2; y00= 2
(1 − x)3 ≷ 0 per x ≶ 1. Si ha quindi:
minimo relativo in x = 0 (con y = 1), massimo relativo in x = 2 (con y = −3).
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
y
x
1
2
5. Trovare massimo (M ) e minimo (m) assoluti di: y = |9 − x2| con x ∈ [−4, 5].
Si pu`o anche scrivere:
y =
( 9 − x2 per x ∈ [−3, 3]
x2− 9 per x ∈ (−∞, −3) ∪ (3, +∞) da cui risulta:
y0 =
−2x per x ∈ (−3, 3)
2x per x ∈ (−∞, −3) ∪ (3, +∞)
La derivata prima non esiste nei punti (angolosi) x = ±3. In essi la funzione `e nulla.
y0 = 0 in x = 0 (con y = 9), che `e massimo relativo poich´e y00(0) = −2.
Negli estremi si ha: y(−4) = 7, y(5) = 16.
Si trova dunque:
(a) due punti di minimo assoluto: x = 3, x = −3 (con y = 0 in entrambi);
(b) un punto di massimo assoluto: x = 5 (con y = 16).
3