ESERCIZIO 2 Il presente esercizio tratta la verifica di una colonna HEB 200 in acciaio S275 alta 10 m, appartenente ad un telaio a “

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ESERCIZIO 2

Il presente esercizio tratta la verifica di una colonna HEB 200 in acciaio S275 alta 10 m, appartenente ad un telaio a “nodi fissi”, soggetta a presso flessione deviata, attraverso la metodologia descritta nell’Appendice A dell’E.C.3 e nell’Appendice B dell’E.C.3 equivalente al Metodo B della Circolare Ministeriale §C4.2.4.1.3.3.2.

Figura 1: Schema generale

Figura 2: Azioni agenti sulla colonna

Scopo

L’esempio comprende:

 Determinazione della resistenza a compressione: §4.2.4.1.3.1 NTC2008

 Determinazione della resistenza a flesso torsione: §4.2.4.1.3.2 NTC2008

 Verifica a presso flessione deviata: Appendice A E.C.3

 Verifica a presso flessione deviata: Appendice B E.C.3

Determinazione della resistenza a compressione

Poiché la colonna appartiene ad un telaio a nodi fissi i coefficienti di vincolo per calcolare le lunghezze critiche dell’asta attorno all’asse forte “y” e attorno all’asse debole “z” variano tra 0.5 e 1.0 in funzione degli elementi ad essa connessi.

Nella fattispecie si assume che la lunghezza critica della colonna sia pari alla lunghezza reale dell’asta ovvero che    _{y z} 1.00.

Resistenza attorno all’asse forte Y Resistenza attorno all’asse debole Z Lunghezza critica:

cr,y y

L    H 10000 mm

Lunghezza critica:

cr,z z

L    H 10000 mm

Snellezza reale:

cr,y y

y

L 10000

117.10 i 85.4

   

Snellezza reale:

cr,z z

z

L 10000

197.24 i 50.7

   

Forza normale critica Euleriana:

2 2

cr,y 2 2

y

E A 210000 7808

N 1180 kN

117.1

     

  



Forza normale critica Euleriana:

2 2

cr,z 2 2

z

E A 210000 7808

N 415.9 kN

197.24

     

  



Snellezza adimensionale:

y

y 3

cr,y

A f 7808 275 1.349

N 1180 10

 

   



Snellezza adimensionale:

y

z 3

cr,z

A f 7808 275 2.272 N 415.9 10

 

   



Coefficienti di imperfezione:

h 200 1

b200 quindi curva “b” :  y 0.34

Coefficienti di imperfezione:

h 200 1

b200 quindi curva “c” :  z 0.49 Coefficienti di instabilità:

 

y 0.5 1 y y 0.2 y 1.605

          

y 2 2

y y y

1 0.404

  

    

Coefficienti di instabilità:

 

z 0.5 1 z z 0.2 z 3.589

          

z 2 2

z z z

1 0.157

  

    

Resistenza a compressione:

y y

b,y,Rd 3

M1

A f 0.404 7808 275

N 826.2 kN

1.05 10

    

  

 

Resistenza a compressione:

z y

b,z,Rd 3

M1

A f 0.157 7808 275

N 321.1 kN

1.05 10

    

  

 

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Determinazione della resistenza a flesso torsione

Poiché il diagramma del momento flettente ha andamento lineare tra un ritegno torsionale ed il successivo l’espressione del momento critico euleriano risulta pari a:

 

 

2 2

2

z cr t

z z w

cr 1 2 2

w z z

z cr

k L G I

E I k I

M C 372.6 kNm

k I E I

k L

      

    

           

dove:

kz1 fattore relativo alla capacità di rotazione del vincolo della trave attorno all’asse d’inerzia debole “z” e assunto pari all’unità per vincoli assimilabili a cerniere.

kw 1 fattore relativo alla capacità del vincolo di opporsi alla torsione da ingobbamento impedito, generalmente assunto pari all’unità.

Lcr 10000 mm lunghezza critica tra due successivi ritegni torsionali.

4 4

Iz 2003 10 mm momento d’inerzia flessionale attorno all’asse debole “z”.

6 6

Iw171100 10 mm costante di ingobbamento (warping).

4 4

It 59.28 10 mm momento d’inerzia torsionale.

C12.55 coefficiente relativo a travi soggette a momenti di estremità My 50 kNm

y My 50 kNm

   

y 1

  

Figura 3: Coefficienti C1 per distribuzioni lineari di M

G 80770 N mm 2 modulo di taglio.

Snellezza adimensionalizzata per fenomeni di instabilità laterale:





pl,y y LT

cr

642.5 10 275 10 W f

0.689

M 372.6

   

    

Coefficienti di instabilità laterale (Tabelle 4.2.VI e 4.2.VII – NTC2008) :

 

LT 0.5 1 LT LT LT,0 LT 0.727

         

 Determinazione della curva di instabilità: ^{h 200} 1 2

b 200   Curva “b”

 Coefficiente di imperfezione:  _LT 0.34

 Snellezza adimensionale limite: _LT,0 0.4 per travi laminate

 Coefficiente :  0.75 per travi laminate

   

 

2

c LT

c

y

f 1 0.5 1 k 1 2 0.8 0.806

1 1

k 0.602 Tabella 4.2.VIII

1.33 0.33 1.33 0.33 1

          

  



  

     



LT 2 2

LT LT LT 2

LT

1 1 1.085 1 1

f 2.61

f



          

LT 1.00

 

Poiché il coefficiente _LTrisulta pari a uno, la colonna non è soggetta a fenomeni di instabilità flesso torsionale e per tanto il momento resistente attorno all’asse d’inerzia forte y risulta pari a:

y 3

b,y,Rd LT pl,y 6

M1

f 275

M W 1.00 642.5 10 168.3 kNm

1.05 10

        

 

Il momento resistente attorno all’asse debole risulta:

y 3

z,Rd pl,z 6

M0

f 275

M W 305.8 10 80.09 kNm

1.05 10

     

 

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Verifica a presso flessione deviata – Appendice “A”

y,Ed z,Ed

Ed

yy yz

b,y,Rd b,y,Rd z,Rd

M M

N k k 1.00

N  M  M 

y,Ed z,Ed

Ed

zy zz

b,z,Rd b,y,Rd z,Rd

M M

N k k 1.00

N  M  M 

Sollecitazioni agenti sulla colonna:

Ed y,Ed z,Ed

N 150 kN M 50 kNm M 30 kNm







Coefficienti ausiliari per il calcolo dei fattori di interazione kij:

Ed cr,y y

Ed y

cr,y

N 150

1 N 1 1180 0.920

N 1 0.404 150

1 N 1180

 

   

 

  

Ed cr,z z

Ed z

cr,z

N 150

1 N 1 415.9 0.677

N 1 0.157 150

1 N 415.9

 

   

 

  

pl,y y

el,y

W 642.5

w 1.128 1.50

W 569.6

   

pl,z

z z

el,z

W 305.8

w 1.527 1.50 w 1.50

W 200.3

     

3 Ed

pl y M1

N 150 10

n 0.0734

A f 7808 275 1.05

   

 



4 t

LT 4

y

I 59.28 10

a 1 1 0.989 0

I 5696 10

      



  ^{ }

max max y; z max 1.349 ; 2.272 2.272

     

Snellezza adimensionale per fenomeni di instabilità flesso torsionale dovuta ad una distribuzione uniforme del momento flettente ovvero assumendo  _y 1.00:

2

cr w

cr,0 t z 2

cr cr t 1

M

E I 372.6

M G I E I 1 146 kNm

L L G I C 2.55

    

            





pl,y y 0

cr,0

642.5 10 275 10

W f

M 146 1.10

   

    

Forza normale critica euleriana per instabilità flesso torsionale:





2 2 2

c c

I I 5696 10 2003 10

i y 0 9861 mm

A 7808

   

    

2 w

cr,t 2 t 2

c cr

1 E I

N G I 5215 kN

i L

    

    

 

dove:

yc0 eccentricità tra il baricentro ed il centro di taglio Snellezza adimensionale limite:

Ed Ed 4

0,lim 1 4

cr,z cr,t

N N 150 150

0.2 C 1 1 0.2 2.55 1 1 0.2835

N N 415.9 5215

       

                    

Poiché   _{0 0,lim} la sezione trasversale della colonna è suscettibile di “deformabilità torsionale”.

Determinazione dei fattori di momento equivalente:

 

^{ }

my,0 y y

cr,y y

N 150

C 0.79 0.21 0.36 0.33 0.79 0.21 0.36 1.33 0.5192

N 1180

1.00

               



  



 

 

mz,0 z z

cr,z z

N 150

C 0.79 0.21 0.36 0.33 0.79 0.36 0.33 0.7471

N 415.9

0.00

              



 

Mz30 kNm

z Mz 0 kNm

  

z 0

 

y,Ed 6

y 3 3

Ed el,y

M A 50 10 7808

N W 150 10 569.6 10 4.57

      

 

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 

^{ }

my my,0 my,0

y LT

mz mz,0

2 LT 2

m,LT my

Ed Ed

cr,z cr,t

a 4.57 0.989

C C 1 C 0.5192 1 0.5192 0.8457

1 a 1 4.57 0.989

C C 0.7471

a 0.989

C C 0.8457 0.897 1.

150 150

N N 1 1

1 N 1 N 415.9 5215

  

        

    

 

     

            

   

       

   

00 Cm,LT 1.00







  





Calcolo del fattore Cyy:

y,Ed z,Ed

2 2

LT LT 0

LT pl,y,Rd pl,z,Rd

M M 50 30

b 0.5 a 0.5 0.989 1.10 0.0666

M M 168.3 80.09

          

 

 

yy y my max my max pl LT

y y pl,y

1.6 1.6 W 569.6

C 1 w 1 2 C C n b 0.886

w w W 642.5

  

              

 

1 1.128 1 2 0.8457 2.272 0.8457 2.272 0.0734 0.0666

1.128 1.128

  

            

Cyy 0.939

Calcolo del fattore C_yz:

2 2

0 y,Ed

LT LT 4 4

z my LT pl,y,Rd

M 1.10 50

c 10 a 10 0.989 0.133

5 C M 5 2.272 0.8457 168.3

         

     

 

yz z 5 pl LT

z y pl,z

C w W 1.50 200.3

C 1 w 1 2 14 n c 0.6 0.6 0.453

w w W 1.128 305.8

   

              

 

 

 

0.7471 2.272

1 1.50 1 2 14 0.0734 0.133

1.50

   

        

 

 

Cyz 0.812

Calcolo del fattore C_zy:

y,Ed z,Ed

0

LT LT 4 4

z my LT pl,y,Rd mz pl,z,Rd

M M 1.10 50 30

d 2 a 2 0.989 0.014

0.1 C M C M 0.1 2.272 0.8457 168.3 0.7471 80.09

           

       

 

zy y 5 pl LT

y z pl,y

C w W 1.128 569.6

C 1 w 1 2 14 n d 0.6 0.6 0.461

w w W 1.5 642.5

   

              

 

0.8457 2.272

1 1.128 1 2 14 0.0734 0.014

1.128

   

        

 

 

Czy 0.751

Calcolo del fattore C_zz:

0 y,Ed

LT LT 4 4

z my LT pl,y,Rd

M 1.10 50

e 1.7 a 1.7 0.989 0.024

0.1 C M 0.1 2.272 0.8457 168.3

         

     

 

zz z mz max mz max LT pl

z z pl,z

1.6 1.6 W 200.3

C 1 w 1 2 C C e n 0.655

w w W 305.8

  

              

 

 

 

1 1.50 1 2 0.7471 2.272 0.7471 2.272 0.024 0.0734

1.50 1.50

  

            

Czz 0.910

Calcolo del fattore k_yy:

y

my m,LT

Ed yy

cr,y

1 0.92 1

C C 0.8457

N C 1 150 0.939

1 N 1180

        



yy 

k 0.949

Calcolo del fattore k_yz:

y z

mz

Ed yz y

cr,z

w

1 0.92 1 1.50

C 1 N C 0.6 w 0.7471 1 150 0.812 0.6 1.128 415.9

N

           

 

kyz 0.916

Calcolo del fattore kzy:

z y

my m,LT

Ed zy z

cr,y

1 w 0.677 1 1.128

C C 0.6 0.8457 0.6

N C w 1 150 0.751 1.50

1 N 1180

            

 

kzy 0.454

Calcolo del fattore k_zz:

z mz

Ed zz

cr,z

1 0.677 1

C 1 N C 0.7471 1 150 0.910 415.9 N

       

 

kzz 0.869

Verifica di presso flessione deviata della colonna:

y,Ed z,Ed

Ed

yy yz

b,y,Rd b,y,Rd z,Rd

M M

N 150 50 30

k k 0.949 0.916

N  M  M 826.2 168.3 80.090.807 1.00

y,Ed z,Ed

Ed

zy zz

b,z,Rd b,y,Rd z,Rd

M M

N k k 150 0.454 50 0.869 30

N  M  M 321.1 168.3 80.090.927 1.00

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Verifica a presso flessione deviata – Appendice “B”

y,Ed z,Ed

Ed

yy yz

b,y,Rd b,y,Rd z,Rd

M M

N k k 1.00

N  M  M 

y,Ed z,Ed

Ed

zy zz

b,z,Rd b,y,Rd z,Rd

M M

N k k 1.00

N  M  M 

Sollecitazioni agenti sulla colonna:

Ed y,Ed z,Ed

N 150 kN M 50 kNm M 30 kNm







Determinazione dei fattori di momento equivalente (Tab. C4.2.VI Circolare Ministeriale):

my y my

y

0.6 0.4 0.6 0.4 0.2 0.4 0.4 1.00

          

  



mz z

z

0.6 0.4 0.6 0.00

    

 



Poiché il momento torcente agente sulla colonna è nullo il coefficiente risulta pari al minimo possibile in base alla Tab. C4.2.VI Circolare Ministeriale:

m,LT 0.4

 

Calcolo del fattore kyy:

 

 

yy my y yy,max yy

b,y,Rd

Ed

yy,max my

b,y,Rd

N 150

k 1 0.2 0.4 1 1.349 0.2 0.48 k k 0.46

N 826.2

N 150

k 1 0.8 0.4 1 0.8 0.46

N 826.2

   

               

   

         

Calcolo del fattore kyz:

yz zz

k 0.6 k 0.6 0.99 0.595 

Calcolo del fattore k_zy:

   

  ^{ }

z Ed

zy zy,min zy

b,z,Rd m,LT

Ed zy

b,z,Rd m,LT

N

0.1 0.1 2.272 150

k 1 1 0.29 k k 0.688

N 0.4 0.25 321.1

0.25 N

0.1 0.1 150

k 1 1 0.688

N 0.4 0.25 321.1

0.25

     

             

   

          

Calcolo del fattore k_zz:

 

 

zz mz y zz,max zz

b,z,Rd

Ed

zz,max mz

b,z,Rd

N 150

k 1 2 0.6 0.6 1 2 2.272 0.6 1.70 k k 0.99

N 321.1

N 150

k 1 1.4 0.6 1 1.4 0.99

N 321.1

   

                

   

         

Verifica di presso flessione deviata della colonna:

y,Ed z,Ed

Ed

yy yz

b,y,Rd b,y,Rd z,Rd

M M

N k k 150 0.46 50 0.595 30

N  M  M 826.2 168.3 80.090.541 1.00

y,Ed z,Ed

Ed

zy zz

b,z,Rd b,y,Rd z,Rd

M M

N k k 150 0.688 50 0.99 30

N  M  M 321.1 168.3 80.091.04 1.00

Conclusioni

Appare evidente che il metodo “B”, sebbene di più immediato utilizzo, risulta a “sfavore di sicurezza” per quanto attiene la verifica attorno all’asse forte, mentre è a “favore di sicurezza” per la verifica attorno all’asse debole. Va tuttavia fatto presente che il coefficiente k_zy, qualora la colonna non sia soggetta ad evidente deformabilità torsionale risulta pari a 0.6 k zzcon conseguente riduzione del valore “ratio” dovuto alla flessione attorno all’asse forte, nel qual caso la verifica risulta pressoché analoga a quella ottenuta con il Metodo “A”.