Quanta lana produce in media ogni pecora?

SCUOLA GALILEIANA DI STUDI SUPERIORI – CLASSE DI SCIENZE NATURALI ESAME DI AMMISSIONE– 17 SETTEMBRE 2008

Svolgere i primi tre esercizi, ed al pi` u quattro altri a scelta fra i rimanenti. Questo foglio deve essere consegnato assieme all’elaborato.

Parte obbligatoria

Esercizio 1. In un gregge di pecore ci sono 5 pecore nere ogni 3 pecore bianche. Le pecore nere producono in media 5,2 Kg di lana a testa, quelle bianche 4,0 Kg.

Quanta lana produce in media ogni pecora?

Alla tosatura si sono raccolti complessivamente 1292 Kg di lana. ` E possibile sapere quante pecore nere e quante pecore bianche ci sono nel gregge?

Esercizio 2. Due bidoni contengono volumi (non necessariamente uguali) rispettivamente di acqua (bidone A) ed olio (bidone B). Si riempie un mestolo (di volume v) di olio dal bidone B e lo si versa nel bidone A. Si mescola poi accuratamente il bidone A formandovi un’emulsione il pi` u possibile omogenea;

infine si riempie lo stesso mestolo con la miscela ora presente nel bidone A e lo si versa nel bidone B. A questo punto nel bidone A c’`e anche un volume b di olio, nel bidone B anche un volume a di acqua. Chi

`e pi` u grande, a o b?

E se supponiamo che invece dal bidone A si riporti solo mezzo mestolo?

Cambia la risposta alle due precedenti domande se supponiamo che prima di rimettere in B la miscela non si mescoli il bidone A?

Esercizio 3. Siano a, b le lunghezze di due lati adiacenti di un parallelogramma, c la lunghezza della diagonale che congiunge gli estremi liberi di tali lati, γ l’angolo compreso fra a e b (vedi figura).

a b

γ

c

Figura 1. Il parallelogramma.

Allora il quadrato dell’area del parallelogramma vale a

b

sin

γ.

Sia P funzione di tre variabili tale che P (a, b, c) sia pari al quadrato dell’area del parallelogramma.

(i) Trovare P (a, b, c), mostrando che `e un polinomio nelle variabili a, b, c.

(ii) Scomporre P (a, b, c) in fattori di primo grado.

(iii) Ritrovare la ben nota formula di Erone per l’area di un triangolo.

Parte a scelta

Il candidato deve chiaramente indicare quali esercizi fra quelli a scelta ha svolto; non ne saranno considerati altri. Indicare sotto con una crocetta quelli svolti fra i successivi esercizi a scelta (non pi` u di quattro)

4 5 6 7 8 9

Esercizio 4. Una successione strettamente crescente di numeri interi si dice a parit` a alterna se comincia con un numero dispari, ha come secondo termine un numero pari, poi un dispari, e cos`ı via. La lista vuota `e considerata a parit` a alterna. Indichiamo con A(n) l’insieme delle liste a parit` a alterna contenute in {1, . . . , n}, con P (n) = Card A(n) il loro numero.

(i) Calcolare direttamente P (1), P (2), P (3).

(ii) Esprimere P (n) mediante una formula ricorrente.

Esercizio 5. Su una retta si muovono senza attrito n palline p

, . . . , p

tutte della stessa massa. Di ogni pallina p

si conoscono all’istante 0 la posizione x

e la velocit` a v

(in modulo e segno). Si considerano solo condizioni in cui ogni singolo urto coinvolga esattamente due palline; e gli urti sono perfettamente elastici: questo significa che ad ogni urto due palline si scambiano fra loro le velocit` a (in modulo e segno).

(i) Trovare qual `e, per n = 2, 3, 4 il numero massimo di urti che possono aver luogo nel sistema, al variare delle condizioni iniziali.

(ii) Sapreste dire quanto vale tale numero massimo con n arbitrario?

Esercizio 6. Sulla riva di un laghetto circolare si trovano quattro case, A, B, C, D. Le distanze fra le case sono intese in linea d’aria. Si sa che la casa A dista dalle case B e C di un chilometro; si sa inoltre che la distanza fra la casa A e la casa D `e pari a cinque volte la distanza fra le case C e D, mentre la distanza fra D e B `e sette volte quella fra C e D (vedi figura). Trovare il raggio del lago.

O A

C D

B

Lago e case (probl. 6).

A M B

N

P C

Q D

γ

I parallelogrammi del problema 9.

Esercizio 7. Pietro ha un triangolo equilatero grande e tanti triangoli equilateri piccoli, fra loro uguali.

Dice al suo amico Luca: “Sai che riesco a coprire il triangolo grande con cinque di quelli piccoli?” Risponde Luca “Se `e cos`ı, te ne devono bastare quattro.” Ha ragione Luca?

Esercizio 8. Un insegnante di scuola superiore deve scrivere esercizi sulle equazioni di secondo grado;

le scrive tutte nella forma

x

+ 2p x + q = 0,

scegliendo p e q fra gli interi relativi compresi fra −N ed N , dove N = M

`e un intero (si suppone M > 1 intero). Dato che i suoi allievi non conoscono i numeri complessi vuol fare s`ı che le soluzioni siano reali.

Con quale probabilit` a le soluzioni sono reali, se tutte le scelte di p e q sono equiprobabili fra −N ed N ? Cosa cambia se N non `e il quadrato di un intero? Cosa succede con N molto grande? (pu`o essere utile la formula 1

+ 2

+ · · · + n

= n(n + 1)(2n + 1)/6).

Esercizio 9. In un parallelogramma ABCD si congiungono fra loro i punti medi M, N, P, Q dei lati (vedi figura sopra).

(i) Mostrare che M N P Q `e un parallelogramma.

(ii) Quali condizioni sul parallelogramma originario ABCD assicurano che il parallelogramma me- diano M N P Q sia simile ad ABCD? in particolare, se l’angolo γ `e di 60

, come deve essere il rapporto ρ = |AB|/|AD|?

(Due parallelogrammi sono simili quando si possono dividere in triangoli simili tirando una diagonale)