8. Esercizi di Geometria Per Elettronici
(Semestre Invernale 2018/2019)
Dr. Matteo Penegini Prof. Riccardo Camerlo
Esercizio 1. Si considerino la matrici
A :=
5 4 3
−1 0 −3
1 −2 1
, B :=
3 1 −1 1 3 −1 0 0 2
.
(1) Calcolare il polinomio caratteristico di A e di B;
(2) trovarne autovalori ed autovettori;
(3) dire se la matrici A (rispettivamente B) `e diagonalizzabile e, in caso di risposta affermativa, esibire una matrice invertibile H tale che H−1AH (rispettivamente H−1BH) sia diagonale.
Esercizio 2. Si considerino le seguenti matrici Aλ
1 − 2λ −λ −λ
2λ 1 + λ λ
2λ λ 1 + λ
,
1 2 λ2− λ λ
2 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 3
.
al variare di λ ∈ R.
(1) Determinare autovalori ed autovettori di Aλ; (2) trovare i λ per cui Aλ `e diagonalizzabile;
(3) determinare gli autospazi relativi ad Aλ;
(4) nel caso in cui Aλ sia diagonalizzabile trovare una matrice invertibile Hλ tale che
Hλ−1AλHλ = Jλ.
Esercizio 3. La traccia di un endomorfismo Definiamo la traccia tr(A) di una matrice quadrata A come la somma degli elementi nella diagonale principale.
Mostrare che per ogni matrice invertibile P si ha tr(A) = tr(P−1AP ) (sugge- rimento: pensare al polinomio caratteristico di A e guardare il coefficiente del termine di grado n − 1). Dedurre che possiamo definire la traccia per una ap- plicazione lineare come la traccia di una qualunque matrice che la rappresenti scelta una base dello spazio (cio`e, la definizione appena data non dipende dalla base).
(1) Mostrare che tr(A + B) = tr(A) + tr(B) e tr(αA) = αtr(A) per α ∈ R.
(2) Dimostrare che tr(AB) = tr(BA) e che tr(AB) 6= tr(A)tr(B) in generale.
1
