3. Esercizi di Geometria Per Elettronici

3. Esercizi di Geometria Per Elettronici

(Semestre Invernale 2018/2019)

Dr. Matteo Penegini Prof. Riccardo Camerlo

Esercizio 1. Una successione di elementi di un campo K `e una funzione s : N −→ K; s(n) = a_n

e denotiamo la successione con {a_n}. Sia S_K l’insieme di tutte le successioni di elementi di K e definiamo su SK le seguenti operazioni:

{a_n} + {b_n} = {a_n+ b_n}, k{a_n} = {ka_n}; ∀k ∈ K dimostrare che con queste operazioni S_K `e un K−spazio vettoriale.

Esercizio 2. Consideriamo l’insieme C(R) delle funzioni continue f : R −→ R con le operazioni

(f + g)(x) = f (x) + g(x); (a · f )(x) = af (x) ∀a ∈ R.

Verificare che C(R) `e uno spazio spazio vettoriale reale. Rispondere alle seguenti domane:

(1) `E vero che l’insieme formato dalle tre funzioni 1 (funzione costante), sin<sup>2</sup> e cos<sup>2</sup> `e linearmente dipendente?

(2) Per le funzioni 1, sin e cos ?

(3) si consideri l’insieme {sin(nx)|n ∈ N, n 6= 0} ∪ {cos(nx)|n ∈ N} e si dimostri che `e un insieme linearmente indipendente.

Esercizio 3. Verificare se i seguenti insiemi in R³ sono linearmente indipendenti (1) {(2, 1, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 1)};

(2) {(1, 1, 1), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (3, 1, 1)};

(3) {(1, 5, 0), (0, 0, 4), (1, 0, 2)};

(4) {(²⁰₉ , 4, 12), (⁵₉, 1, 3), (¹⁰¹₃ , 0,¹¹₈ )}.

Esercizio 4. Stabilire quali, tra i seguenti sottoinsiemi di R⁴, sono sottospazi vettoriali e, in caso positivo, trovarne una base:

(1) W₁ = {(a, b, 2a, −b)|a, b ∈ R};

(2) W₂ = {(a, 1 + a, a − b, 0)|a, b ∈ R};

(3) W₃ = {(a + b, b − a, 0, −b)|a, b ∈ R};

Esercizio 5. Sia R[X]^≤n = {p ∈ R[X]| deg(p) ≤ n}. `E uno spazio vettoriale di dimensione finita (verificare!). Si considerino i seguenti sottoinsiemi:

(1) W₁ = {p ∈ R[X]^≤3|p(1) = 0};

(2) W2 = {p ∈ R[X]^≤3|p(1) = 0 = p(0)};

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Per ciascuno di essi, verificare che si tratta di un sottospazio vettoriale di R[X]^≤3 e trovarne una base.