Legge del raffreddamento di
Newton
• L’obiettivo di questo esperimento era lo studio della temperatura di un oggetto che si raffredda partendo da una temperatura significativamente superiore alla temperatura ambiente, in funzione del tempo.
• Con un apposito strumento effettuiamo la misura e raccogliamo in una tabella la misura della
temperatura in gradi centigradi e il tempo a cui questa misura si riferisce in secondi.
• Trasferiamo i dati così raccolti in un file EXCEL e registriamo anche la temperatura ambiente in una delle caselle del file.
• Rappresentiamo in un grafico l’andamento della temperatura in funzione del tempo.
time (s) temperature (°C)
0 80,7
1 80,2
2 79,3
3 78,6
4 77,7
5 76,8
6 75,9
7 75,1
8 74,3
9 73,5
10 72,7
11 71,9
12 71,2
13 70,2
14 69,4
15 68,8
16 68,1
17 67,4
18 66,7
19 66,0
20 65,2
21 64,7
22 63,9
23 63,3
raffreddamento
0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0
0 20 40 60 80 100 120
tempo (s)
temperatura (°C)
qualche considerazione sul grafico:
• ha un aspetto ragionevole?
• fino a quale valore scenderà la temperatura?
• quale funzione matematica può rappresentare l’evoluzione temporale della temperatura?
• c’e’ bisogno di trattare i dati in qualche modo?
• La discesa della temperatura sembra seguire un andamento esponenziale, ma:
– la funzione esponenziale negativa ha 0 come limite, mentre il limite dei nostri dati è la temperatura dell’ambiente circostante (in generale
diversa da 0).
• Excel non è in grado di aggiungere un “offset” alla funzione esponenziale.
• L’”offset” da sottrarre ai dati è la temperatura ambiente.
• Nella colonna C calcoliamo la differenza di temperatura
T
amb tra ilcorpo in esame e l’ambiente e riportiamola in un grafico.
• Se, per t ∞, la temperatura del corpo tende alla temperatura ambiente, ci possiamo aspettare che, per t ∞,
T
amb tenda a 0.Possiamo ipotizzare che, se avessimo continuato a prendere misure, la differenza di temperatura sarebbe arrivata a 0.
E’ possibile verificare l’andamento esponenziale secondo una legge del tipo:
Y = A e
–kte determinare anche i valori di A e di k che consentono di rappresentare meglio i dati.
• Questa funzione esponenziale sembra rappresentare bene i nostri dati.
•Che significato fisico ha la costante A= 61,531 ?
per x=0 (cioe’ all’istante iniziale) y = A A rappresenta la differenza di temperatura tra corpo e ambiente all’istante iniziale
• E la costante k = 0,0142 ?
k e’ un indice della rapidita’ di diminuzione della temperatura (cooling rate, s-1)
• Quali sono le loro unità di misura?
Per valutare se l’adattamento e’ buono, possiamo utilizzare un piccolo trucco matematico.
Linearizzazione
del problema:come si puo’ trasformare la dipendenza esponenziale in una dipendenza lineare?
funzione logaritmo = funzione inversa della funzione esponenziale
cioè
ln(e
x) = x
quindi se
Y = A e
–kt ln(Y) = ln A – kt
linearizzazione del problema :
• calcoliamo il logaritmo della differenza di temperatura e mettiamolo nella colonna D.
• rappresentiamo i dati in un grafico in funzione del tempo.
• controlliamo l’adattamento ai dati di una funzione lineare, cioè di una retta.
• quale significato hanno le costanti trovate?
• hanno il valore che ci aspettavamo?
Da un punto di vista qualitativo possiamo dire che la velocità con cui il corpo si raffredda, diminuisce con il passare del tempo.
Possiamo dire qualcosa di più quantitativo?
Esiste una dipendenza dalla differenza di temperatura?
• costruiamo il grafico della velocità di diminuzione della temperatura in funzione della differenza di temperatura
• in colonna E calcoliamo la variabile T/t dove T è la temperatura del corpo e t è il tempo.
• riportiamola in un grafico in funzione di T
amb• Come ci si aspettava, la velocità di diminuzione della temperatura del corpo è più alta quando è maggiore la differenza di
temperatura tra il corpo e l’ambiente.
• Consideriamo una curva di tendenza lineare per trovare il migliore adattamento ai punti. Impostiamo l’intercetta = 0.
(Perché ?)
