Università degli Studi di Siena Facoltà di Economia

Università degli Studi di Siena

Facoltà di Economia

Correzione Prova intermedia di Matematica Generale (A.A. 11-12)

19 novembre 2011 Compito

") I METODO (con la tavola di appartenenza)

E F G E ∩ F ÐE ∩ FÑ ÐGÑ E ∪ F

− − − − Â Â −

− − Â − Â − −

− Â − Â − Â −

− Â Â Â −

 − −  −  −

 −   −

  −  −  Â

    −

V V

Per l'ipotesi posta VÐE ∩ FÑ © G dobbiamo escludere le righe ove per VÐE ∩ FÑ compare il simbolo − e per l'insieme compare il simbolo G Â; nelle restanti cinque righe all'unico caso in cui abbiamo − per l'insieme VÐGÑ è associato il simbolo

−per E ∪ F, pertanto l'inclusione VÐGÑ © E ∪ F è vera.

II METODO (con il ragionamento logico)

L'inclusione VÐE ∩ FÑ © G è equivalente alla VÐGÑ © E ∩ F, ma E ∩ F © E ∪ F, pertanto si avrà VÐGÑ © E ∪ F.

III METODO (con i diagrammi di Eulero-Venn):

Considera il seguente diagramma dove con il rosso abbiamo indicato E ∩ F e con il verde VÐE ∩ FÑ, se VÐE ∩ FÑ © G tutto la parte in verde appartiene all'insieme eG quindi la parte interna al bordo giallo è VÐGÑ.

Nel diagramma seguente indichiamo con il blu E ∪ F, come è chiaramente evidenziato risulta verificato che VÐGÑ © E ∪ F.

#) RIFLESSIVA: la relazione è riflessiva in quanto aÐBß CÑ −‘‚‘, si ha B  C œ B  C^{# # # #}, quindi aÐBß CÑß ÐBß CÑ ÐBß CÑe .

SIMMETRICA: la relazione è simmetrica in quanto

a ÐBß CÑß Ð?ß @Ñ −

‘‚‘
‚ ‘‚‘ , si ha che da  B  C œ ?  @^{# # # #} discende banalmente l'uguaglianza ?  @ œ B  C^{# # # #}, quindi

a ÐBß CÑß Ð?ß @Ñ ß ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ Ê Ð?ß @Ñ ÐBß CÑ
 e e .

ANTISIMMETRICA: la relazione non è antisimmetrica, per dimostrarlo basta considerare le coppie Ð"ß !Ñ Ð  "ß !Ñ e ; per tali coppie vale "  ! œ  "^{# #}
^# !^#, ma Ð"ß !Ñ Á Ð  "ß !Ñ.

TRANSITIVA: la relazione è transitiva in quanto

a ÐBß CÑß Ð?ß @Ñß ÐAß DÑ −

‘‚‘
‚ ‘‚‘
‚ ‘‚‘ , si ha che da B  C œ ?  @^{# # # #} e ?  @ œ A  D^{# # # #} discende banalmente l'uguaglianza B  C œ A  D^{# # # #}, quindi

a ÐBß CÑß Ð?ß @Ñß ÐAß DÑ ß ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ • Ð?ß @Ñ ÐAß DÑ Ê ÐBß CÑ ÐAß DÑ
 e e e .

COMPLETA: la relazione è completa in quanto scelta una arbitraria coppia ÐBß CÑ risulta: se almeno un elemento della coppia è diverso da , ! ÐBß CÑ Á Ð  Bß  CÑ e B  C œ  B^{# #}
^#   C
 , se entrambi gli elementi della coppia sono nulli,^# Ð!ß !Ñ Á Ð"ß "Ñ !  ! œ "  " e ^{# # # #}, quindi aÐBß CÑß bÐ?ß @Ñ Á ÐBß CÑÀ ÐBß CÑ Ð?ß @Ñe .

$ E œ ÖB −) ‘À 691 ÐB  "Ñ € # × œ ÖB −‘À B  " € % × œ ÖB −‘À B € & × œ

#

Ò&ß ( ∞Ò F œ ÖB −. ‘À #^#B Ÿ )× œ ÖB −‘À #^#B Ÿ # × œ ÖB −^$ ‘À B Ÿ $Î#× œ Ó  ∞ß $Î#Ó E ∩ F œ g FÎE œ F. ; ; WÐE ∩ FÑ œ g e $ÐFÎEÑ œ ÐFÑ œ Ö$Î#×$ .

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1 ‰ 0 ‰ 1 œ 1Ð0 Ð1ÐBÑÑÑ œ 1 " ( " œ "

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637 637

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$ B B

# È . _{B Ä ∞}

637

637

#B B #

# # %

') La definizione di limite proposta è quella di

637

B Ä ( ∞

grafico di una funzione che ammette tale limite.

-10 -5 0 5 10 15 20

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

grafico funzione

Compito 

") I METODO (con la tavola di appartenenza)

E F G E ∩ F ÐGÑ E ∪ F ÐE ∪ FÑ

− − − − Â

− − Â − − − Â

− Â − Â Â − Â

− Â Â Â − − Â

 − −   − Â

 −   − − Â

  −    −

    −  −

V V

Per l'ipotesi posta E ∩ F © ÐGÑV dobbiamo escludere le righe ove per E ∩ F compare il simbolo − e per l'insieme VÐGÑ compare il simbolo Â; nelle restanti sette righe in due casi abbiamo − per l'insieme a cui è associato il simbolo G Âper VÐE ∪ FÑ, pertanto non possiamo concludere con certezza che l'inclusione

G © ÐE ∪ FÑV è vera.

II METODO (con il ragionamento logico)

L'inclusione E ∩ F © ÐGÑV è equivalente alla G © ÐE ∩ FÑV , ma in generale VÐE ∩ FÑ ©Î ÐE ∪ FÑV , pertanto non è certo che si abbia G © ÐE ∪ FÑV .

III METODO (con i diagrammi di Eulero-Venn):

Considera il seguente diagramma dove con il rosso abbiamo indicato E ∩ F, se E ∩ F © ÐGÑV la parte interna al bordo giallo è VÐGÑ e la parte esterna in verde è l'insieme .G

Nel diagramma seguente indichiamo con il blu VÐE ∪ FÑ, come è chiaramente evidenziato non tutta la parte esterna al bordo giallo è blu, quindi G ©Î ÐE ∪ FÑV .

#) RIFLESSIVA: la relazione è riflessiva in quanto aÐBß CÑ −‘‚‘, si ha B ( C œ B ( C^{# # # #}, quindi aÐBß CÑß ÐBß CÑ ÐBß CÑe .

SIMMETRICA: la relazione è simmetrica in quanto

a ÐBß CÑß Ð?ß @Ñ −

‘‚‘
‚ ‘‚‘ , si ha che da  B ( C œ ? ( @^{# # # #} discende banalmente l'uguaglianza ? ( @ œ B ( C^{# # # #}, quindi

a ÐBß CÑß Ð?ß @Ñ ß ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ Ê Ð?ß @Ñ ÐBß CÑ
 e e .

ANTISIMMETRICA: la relazione non è antisimmetrica, per dimostrarlo basta considerare le coppie Ð"ß !Ñ Ð  "ß !Ñ e ; per tali coppie vale " ( ! œ  "^{# #}
^#( !^#, ma Ð"ß !Ñ Á Ð  "ß !Ñ.

TRANSITIVA: la relazione è transitiva in quanto

a ÐBß CÑß Ð?ß @Ñß ÐAß DÑ −

‘‚‘
‚ ‘‚‘
‚ ‘‚‘ , si ha che da B ( C œ ? ( @^{# # # #} e ? ( @ œ A ( D^{# # # #} discende banalmente l'uguaglianza B ( C œ A ( D^{# # # #}, quindi

a ÐBß CÑß Ð?ß @Ñß ÐAß DÑ ß ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ • Ð?ß @Ñ ÐAß DÑ Ê ÐBß CÑ ÐAß DÑ
 e e e .

COMPLETA: la relazione non è completa in quanto scelta la coppia Ð!ß !Ñ non esiste coppia Ð?ß @Ñ Á Ð!ß !Ñ tale per cui ! ( ! œ ? ( @^{# # # #}.

$ E œ ÖB −) ‘À 691 ÐB  "Ñ € " × œ ÖB −‘À B  " € # × œ ÖB −‘À B € $ × œ

#

Ò$ß ( ∞Ò F œ ÖB −. ‘À # Ÿ )× œ ÖB −^B ‘À # Ÿ # × œ ÖB −^{B $} ‘À B Ÿ $× œ Ó  ∞ß $Ó E ∩ F œ Ö$× FÎE œ Ó  ∞ß $Ò. ; ; WÐE ∩ FÑ œ g e $ÐFÎEÑ œ Ö$×.

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637 637

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637 637

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B

# .

') La definizione di limite proposta è quella di _{B Ä  ∞}

637

0 5 10 15 20 25 30

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

grafico funzione

Compito ‚

") I METODO (con la tavola di appartenenza)

E F G E ∪ F ÐE ∪ FÑ ÐGÑ E ∩ F

− − − − Â Â −

− − Â − Â − −

− Â − − Â Â Â

− Â Â − Â − Â

 − − −   Â

 −  −  − Â

  −  −  Â

    −

V V

Per l'ipotesi posta VÐE ∪ FÑ © G dobbiamo escludere le righe ove per VÐE ∪ FÑ compare il simbolo − e per l'insieme compare il simbolo G Â; nelle restanti sette righe in due casi abbiamo − per l'insieme VÐGÑ a cui è associato il simbolo Âper E ∩ F, pertanto non possiamo concludere con certezza che l'inclusione

VÐGÑ © E ∩ F è vera.

II METODO (con il ragionamento logico)

L'inclusione VÐE ∪ FÑ © G è equivalente alla VÐGÑ © E ∪ F, ma in generale E ∪ F ©Î E ∩ F, pertanto non è certo che si abbia VÐGÑ © E ∩ F.

III METODO (con i diagrammi di Eulero-Venn):

Considera il seguente diagramma dove con il rosso abbiamo indicato VÐE ∪ FÑ, se VÐE ∪ FÑ © G la parte interna al bordo giallo è VÐGÑ.

Nel diagramma seguente indichiamo con il blu E ∩ F, come è chiaramente evidenziato non tutta la parte interna al bordo giallo è blu, quindi VÐGÑ ©Î E ∩ F.

#) RIFLESSIVA: la relazione è riflessiva in quanto aÐBß CÑ −‘‚‘, si ha B † C œ B † C^{# # # #}, quindi aÐBß CÑß ÐBß CÑ ÐBß CÑe .

SIMMETRICA: la relazione è simmetrica in quanto

a ÐBß CÑß Ð?ß @Ñ −

‘‚‘
‚ ‘‚‘ , si ha che da  B † C œ ? † @^{# # # #} discende banalmente l'uguaglianza ? † @ œ B † C^{# # # #}, quindi

a ÐBß CÑß Ð?ß @Ñ ß ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ Ê Ð?ß @Ñ ÐBß CÑ
 e e .

ANTISIMMETRICA: la relazione non è antisimmetrica, per dimostrarlo basta considerare le coppie Ð"ß !Ñ Ð#ß !Ñ e ; per tali coppie vale " † ! œ # † !^{# # # #}, ma Ð"ß !Ñ Á Ð#ß !Ñ.

TRANSITIVA: la relazione è transitiva in quanto

a ÐBß CÑß Ð?ß @Ñß ÐAß DÑ −

‘‚‘
‚ ‘‚‘
‚ ‘‚‘ , si ha che da B † C œ ? † @^{# # # #} e ? † @ œ A † D^{# # # #} discende banalmente l'uguaglianza B † C œ A † D^{# # # #}, quindi

a ÐBß CÑß Ð?ß @Ñß ÐAß DÑ ß ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ • Ð?ß @Ñ ÐAß DÑ Ê ÐBß CÑ ÐAß DÑ
 e e e .

COMPLETA: la relazione è completa in quanto scelta una arbitraria coppia ÐBß CÑ risulta: se almeno un elemento della coppia è diverso da , ! ÐBß CÑ Á Ð  Bß  CÑ e B † C œ  B^{# #}

^# †  C , se entrambi gli elementi della coppia sono nulli,^# Ð!ß !Ñ Á Ð!ß "Ñ ! † ! œ ! † " e ^{# # # #}, quindi aÐBß CÑß bÐ?ß @Ñ Á ÐBß CÑÀ ÐBß CÑ Ð?ß @Ñe .

$ E œ ÖB −) ‘À 691 ÐB ( "Ñ € # × œ ÖB −‘À B ( " € % × œ ÖB −‘À B € $ × œ

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Ò$ß ( ∞Ò F œ ÖB −. ‘À #^$B Ÿ %× œ ÖB −‘À #^$B Ÿ # × œ ÖB −^# ‘À B Ÿ #Î$× œ Ó  ∞ß #Î$Ó E ∩ F œ g FÎE œ F. ; ; WÐE ∩ FÑ œ g e $ÐFÎEÑ œ ÐFÑ œ Ö#Î$×$ .

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B Ä ∞ŒB  " B Ä ∞ŒŒ " 


B œ "  B œ Ä / œ /

$B B $

" $ $

.

') La definizione di limite proposta è quella di _{B Ä  ∞}

637

-10 -5 0 5 10 15 20

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

grafico funzione

Compito ƒ

") I METODO (con la tavola di appartenenza)

E F G E ∪ F ÐGÑ E ∩ F ÐE ∩ FÑ

− − − − Â

− − Â − − − Â

− Â − − Â

− Â Â − − Â −

 − − − Â

 −  − −  −

  −    −

    −  −

V V

Per l'ipotesi posta E ∪ F © ÐGÑV dobbiamo escludere le righe ove per E ∪ F compare il simbolo − e per l'insieme VÐGÑ compare il simbolo Â; nelle restanti cinque righe all'unico caso in cui abbiamo − per l'insieme è associato il simboloG

−per VÐE ∩ FÑ, pertanto l'inclusione G © ÐE ∩ FÑV è vera.

II METODO (con il ragionamento logico)

L'inclusione E ∪ F © ÐGÑV è equivalente alla G © ÐE ∪ FÑV , ma da

E ∩ F © E ∪ F deriva VÐE ∪ FÑ © ÐE ∩ FÑV , pertanto si avrà G © ÐE ∩ FÑV . III METODO (con i diagrammi di Eulero-Venn):

Considera il seguente diagramma dove con il rosso abbiamo indicato E ∪ F e con il verde VÐE ∪ FÑ, se E ∪ F © ÐGÑV tutto la parte in rosso appartiene all'insieme VÐGÑ che è la parte interna al bordo giallo.

Nel diagramma seguente indichiamo con il blu VÐE ∩ FÑ, come è chiaramente evidenziato l'insieme (parte esterna al bordo giallo) risulta tutta contenuta nellaG parte di colore blu, pertanto è verificato che G © ÐE ∩ FÑV .

#) RIFLESSIVA: la relazione è riflessiva in quanto aÐBß CÑ −‘‚‘, si ha B  B œ C  C^{# # # #}, quindi aÐBß CÑß ÐBß CÑ ÐBß CÑe .

SIMMETRICA: la relazione è simmetrica in quanto

a ÐBß CÑß Ð?ß @Ñ −

‘‚‘
‚ ‘‚‘ , si ha che da  B  ? œ C  @^{# # # #} discende banalmente l'uguaglianza ?  B œ @  C^{# # # #}, quindi

a ÐBß CÑß Ð?ß @Ñ ß ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ Ê Ð?ß @Ñ ÐBß CÑ
 e e .

ANTISIMMETRICA: la relazione non è antisimmetrica, per dimostrarlo basta considerare le coppie Ð"ß "Ñ Ð  "ß  "Ñ e ; per tali coppie vale sia

"   "^#
^# œ "   "^#
^# che
 "^# " œ  "^#
^# "^#, ma Ð"ß "Ñ Á Ð  "ß  "Ñ.

TRANSITIVA: la relazione è transitiva in quanto

a ÐBß CÑß Ð?ß @Ñß ÐAß DÑ −

‘‚‘
‚ ‘‚‘
‚ ‘‚‘ , si ha che da B  ? œ C  @^{# # # #} e ?  A œ @  D^{# # # #} discende banalmente l'uguaglianza B  A œ C  D^{# # # #}, quindi

a ÐBß CÑß Ð?ß @Ñß ÐAß DÑ ß ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ • Ð?ß @Ñ ÐAß DÑ Ê ÐBß CÑ ÐAß DÑ
 e e e .

COMPLETA: la relazione è completa in quanto scelta una arbitraria coppia ÐBß CÑ risulta: se almeno un elemento della coppia è diverso da , ! ÐBß CÑ Á Ð  Bß  CÑ e B   B^#
^# œ C   C^#
 , se entrambi gli elementi della coppia sono nulli,^# Ð!ß !Ñ Á Ð"ß "Ñ !  " œ !  " e ^{# # # #}, quindi aÐBß CÑß bÐ?ß @Ñ Á ÐBß CÑÀ ÐBß CÑ Ð?ß @Ñe .

$ E œ ÖB −) ‘À 691 ÐB  "Ñ € " × œ ÖB −‘À B  " € # × œ ÖB −‘À B € $ × œ

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Ò$ß ( ∞Ò F œ ÖB −. ‘À #^#B 9 %× œ ÖB −‘À #^#B 9 # × œ ÖB −^# ‘À B 9 "× œ Ó"ß ( ∞Ò E ∪ F œ F EÎF œ g. ; ; $ÐE ∪ FÑ œ ÐFÑ œ Ö"×$ e WÐEÎFÑ œ g.

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637 637

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B Ä ∞ŒB ( # B Ä ∞ŒŒ # 


B œ " ( B œ Ä / œ /

$B B $

# $ '

.

') La definizione di limite proposta è quella di

637

B Ä !

di una funzione che ammette tale limite.

0 20 40 60 80 100 120

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

grafico funzione

Compito „

") I METODO (con la tavola di appartenenza)

E F G ÐFÑ E ∪ ÐFÑ ÐEÑ ÐEÑ ∩ F

− − − Â − Â Â

− − Â Â −

− Â − − − Â Â

− Â Â − −

 − −   − −

 −    − −

  − − − − Â

   − −

V V V V

Per l'ipotesi posta E ∪ ÐFÑ © GV dobbiamo escludere le righe ove per E ∪ ÐFÑV compare il simbolo − e per l'insieme compare il simbolo G Â; nelle restanti cinque righe in tre caso in cui abbiamo − per l'insieme è associato il simbolo G Âper VÐEÑ ∩ F, pertanto non possiamo concludere con certezza che l'inclusione G © ÐEÑ ∩ FV è vera.

II METODO (con il ragionamento logico)

L'inclusione E ∪ ÐFÑ © GV è equivalente alla VÐGÑ © ÐE ∪ ÐFÑÑ œ ÐEÑ ∩ FV V V , pertanto si può concludere che VÐGÑ © ÐEÑ ∩ FV ma non che G © ÐEÑ ∩ FV .

III METODO (con i diagrammi di Eulero-Venn):

Considera il seguente diagramma dove con il rosso abbiamo indicato E ∪ ÐFÑV e con il verde VÐEÑ ∩ F, se E ∪ ÐFÑ © GV tutto la parte in rosso appartiene all'insieme G e quindi la parte interna al bordo giallo è VÐGÑ, come è chiaramente evidenziato non risulta verificato che G © ÐEÑ ∩ FV , ma è invece verificata l'inclusione VÐGÑ © ÐEÑ ∩ F.V

#) RIFLESSIVA: la relazione non è riflessiva, per dimostrarlo basta considerare la coppia Ð"ß !Ñ; per tale coppia non vale " ( " œ ! ( !^{# # # #}.

SIMMETRICA: la relazione è simmetrica in quanto

a ÐBß CÑß Ð?ß @Ñ −

‘‚‘
‚ ‘‚‘ , si ha che da  B ( ? œ C ( @^{# # # #} discende banalmente l'uguaglianza ? ( B œ @ ( C^{# # # #}, quindi

a ÐBß CÑß Ð?ß @Ñ ß ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ Ê Ð?ß @Ñ ÐBß CÑ
 e e .

ANTISIMMETRICA: la relazione non è antisimmetrica, per dimostrarlo basta considerare le coppie Ð"ß "Ñ Ð!ß !Ñ e ; per tali coppie vale sia " ( ! œ " ( !^{# # # #} che

! ( " œ ! ( "^{# # # #}, ma Ð"ß "Ñ Á Ð!ß !Ñ.

TRANSITIVA: la relazione non è transitiva, per dimostrarlo basta considerare le coppie Ð"ß !Ñ Ð!ß "Ñ Ð"ß !Ñ, e ; per tali coppie vale sia " ( ! œ ! ( "^{# # # #} che

! ( " œ " ( !^{# # # #}, ma " ( " Á ! ( !^{# # # #}.

COMPLETA: la relazione è completa in quanto scelta una arbitraria coppia ÐBß CÑ risulta: se B ( C Á ! ÐBß CÑ Á Ð  Cß  BÑ B (  C, e ^#
^# œ C (  B^#
^#, se B ( C œ ! ÐBß CÑ Á Ð"ß "Ñ B ( " œ C ( ", e ^{# # # #}, quindi

aÐBß CÑß bÐ?ß @Ñ Á ÐBß CÑÀ ÐBß CÑ Ð?ß @Ñe .

$ E œ ÖB −) ‘À 691 ÐB ( #Ñ € $ × œ ÖB −‘À B ( # € ) × œ ÖB −‘À B € ' × œ

#

Ò'ß ( ∞Ò F œ ÖB −. ‘À #^B" 9 %× œ ÖB −‘À #^B" 9 # × œ ÖB −^# ‘À B 9 $× œ Ó$ß ( ∞Ò E ∪ F œ F EÎF œ g. ; ; $ÐE ∪ FÑ œ ÐFÑ œ Ö$×$ e WÐEÎFÑ œ g.

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637 637

B Ä ! B Ä !

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B

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637 637

B Ä ∞ŒB  $ B Ä ∞ŒŒ $ 


B œ "  B œ Ä / œ /

#B B #

$ # '

.

') La definizione di limite proposta è quella di

637

B Ä !

di una funzione che ammette tale limite.

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

grafico funzione

Compito …

") I METODO (con la tavola di appartenenza)

E F G ÐEÑ ÐEÑ ∪ F ÐFÑ E ∩ ÐFÑ

− − − Â − Â Â

− − Â Â −

− Â − Â Â − −

− Â Â Â Â − −

 − − − −  Â

 −  − −

  − − − − Â

   − −

V V V V

Per l'ipotesi posta VÐEÑ ∪ F © G dobbiamo escludere le righe ove per VÐEÑ ∪ F compare il simbolo − e per l'insieme compare il simbolo G Â; nelle restanti cinque righe troviamo un caso in cui abbiamo i simboli  per l'insieme e G − per

E ∩ ÐFÑV , pertanto non possiamo concludere che in generale vale l'inclusione G © E ∩ ÐFÑV .

II METODO (con il ragionamento logico)

L'inclusione VÐEÑ ∪ F © G è equivalente alla VÐGÑ © Ð ÐEÑ ∪ FÑ œ E ∩ ÐFÑV V V , pertanto si può concludere che VÐGÑ © E ∩ ÐFÑV ma non che G © E ∩ ÐFÑV .

III METODO (con i diagrammi di Eulero-Venn):

Considera il seguente diagramma dove con il rosso abbiamo indicato VÐEÑ ∪ F e con il verde E ∩ ÐFÑV , se VÐEÑ ∪ F © G tutto la parte in rosso appartiene all'insieme G e quindi la parte interna al bordo giallo è VÐGÑ, come è chiaramente evidenziato non risulta verificato che G © E ∩ ÐFÑV , ma è invece verificata l'inclusione VÐGÑ © E ∩ ÐFÑ.V

#) RIFLESSIVA: la relazione non è riflessiva, per dimostrarlo basta considerare la coppia Ð"ß !Ñ; per tale coppia non vale " † " œ ! † !^{# # # #}.

SIMMETRICA: la relazione è simmetrica in quanto

a ÐBß CÑß Ð?ß @Ñ −

‘‚‘
‚ ‘‚‘ , si ha che da  B † ? œ C † @^{# # # #} discende banalmente l'uguaglianza ? † B œ @ † C^{# # # #}, quindi

a ÐBß CÑß Ð?ß @Ñ ß ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ Ê Ð?ß @Ñ ÐBß CÑ
 e e .

ANTISIMMETRICA: la relazione non è antisimmetrica, per dimostrarlo basta considerare le coppie Ð"ß "Ñ Ð!ß !Ñ e ; per tali coppie vale sia " † ! œ " † !^{# # # #} che

! † " œ ! † "^{# # # #}, ma Ð"ß "Ñ Á Ð!ß !Ñ.

TRANSITIVA: la relazione non è transitiva, per dimostrarlo basta considerare le coppie Ð"ß !Ñ Ð!ß !Ñ Ð"ß !Ñ, e ; per tali coppie vale sia " † ! œ ! † !^{# # # #} che

! † " œ ! † !^{# # # #}, ma " † " Á ! † !^{# # # #}.

COMPLETA: la relazione è completa in quanto scelta una arbitraria coppia ÐBß CÑ risulta: se almeno un elemento della coppia è diverso da , ! ÐBß CÑ Á Ð!ß !Ñ e B † ! œ C † !^{# # # #}, se entrambi gli elementi della coppia sono nulli, Ð!ß !Ñ Á Ð"ß "Ñ e

! † " œ ! † "^{# # # #}, quindi aÐBß CÑß bÐ?ß @Ñ Á ÐBß CÑÀ ÐBß CÑ Ð?ß @Ñe .

$ E œ ÖB −) ‘À 691 ÐB  $Ñ € #× œ ÖB − ‘À B  $ € % × œ ÖB −‘À B € ( × œ

#

Ò(ß ( ∞Ò F œ ÖB −. ‘À #^B(" 9 % × œ ÖB −^" ‘À #^B(" 9 # × œ^#

ÖB − ‘À B 9  $× œ Ó  $ß ( ∞Ò E ∪ F œ F EÎF œ g. ; ;

$ÐE ∪ FÑ œ ÐFÑ œ Ö  $×$ e WÐEÎFÑ œ g.

% 1 ‰ 0 œ 1Ð0 ÐBÑÑ œ 1 " œ # œ #

) ÊB ^{ŠÉ"B‹#(" "B("};

1 ‰ 1 ‰ 0 œ 1Ð1Ð0 ÐBÑÑÑ œ 1 #Š ^"B ‹œ # ^{"B ("} œ #

# "

B ("

(" Š# ‹(" % ("

.

& %  % œ % † œ % † Ä 691 % œ % 691 % œ )

"  # Ä 691 #

)

637 637

B Ä ! B Ä !

B("

B

% "

B

# "

B

B

B #





637 637

B Ä ∞ŒB  $ B Ä ∞ŒŒ $ 


B œ "  B œ Ä / œ /

 B 

$ 

B

#

"

# "

# $

#.

') La definizione di limite proposta è quella di

637

B Ä !

di una funzione che ammette tale limite.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

grafico funzione

Compito †

") I METODO (con la tavola di appartenenza)

E F G ÐEÑ ÐEÑ ∩ F ÐFÑ E ∪ ÐFÑ

− − − Â Â Â Â

− − Â Â Â Â −

− Â − Â Â − −

− Â Â Â Â − −

 − − − −  Â

 −  − −

  − −  − −

   −  − −

V V V V

Per l'ipotesi posta VÐEÑ ∩ F © G dobbiamo escludere le righe ove per VÐEÑ ∩ F compare il simbolo − e per l'insieme compare il simbolo G Â; nelle restanti sette righe abbiamo due casi in cui gli insiemi e G E ∪ ÐFÑV presentano

contemporaneamente e rispetivamente i simboli − e Â, pertanto non possiamo concludere che in generale vale l'inclusione G © E ∪ ÐFÑV .

II METODO (con il ragionamento logico)

L'inclusione VÐEÑ ∩ F © G è equivalente alla VÐGÑ © Ð ÐEÑ ∩ FÑ œ E ∩ ÐFÑV V V , pertanto si può concludere che VÐGÑ © E ∩ ÐFÑV ma non che G © E ∪ ÐFÑV .

III METODO (con i diagrammi di Eulero-Venn):

Considera il seguente diagramma dove con il rosso abbiamo indicato VÐEÑ ∩ F e con il verde E ∪ ÐFÑV , se VÐEÑ ∩ F © G tutto la parte in rosso appartiene all'insieme G che è la parte interna al bordo giallo, come è facilmente verificabile non possiamo concludere che G © E ∪ ÐFÑV perché la parte interna al bordo giallo non è

totalmente contenuta nella parte in verde, ma vale VÐGÑ © E ∩ ÐFÑV .

#) RIFLESSIVA: la relazione è riflessiva in quanto aÐBß CÑ −‘‚‘, si ha B  C œ B  C^{# # # #}, quindi aÐBß CÑß ÐBß CÑ ÐBß CÑe .

SIMMETRICA: la relazione è simmetrica in quanto

a ÐBß CÑß Ð?ß @Ñ −

‘‚‘
‚ ‘‚‘ , si ha che da  B  @ œ ?  C^{# # # #} discende banalmente l'uguaglianza ?  C œ B  @^{# # # #}, quindi

a ÐBß CÑß Ð?ß @Ñ ß ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ Ê Ð?ß @Ñ ÐBß CÑ
 e e .

ANTISIMMETRICA: la relazione non è antisimmetrica, per dimostrarlo basta considerare le coppie Ð"ß !Ñ Ð  "ß !Ñ e ; per tali coppie vale sia

"  ! œ  "^{# #}
^#  !^# che
 "^# ! œ "  !^{# # #}, ma Ð"ß !Ñ Á Ð  "ß !Ñ. TRANSITIVA: la relazione è transitiva in quanto

a ÐBß CÑß Ð?ß @Ñß ÐAß DÑ −

‘‚‘
‚ ‘‚‘
‚ ‘‚‘ , si ha che da B  @ œ ?  C^{# # # #} e ?  D œ A  @^{# # # #} discende banalmente l'uguaglianza B  D œ A  C^{# # # #}, quindi

a ÐBß CÑß Ð?ß @Ñß ÐAß DÑ ß ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ • Ð?ß @Ñ ÐAß DÑ Ê ÐBß CÑ ÐAß DÑ
 e e e .

COMPLETA: la relazione non è completa in quanto scelta la coppia Ð!ß !Ñ non esiste coppia Ð?ß @Ñ Á Ð!ß !Ñ tale per cui !  @ œ ?  !^{# # # #}.

$ E œ ÖB −) ‘À 691 ÐB ( $Ñ €  #× œ ÖB − ‘À B ( $ € "Î"' × œ

%

ÖB − ‘À B €  %(Î"' × œ Ò  %(Î"'ß ( ∞Ò F œ ÖB −. ‘À #^#B Ÿ )× œ ÖB − ‘À #^#B Ÿ # × œ ÖB −^$ ‘À B €  $Î#× œ Ò  $Î#ß ( ∞Ò E ∩ F œ F. ; EÎF œ Ò  %(Î"'ß  $Î#Ò; $ÐE ∩ FÑ œ ÐFÑ œ Ö  $Î#×$ e

WÐEÎFÑ œ Ò  %(Î"'ß  $Î#Ó.

% 1 ‰ 0 œ 1Ð0 ÐBÑÑ œ 1 " œ # B ( "

) Œ  ^{ˆB("" ‰#("};

1 ‰ 0 ‰ 1 œ 1 ‰ 0 Ð1ÐBÑÑ œ 1 ‰ 0

Š#^{B ("#} ‹œ # ^{#B ("#" (" ("}

Š ‹#

.

& $  " œ " † œ " † Ä 691 $ œ " 691 $ œ 691 $

%  # % % Ä 691 # %

)

637 637

B Ä ! B Ä !

B

B(#

$ "

B

# "

B

B

B # #

 %

 È

637 637

B Ä ∞ŒB ( " B Ä ∞ŒŒ " 


B œ " ( B œ Ä / œ /

B

%

"

% "

% "

%

B

.

') La definizione di limite proposta è quella di

637

B Ä &

una funzione che ammette tale limite.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

grafico funzione

Compito ‡

") I METODO (con la tavola di appartenenza)

E F G ÐFÑ E ∩ ÐFÑ ÐEÑ ÐEÑ ∪ F

− − − Â Â Â −

− − Â Â Â Â −

− Â − − − Â Â

− Â Â − −

 − −   − −

 −    − −

  − −  − −

   −  − −

V V V V

Per l'ipotesi posta E ∩ ÐFÑ © GV dobbiamo escludere le righe ove per E ∩ ÐFÑV compare il simbolo − e per l'insieme compare il simbolo G Â; nelle restanti sette righe abbiamo un caso in cui gli insiemi e G E ∪ ÐFÑV presentano

contemporaneamente e rispetivamente i simboli − e Â, pertanto non possiamo concludere che in generale vale l'inclusione G © ÐEÑ ∪ FV .

II METODO (con il ragionamento logico)

L'inclusione E ∩ ÐFÑ © GV è equivalente alla VÐGÑ © ÐE ∩ ÐFÑÑ œ ÐEÑ ∪ FV V V , pertanto si può concludere che VÐGÑ © ÐEÑ ∪ FV ma non che G © ÐEÑ ∪ FV .

III METODO (con i diagrammi di Eulero-Venn):

Considera il seguente diagramma dove con il rosso abbiamo indicato E ∩ ÐFÑV e con il verde VÐEÑ ∪ F, se E ∩ ÐFÑ © GV tutto la parte in rosso appartiene all'insieme G che è la parte interna al bordo giallo, come è facilmente verificabile non possiamo concludere che G © ÐEÑ ∪ FV perché la parte interna al bordo giallo non è

totalmente contenuta nella parte in verde, ma vale VÐGÑ © ÐEÑ ∪ FV .

#) RIFLESSIVA: la relazione è riflessiva in quanto aÐBß CÑ −‘‚‘, si ha B ( C œ B ( C^{# # # #}, quindi aÐBß CÑß ÐBß CÑ ÐBß CÑe .

SIMMETRICA: la relazione è simmetrica in quanto

a ÐBß CÑß Ð?ß @Ñ −

‘‚‘
‚ ‘‚‘ , si ha che da  B ( @ œ ? ( C^{# # # #} discende banalmente l'uguaglianza ? ( C œ B ( @^{# # # #}, quindi

a ÐBß CÑß Ð?ß @Ñ ß ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ Ê Ð?ß @Ñ ÐBß CÑ
 e e .

ANTISIMMETRICA: la relazione non è antisimmetrica, per dimostrarlo basta considerare le coppie Ð"ß !Ñ Ð  "ß !Ñ e ; per tali coppie vale sia

" ( ! œ  "^{# #}
^# ( !^# che
 "^#( ! œ " ( !^{# # #}, ma Ð"ß !Ñ Á Ð  "ß !Ñ. TRANSITIVA: la relazione è transitiva in quanto

a ÐBß CÑß Ð?ß @Ñß ÐAß DÑ −

‘‚‘
‚ ‘‚‘
‚ ‘‚‘ , si ha che da B ( @ œ ? ( C^{# # # #} e ? ( D œ A ( @^{# # # #} discende banalmente l'uguaglianza B ( D œ A ( C^{# # # #}, quindi

a ÐBß CÑß Ð?ß @Ñß ÐAß DÑ ß ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ • Ð?ß @Ñ ÐAß DÑ Ê ÐBß CÑ ÐAß DÑ
 e e e .

COMPLETA: la relazione è completa in quanto scelta una arbitraria coppia ÐBß CÑ risulta: se almeno un elemento della coppia è diverso da , ! ÐBß CÑ Á Ð  Bß  CÑ e B (  C^#
^# œ  B
^# ( C^#, se entrambi gli elementi della coppia sono nulli, Ð!ß !Ñ Á Ð"ß "Ñ ! ( " œ " ( ! e ^{# # # #}, quindi aÐBß CÑß bÐ?ß @Ñ Á ÐBß CÑÀ ÐBß CÑ Ð?ß @Ñe .

$ E œ ÖB −) ‘À 691 ÐB ( $Ñ € #× œ ÖB − ‘À B ( $ € "' × œ ÖB −‘À B € "$ × œ

%

Ò"$ß ( ∞Ò F œ ÖB −. ‘À #^#B Ÿ $#× œ ÖB −‘À #^#B Ÿ # × œ ÖB −^& ‘À B Ÿ &Î#× œ Ó  ∞ß &Î#Ó E ∩ F œ g EÎF œ E. ; ; $ÐE ∩ FÑ œ g e WÐEÎFÑ œWÐEÑ œ E.

% 1 ‰ 0 œ 1Ð0 ÐBÑÑ œ 1 " œ # B ( "

) Œ #  ;

("

"

B ("#

1 ‰ 1 ‰ 0 œ 1 1Ð0 ÐBÑÑ œ 1 #
 Š ^{B ("#" ("}‹œ #^{#B ("#" ("("}.

& $  " œ  " † œ  " † Ä 691 $ œ  " 691 $ œ

%  # ) ) Ä 691 # )

)

637 637

B Ä ! B Ä !

B

#B(#

$ "

B

# "

#B

B

#B #





691 " B ( & œ " ( & œ /

$ B B

# È) . _{B Ä ∞}

637

637

B B

&

') La definizione di limite proposta è quella di

637

B Ä &

di una funzione che ammette tale limite.

0 20 40 60 80 100 120

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

grafico funzione

Compito ˆ

") I METODO (con la tavola di appartenenza)

E F G E ∩ F ÐE ∩ FÑ E ∪ F ÐE ∪ FÑ

− − − − Â − Â

− − Â − Â − Â

− Â − Â − − Â

− Â Â Â −

 − −  − − Â

 −   −

  −  −  −

    −

V V

Per l'ipotesi posta VÐE ∩ FÑ © G dobbiamo escludere le righe ove per VÐE ∩ FÑ compare il simbolo − e per l'insieme compare il simbolo G Â; nelle restanti cinque righe abbiamo tre casi in cui gli insiemi e G VÐE ∪ FÑ presentano

contemporaneamente e rispetivamente i simboli − e Â, pertanto non possiamo concludere che in generale vale l'inclusione G © ÐE ∪ FÑV .

II METODO (con il ragionamento logico)

VÐE ∪ FÑ œ ÐEÑ ∩ ÐFÑ © ÐE ∩ FÑV V V e per l'ipotesi posta VÐE ∩ FÑ © G, pertanto si può concludere che VÐE ∪ FÑ © G ma non che G © ÐE ∪ FÑV .

III METODO (con i diagrammi di Eulero-Venn):

Considera il seguente diagramma dove con il rosso abbiamo indicato VÐE ∩ FÑ, se VÐE ∩ FÑ © G tutto la parte in rosso appartiene all'insieme e quindi la parteG interna al bordo giallo è VÐGÑ.

Nel diagramma seguente indichiamo con il blu VÐE ∪ FÑ, come è chiaramente evidenziato non tutta la parte esterna al bordo giallo è contenuta nella parte in blu, pertanto non risulta verificato che G © ÐE ∪ FÑV .

#) RIFLESSIVA: la relazione è riflessiva in quanto aÐBß CÑ −‘‚‘, si ha B † C œ B † C^{# # # #}, quindi aÐBß CÑß ÐBß CÑ ÐBß CÑe .

SIMMETRICA: la relazione è simmetrica in quanto

a ÐBß CÑß Ð?ß @Ñ −

‘‚‘
‚ ‘‚‘ , si ha che da  B † @ œ ? † C^{# # # #} discende banalmente l'uguaglianza ? † C œ B † @^{# # # #}, quindi

a ÐBß CÑß Ð?ß @Ñ ß ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ Ê Ð?ß @Ñ ÐBß CÑ
 e e .

ANTISIMMETRICA: la relazione non è antisimmetrica, per dimostrarlo basta considerare le coppie Ð"ß !Ñ Ð  "ß !Ñ e ; per tali coppie vale sia " † ! œ  "^{# #}
^#† !^# che
 "^#† ! œ " † !^{# # #}, ma Ð"ß !Ñ Á Ð  "ß !Ñ.

TRANSITIVA: la relazione non è transitiva, per dimostrarlo basta considerare le coppie Ð"ß !Ñ Ð!ß !Ñ Ð!ß "Ñ, e ; per tali coppie vale sia " † ! œ ! † !^{# # # #} che

! † " œ ! † !^{# # # #}, ma " † " Á ! † !^{# # # #}.

COMPLETA: la relazione è completa in quanto scelta una arbitraria coppia ÐBß CÑ risulta: se almeno un elemento della coppia è diverso da , ! ÐBß CÑ Á Ð  Bß  CÑ e B †  C^#
^# œ  B
^# † C^#, se entrambi gli elementi della coppia sono nulli, Ð!ß !Ñ Á Ð"ß "Ñ ! † " œ " † ! e ^{# # # #}, quindi aÐBß CÑß bÐ?ß @Ñ Á ÐBß CÑÀ ÐBß CÑ Ð?ß @Ñe .

$ E œ ÖB −) ‘À 691 ÐB  $Ñ € $ × œ ÖB −‘À B  $ € %) × œ ÖB −‘À B € &" × œ

%

Ò&"ß ( ∞Ò F œ ÖB −. ‘À #^#B 9 $#× œ ÖB −‘À #^#B 9 # × œ^&

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$ÐE ∩ FÑ œ ÐEÑ œ Ö&"×$ e WÐEÎFÑ œ g.

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& $  " œ  " † œ  " † Ä 691 $ œ  " 691 $ œ

#  # % % Ä 691 # %

)

637 637

B Ä ! B Ä !

B

#B("

$ "

B

# "

#B

B

#B #





691 " B  & œ "  & œ /

$ B B

# È% . _{B Ä ∞}

637

637

B B

&

') La definizione di limite proposta è quella di

637

B Ä  "

grafico di una funzione che ammette tale limite.

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

grafico funzione